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随着与“变异理论”打交道的增多，我对“变异理论”有了自己的理解。本文旨在探讨“变异理论”在“不规则物体体积的测量”的教学中的运用。
一、探索过程
“不规则物体体积的测量”这一内容对五年级学生来说并非全新。通过之前的教学，学生已知道不吸水的物体浸在水中会排挤同体积的水，已经掌握长方体、正方体体积的计算方法，并能解决一些相关的实际问题。这些都为学习“不规则物体体积的测量”这一内容奠定了知识基础。
通过之前的教学，我发现空间感较弱的学生很难在头脑中构建正确的立体图形，需要借助实物模型理解相关问题。另外，在教学前，我以“怎样得到橡皮泥、苹果、石块的体积”为题对学生进行访谈。访谈结果有两点值得注意。其一，橡皮泥体积的计算。学生先把橡皮泥捏成长方体或正方体，再利用长方体或正方体体积的计算方法计算橡皮泥的体积。其二，苹果体积和石块体积的计算。大部分学生能说出利用排水法测量，这表明学生善于运用转化的思想将新知识转化，从而更有效地学习新知识。
第一次教学“不规则物体体积的测量”这一内容时，我通过课件演示帮助学生理解。课后，我发现大部分学生不会运用所学知识解决相关的实际问题。在教学反思时，我意识到，发现、验证并运用排水法测量石块的体积也应成为教学重点。可见，“不规则物体体积的测量”这一内容的教学难点是：在理解“上升的水的体积就是浸入水中物体的体积”的基础上，感悟“转化”的数学思想。
在第二次教学中，我设计了明暗两条线。其一，一条明线，即让学生理解“上升的水的体积就是浸入水中物体的体积”，并通过对比、分离，使学生感悟“等积变形”的数学转化思想。其二，一条暗线贯穿全课，即对学生的学法指导。
二、主要环节
1.故事引入，复习铺垫
教学前，我以乌鸦喝水的故事引入，不仅使学生迁移故事中的数学思想，为后面的实验做铺垫，更激发学生学习数学的兴趣。导入时，我通过一个有盖子的长方体容器区分长方体体积和容积的不同，并复习其体积和容积的计算方法。接着，我通过石块让学生感受不规则物体的属性，以引导学生区分规则物体和不规则物体，让学生明白测量不规则物体的体积无法直接套用体积公式，需要合理的转化。
2.引发思考，合作探索
接下来，我设计了这样的教学环节。
师：怎么得到橡皮泥、苹果、石块的体积？
生1：把橡皮泥捏成长方体，量出它的长、宽、高各是多少，然后根据长方体体积的计算公式，就能计算出它的体积。
生2：把橡皮泥捏成正方体，量出它的棱长，然后根据正方体体积的计算公式，同样能计算出它的体积。
生3：把石块放入装水的容器中，然后测量与石块体积相同的水的体积。
通过对比，我希望学生感悟两种转化：一是转化物体的形状，二是把不规则物体的体积问题转化为同体积的水的体积问题。这样，便易于将不规则物体体积的测量方法传授给学生。
3.动手实践，总结方法
最后，我引导学生开展小组合作学习，即要求学生依靠水、长方体容器、水盆、量杯和直尺等物质测量不规则物体的体积。在这一过程中，我观察各组的操作过程，了解各组的探究结果。
小组汇报阶段，根据各组活动的不同情况，按照由易到难、由浅到深的层次，我分别请三个小组进行汇报。
（1）标准情况——石块完全浸没在水中，水未溢出
结合学生的汇报内容，我引导学生总结不规则物体体积的计算方法，即把不规则物体的体积转化成水（升高或降低部分）的体积。用公式表示：石块体积=水升高部分的体积（石块完全浸在水中，水未溢出）。
（2）特殊情况——石块未完全浸没在水中，水未溢出
在这种情况下，应在放入石块的容器里继续加水，直至石块完全浸没在水中，并记录此时水面的高度，然后取出石块，通过水面高度的下降情况计算石块对应的水的体积，也就是石块的体积。用公式表示：石块体积=水下降部分的体积（石块未完全浸在水中，水未溢出）。通过这个非标准的正例，学生应注意到，用这种方法求不规则物体体积的关键在于：使物体完全浸没在水中。
（3）复杂情况——石块完全浸没在水中，水溢出
在容器中水已满的情况下，石块完全浸没在水中后，水溢出。此时，应将原来的容器放入另一略大的容器中，后者用于装溢出的水；等水停止溢出时，将溢出的水倒入有刻度的量杯中，由此，得到的水的体积，即石头的体积。用公式表示：石块体积=水溢出部分的体积（水已满，石块完全浸在水中，水溢出）。在容器中水未满的情况下，石块完全浸没在水中后，水先升高后溢出。此时，求石块的体积，即求水升高部分的体积与溢出部分的体积之和，用公式表示：石块体积=水升高部分的体积 水溢出部分的体积（水未满，石块完全浸在水中，水先升高后溢出）。
