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在高中数学中，对于某些问题根据问题的条件和结论的特点，以已知元素为“元件”，用已有的数学知识为“支架”，构造出某种数学模型，通过对模型的解决常使得数学解题突破常规，另辟蹊径.笔者试从例题入手，给出常见的构造数学模型的方法.
一、构造函数数学模型
构造函数数学模型是数学解题中常见的方法之一，构造过程中可以根据题设的结构特征，几何特征等来构造相应的函数模型.
例1已知sin2α+sin2β+sin2γ=1，求证：sin2α+sin2β+sin2γ≤22.
解析：根据条件中sin2α等联想到三角恒等关系式中cos2α+cos2β+cos2γ=2，以及二倍角公式的sin2α=2sinαcosα.所以可以构造函数：
f（x）=（xsinα-cosα）2+（xsinβ-cosβ）2+（xsinγ-cosγ）2
=x2-（sin2α+sin2β+sin2γ）x+2.
因为f（x）≥0，所以Δ≤0，从而证得结论成立.
评注：本题题设中参数多，条件与证明结论之间差异较大，无从下手.若能够根据题目特征构造函数，就能够使得解答别具一格.而构造函数数学模型就是以题设中的条件，构想组合出一种新的函数关系，利用函数的性质来实现问题的转化而获得便捷的方法.
二、构造方程数学模型
根据题中的条件和特征，可以构造新方程，使得问题在新的关系下得以转化为可以利用常见的方程的性质与结论.
例2已知1m2+1m-3=0，n4+n2-3=0且1m≠n2.
求mn4+n2m2的值.
解析：根据题设的条件直接去解两个参数的值计算量比较大，根据结构特征具备了方程x2+x-3=0的特征.可以构造方程x2+x-3=0，其中1m，n是此方程的两根.
所以1m+n2=-1，1m·n2=-3.
所以原式=n2mn2+1m=3.
评注：本题结构具有方程形式可以通过变形、概括，可以构造相似的方程数学模型，通过解方程或利用方程的性质，简化计算.
三、构造数列数学模型
对于某些关于自然数的不等式问题，或者题中有隐含递推关系的条件，可以通过构造相关的数列数学模型，利用特殊数列的性质或者其单调性来简洁地解决问题.
例3求证：1n+1+1n+2+…+13n+1>1（其中n∈N+）.
解析：构造数列模型an=1n+1+1n+2+…+13n+1-1，
则有an+1-an=13n+4+13n+3+13n+2-1n+1
=13n+4+13n+2-23n+3
=2（3n+2）（3n+3）（3n+4）>0，所以数列{an}为递增数列.
又因a1=12+13+14-1=112>0，故an>0（其中n∈N+），即原不等式得证.
评注：欲证含有与自然数n有关的和的不等式f（n）>g（n），可以构造数列模型an=f（n）-g（n），只需证明数列{an}是单调递增，且a1>0.另外，本题也可以用数学归纳法证明，但用构造数列模型证明简洁.
四、构造新的数学命题模型
当一些问题直接证明（或求解）较困难时，可以寻找与之等价（或接近）的较易证明的另一个问题，比如构造原命题的逆否命题，构造矛盾命题等.
例4求证：在自然数集中，存在2n+1（n∈N）个连续的自然数，使得前n+1个自然数的平方和等于后n个数的平方和.
解析：这是一个证明存在性的问题，直接证明不易入手，但可以从题目的“连续”和“2n+1”的条件发现这2n+1个数中，中间的那个数（即第n+1个数）是关键.不妨设这个数为m，则第一个数为m-n，第2n+1个数为m+n，这样就把问题转化为：求以m为未知数的方程：∑∞k=1m-k2+m2=∑mk=1m+k2的自然数解，此方程不难求解，移项得，∑∞k=1m-k2-m+k2+m2=0，化简得m2-2n（n+1）·m=0，解得m=0（舍去），m=2n（2n+1）（n∈N），即存在第一个数为n（2n+1），第n+1个数为2n（2n+1），最后一个数为n（2n+3）的2n+1个连续自然数，符合题目所求.
五、构造解析几何数学模型
例5求函数y=sinxcosx-3的最值.
解析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P（cosx，sinx）与定点Q（3，0）连线的斜率，为此构造一个单位圆.探究单位圆上动点P与定点Q（3，0）直线的斜率问题.
图1
如图1，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大最小，设切点分别为R、M.
易知kOR=22，kOM=-22，kQR=-24，kMQ=24，所以-24≤kPQ≤24.
即y=sinxcosx-3的最小值为-24，最大值为24.
评注：本题是有关三角函数的值域问题，除上述方法外还可以利用万能公式、导数等方法解决，但都比较复杂，而且计算量比较大.如另辟蹊径，根据已知的条件构造成某些平面几何图形问题，就会起到事半功倍的效果.
