【摘 要】
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前几天本人听了一堂高三数学复习课,课题是直线与椭圆的位置关系.其中有一道题是:点A,B是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点,弦AB的垂直平分线与x轴的的交点为P(X0,0),求证
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前几天本人听了一堂高三数学复习课,课题是直线与椭圆的位置关系.其中有一道题是:点A,B是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点,弦AB的垂直平分线与x轴的的交点为P(X0,0),求证:-a2-b2/a＜x0＜a2-b2/arn老师先提示本题是有关弦的中点问题,所以可用点差法来求解.然后师生一起得到如下解法:rn解:设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点C(x3,y3),由已知可得:x1≠X2,rnx21/a2+y21/b2=1① x22/a2+y22/b2=1②rn①-②得:(x1-x2)(x1+x2)/a2+(y1-y2)(y1 +y2)/b2=0rn∴x1+x2=2x3,y1+y2=2y3,y1-y2=kAB,∴x3/a2+kABy3/b2=0,kAB=-b2x3/ a2 y3,rn当y1≠y2时,kAB≠0,于是弦AB的垂直平分线的斜率为-1/kAB=a2 y3/b2x3rn从而有弦AB的垂直平分线的方程为:y-y3=a2y3/b2x3(x-x3)rn令y=0,得x0 =x3-b2/a2x3 =a2-b2/a2X3rn∴-a＜x3＜a,∴a2-b2/a＜x0＜a2-b2/arn当y1=y2时,弦AB的中垂线是y轴,所以x0=0,满足上述不等式,所以原命题成立.
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