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随着新课程标准的实施以及新课程改革的展开与深入，概率与统计这一新增教学内容在高考中所占比例不断增长.对此，同学们应予以高度的重视.本文以2007年全国各地高考试题为例，分析了高考试题中与概率与统计有关的问题的命题及解题规律，希望对同学们复习备考有所帮助.
1． 概率.主要考查概率概念的理解、各种基本类型的概率（如随机事件的概率、等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、在n重独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率）的计算.问题设计注重概率与其他知识（如与函数、数列、向量、立体几何、方程等）的交汇,考查考生对概率计算的掌握和综合分析问题的能力，考生要正确解答，不仅要熟练掌握概率的基本计算方法，还要能正确理解相关知识.
【例1】 （江西理,10）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
【略解】 每次出现点数共1，2，3，4，5，6六种，三次的点数共63种，其中成等差数列的有（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（1，3，5），（2，4，6）及倒排，共12种，再加上三点重复的6种，共计18种，故P=1863=112选B.
【评析】 本题考查利用古典概型求概率及等差数列知识.解题关键是根据等差数列的概念和掷一次骰子可能出现的不同点数，正确求出落地时向上的点数依次所成等差数列的种数.
【评析】 本题考查等可能事件的概率的求法及平面向量的夹角公式. 解题关键是根据夹角的范围,得到m,n满足的关系式,列出m,n的各种可能取值,从而正确求得满足条件的向量a=(m,n)的个数.
【例3】 （四川文,17）厂家在产品出厂前，需对产品做检验.厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这些产品．
（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少要1件是合格产品的概率．
（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家取出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率.
【评析】 本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.第(1)问运用对立事件的概率简化计算,是解决“至少型”概率问题的重要方法.第（2）问解题关键是将所求事件“商家拒收这些产品”的概率问题转化为“两个互斥事件有一个发生的概率”问题.
【例4】 （重庆文,17）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立．
（1）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；
（2）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．
【评析】 本题考查相互独立事件同时发生的概率及独立重复试验中概率的求法.
2． 期望与方差.主要考查分布列的求法及其性质、期望与方差的求法及期望、方差在实际生活中的应用.问题设计常以实际生活中的素材为背景，突出体现概率与统计知识的应用价值.解答此类问题的关键是：正确理解题意，正确求出分布列.而正确求出分布列的关键则是正确求出随机变量取各种可能值的概率，从这个意义上说，正确掌握概率计算是解决期望与方差问题的基础和前提.
【例5】 （浙江15）随机变量ξ的分布列如下：
【评析】 本题综合考查分布列的性质，期望、方差的求法及等差数列的知识.解题关键是利用分布列的性质及其它条件正确求出a,b,c,至于求Dξ,则只需套用求方差公式即可.
【例6】 （安徽理,20）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．
【评析】 本题考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．解题关键是正确分析随机变量ξ的各种可能取值,并正确求出相应的概率.
【评析】 本题考查数学期望、利用导数求函数的最值等基础知识.考查学生的阅读分析能力和用概率知识解决实际问题的能力.
3． 抽样与频率分布.主要考查统计的基本思想（由样本估计总体）、各种抽样方法（重点是分层抽样）的理解、频率分布直方图的绘制与识别等.此类问题一般难度较小，只要仔细审题，正确理解有关概念，应能轻松解答.
【例9】 （陕西文,6）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为（ ）
A．4 B. 5 C. 6 D.7
【解】 由分层抽样概念知:抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为10+2040+10+30+20×20=6.选C.
【评析】 本题考查分层抽样方法的理解.属于高考中的送分题.
【例10】 (山东文,8)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（ ）
A． 0.9,35B． 0.9,45
C． 0.1,35D． 0.1,45
【略解】 由频率分布直方图纵坐标的意义知:
x=0.02+0.18+0.34+0.36=0.9
y=(0.36+0.34)×50=35.选A.
【评析】 本题考查频率分布直方图的理解和识别.只要正确掌握频率分布直方图中横、纵坐标的意义，容易得出正确结果.