综上可知，构造数学模型虽不是解决上述题型的唯一解法，但在构造数学模型的过程中对学生创新思维的培养是至关重要的，使学生体会知识间的内在联系与相互转化，能够在解题过程中获得学习的愉悦感和成就感.
一、构造函数数学模型
构造函数数学模型是数学解题中常见的方法之一，构造过程中可以根据题设的结构特征，几何特征等来构造相应的函数模型.
例1已知sin2α+sin2β+sin2γ=1，求证：sin2α+sin2β+sin2γ≤22.
解析：根据条件中sin2α等联想到三角恒等关系式中cos2α+cos2β+cos2γ=2，以及二倍角公式的sin2α=2sinαcosα.所以可以构造函数：
f（x）=（xsinα-cosα）2+（xsinβ-cosβ）2+（xsinγ-cosγ）2
=x2-（sin2α+sin2β+sin2γ）x+2.
因为f（x）≥0，所以Δ≤0，从而证得结论成立.
评注：本题题设中参数多，条件与证明结论之间差异较大，无从下手.若能够根据题目特征构造函数，就能够使得解答别具一格.而构造函数数学模型就是以题设中的条件，构想组合出一种新的函数关系，利用函数的性质来实现问题的转化而获得便捷的方法.
二、构造方程数学模型
根据题中的条件和特征，可以构造新方程，使得问题在新的关系下得以转化为可以利用常见的方程的性质与结论.
例2已知1m2+1m-3=0，n4+n2-3=0且1m≠n2.
求mn4+n2m2的值.
解析：根据题设的条件直接去解两个参数的值计算量比较大，根据结构特征具备了方程x2+x-3=0的特征.可以构造方程x2+x-3=0，其中1m，n是此方程的两根.
所以1m+n2=-1，1m·n2=-3.
所以原式=n2mn2+1m=3.
评注：本题结构具有方程形式可以通过变形、概括，可以构造相似的方程数学模型，通过解方程或利用方程的性质，简化计算.
三、构造数列数学模型
对于某些关于自然数的不等式问题，或者题中有隐含递推关系的条件，可以通过构造相关的数列数学模型，利用特殊数列的性质或者其单调性来简洁地解决问题.
例3求证：1n+1+1n+2+…+13n+1>1（其中n∈N+）.
解析：构造数列模型an=1n+1+1n+2+…+13n+1-1，
则有an+1-an=13n+4+13n+3+13n+2-1n+1
=13n+4+13n+2-23n+3
=2（3n+2）（3n+3）（3n+4）>0，所以数列{an}为递增数列.
又因a1=12+13+14-1=112>0，故an>0（其中n∈N+），即原不等式得证.
评注：欲证含有与自然数n有关的和的不等式f（n）>g（n），可以构造数列模型an=f（n）-g（n），只需证明数列{an}是单调递增，且a1>0.另外，本题也可以用数学归纳法证明，但用构造数列模型证明简洁.
四、构造新的数学命题模型
当一些问题直接证明（或求解）较困难时，可以寻找与之等价（或接近）的较易证明的另一个问题，比如构造原命题的逆否命题，构造矛盾命题等.
例4求证：在自然数集中，存在2n+1（n∈N）个连续的自然数，使得前n+1个自然数的平方和等于后n个数的平方和.
解析：这是一个证明存在性的问题，直接证明不易入手，但可以从题目的“连续”和“2n+1”的条件发现这2n+1个数中，中间的那个数（即第n+1个数）是关键.不妨设这个数为m，则第一个数为m-n，第2n+1个数为m+n，这样就把问题转化为：求以m为未知数的方程：∑∞k=1m-k2+m2=∑mk=1m+k2的自然数解，此方程不难求解，移项得，∑∞k=1m-k2-m+k2+m2=0，化简得m2-2n（n+1）·m=0，解得m=0（舍去），m=2n（2n+1）（n∈N），即存在第一个数为n（2n+1），第n+1个数为2n（2n+1），最后一个数为n（2n+3）的2n+1个连续自然数，符合题目所求.
五、构造解析几何数学模型
例5求函数y=sinxcosx-3的最值.
解析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P（cosx，sinx）与定点Q（3，0）连线的斜率，为此构造一个单位圆.探究单位圆上动点P与定点Q（3，0）直线的斜率问题.
图1
如图1，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大最小，设切点分别为R、M.
易知kOR=22，kOM=-22，kQR=-24，kMQ=24，所以-24≤kPQ≤24.
即y=sinxcosx-3的最小值为-24，最大值为24.
评注：本题是有关三角函数的值域问题，除上述方法外还可以利用万能公式、导数等方法解决，但都比较复杂，而且计算量比较大.如另辟蹊径，根据已知的条件构造成某些平面几何图形问题，就会起到事半功倍的效果.
综上可知，构造数学模型虽不是解决上述题型的唯一解法，但在构造数学模型的过程中对学生创新思维的培养是至关重要的，使学生体会知识间的内在联系与相互转化，能够在解题过程中获得学习的愉悦感和成就感.