【例11】 （湖北理,17）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：
（1）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
（2）估计纤度落在\[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间\[1.30,1.34)的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．
【解】 (1)图表见下页.
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1． 概率.主要考查概率概念的理解、各种基本类型的概率（如随机事件的概率、等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、在n重独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率）的计算.问题设计注重概率与其他知识（如与函数、数列、向量、立体几何、方程等）的交汇,考查考生对概率计算的掌握和综合分析问题的能力，考生要正确解答，不仅要熟练掌握概率的基本计算方法，还要能正确理解相关知识.
【例1】 （江西理,10）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
【略解】 每次出现点数共1，2，3，4，5，6六种，三次的点数共63种，其中成等差数列的有（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（1，3，5），（2，4，6）及倒排，共12种，再加上三点重复的6种，共计18种，故P=1863=112选B.
【评析】 本题考查利用古典概型求概率及等差数列知识.解题关键是根据等差数列的概念和掷一次骰子可能出现的不同点数，正确求出落地时向上的点数依次所成等差数列的种数.
【评析】 本题考查等可能事件的概率的求法及平面向量的夹角公式. 解题关键是根据夹角的范围,得到m,n满足的关系式,列出m,n的各种可能取值,从而正确求得满足条件的向量a=(m,n)的个数.
【例3】 （四川文,17）厂家在产品出厂前，需对产品做检验.厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这些产品．
（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少要1件是合格产品的概率．
（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家取出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率.
【评析】 本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.第(1)问运用对立事件的概率简化计算,是解决“至少型”概率问题的重要方法.第（2）问解题关键是将所求事件“商家拒收这些产品”的概率问题转化为“两个互斥事件有一个发生的概率”问题.
【例4】 （重庆文,17）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立．
（1）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；
（2）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．
【评析】 本题考查相互独立事件同时发生的概率及独立重复试验中概率的求法.
2． 期望与方差.主要考查分布列的求法及其性质、期望与方差的求法及期望、方差在实际生活中的应用.问题设计常以实际生活中的素材为背景，突出体现概率与统计知识的应用价值.解答此类问题的关键是：正确理解题意，正确求出分布列.而正确求出分布列的关键则是正确求出随机变量取各种可能值的概率，从这个意义上说，正确掌握概率计算是解决期望与方差问题的基础和前提.
【例5】 （浙江15）随机变量ξ的分布列如下：
【评析】 本题综合考查分布列的性质，期望、方差的求法及等差数列的知识.解题关键是利用分布列的性质及其它条件正确求出a,b,c,至于求Dξ,则只需套用求方差公式即可.
【例6】 （安徽理,20）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．
【评析】 本题考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．解题关键是正确分析随机变量ξ的各种可能取值,并正确求出相应的概率.
【评析】 本题考查数学期望、利用导数求函数的最值等基础知识.考查学生的阅读分析能力和用概率知识解决实际问题的能力.
3． 抽样与频率分布.主要考查统计的基本思想（由样本估计总体）、各种抽样方法（重点是分层抽样）的理解、频率分布直方图的绘制与识别等.此类问题一般难度较小，只要仔细审题，正确理解有关概念，应能轻松解答.
【例9】 （陕西文,6）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为（ ）
A．4 B. 5 C. 6 D.7
【解】 由分层抽样概念知:抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为10+2040+10+30+20×20=6.选C.
【评析】 本题考查分层抽样方法的理解.属于高考中的送分题.
【例10】 (山东文,8)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（ ）
A． 0.9,35B． 0.9,45
C． 0.1,35D． 0.1,45
【略解】 由频率分布直方图纵坐标的意义知:
x=0.02+0.18+0.34+0.36=0.9
y=(0.36+0.34)×50=35.选A.
【评析】 本题考查频率分布直方图的理解和识别.只要正确掌握频率分布直方图中横、纵坐标的意义，容易得出正确结果.
【例11】 （湖北理,17）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：
（1）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
（2）估计纤度落在\[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间\[1.30,1.34)的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．
【解】 (1)图表见下页.
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