在层层推进的学习过程中，学生逐渐领悟了上述方法的两个共同之处：一是把不规则物体体积转化成对应的水的体积，二是转化时必须使不规则物体完全浸没在水中，并准确测量水的体积的变化。
通过教学“不规则物体体积的测量”这一内容，可见“变异理论”对帮助学生理解数学知识和掌握抽象概念具有重要意义。今后，我会继续在小学数学教学中运用“变异理论”，利用它的优势提高课堂效率，帮助学生更轻松地学习。
（作者单位：北京市海淀区第二实验小学）
（责任编辑：梁金）
一、探索过程
“不规则物体体积的测量”这一内容对五年级学生来说并非全新。通过之前的教学，学生已知道不吸水的物体浸在水中会排挤同体积的水，已经掌握长方体、正方体体积的计算方法，并能解决一些相关的实际问题。这些都为学习“不规则物体体积的测量”这一内容奠定了知识基础。
通过之前的教学，我发现空间感较弱的学生很难在头脑中构建正确的立体图形，需要借助实物模型理解相关问题。另外，在教学前，我以“怎样得到橡皮泥、苹果、石块的体积”为题对学生进行访谈。访谈结果有两点值得注意。其一，橡皮泥体积的计算。学生先把橡皮泥捏成长方体或正方体，再利用长方体或正方体体积的计算方法计算橡皮泥的体积。其二，苹果体积和石块体积的计算。大部分学生能说出利用排水法测量，这表明学生善于运用转化的思想将新知识转化，从而更有效地学习新知识。
第一次教学“不规则物体体积的测量”这一内容时，我通过课件演示帮助学生理解。课后，我发现大部分学生不会运用所学知识解决相关的实际问题。在教学反思时，我意识到，发现、验证并运用排水法测量石块的体积也应成为教学重点。可见，“不规则物体体积的测量”这一内容的教学难点是：在理解“上升的水的体积就是浸入水中物体的体积”的基础上，感悟“转化”的数学思想。
在第二次教学中，我设计了明暗两条线。其一，一条明线，即让学生理解“上升的水的体积就是浸入水中物体的体积”，并通过对比、分离，使学生感悟“等积变形”的数学转化思想。其二，一条暗线贯穿全课，即对学生的学法指导。
二、主要环节
1.故事引入，复习铺垫
教学前，我以乌鸦喝水的故事引入，不仅使学生迁移故事中的数学思想，为后面的实验做铺垫，更激发学生学习数学的兴趣。导入时，我通过一个有盖子的长方体容器区分长方体体积和容积的不同，并复习其体积和容积的计算方法。接着，我通过石块让学生感受不规则物体的属性，以引导学生区分规则物体和不规则物体，让学生明白测量不规则物体的体积无法直接套用体积公式，需要合理的转化。
2.引发思考，合作探索
接下来，我设计了这样的教学环节。
师：怎么得到橡皮泥、苹果、石块的体积？
生1：把橡皮泥捏成长方体，量出它的长、宽、高各是多少，然后根据长方体体积的计算公式，就能计算出它的体积。
生2：把橡皮泥捏成正方体，量出它的棱长，然后根据正方体体积的计算公式，同样能计算出它的体积。
生3：把石块放入装水的容器中，然后测量与石块体积相同的水的体积。
通过对比，我希望学生感悟两种转化：一是转化物体的形状，二是把不规则物体的体积问题转化为同体积的水的体积问题。这样，便易于将不规则物体体积的测量方法传授给学生。
3.动手实践，总结方法
最后，我引导学生开展小组合作学习，即要求学生依靠水、长方体容器、水盆、量杯和直尺等物质测量不规则物体的体积。在这一过程中，我观察各组的操作过程，了解各组的探究结果。
小组汇报阶段，根据各组活动的不同情况，按照由易到难、由浅到深的层次，我分别请三个小组进行汇报。
（1）标准情况——石块完全浸没在水中，水未溢出
结合学生的汇报内容，我引导学生总结不规则物体体积的计算方法，即把不规则物体的体积转化成水（升高或降低部分）的体积。用公式表示：石块体积=水升高部分的体积（石块完全浸在水中，水未溢出）。
（2）特殊情况——石块未完全浸没在水中，水未溢出
在这种情况下，应在放入石块的容器里继续加水，直至石块完全浸没在水中，并记录此时水面的高度，然后取出石块，通过水面高度的下降情况计算石块对应的水的体积，也就是石块的体积。用公式表示：石块体积=水下降部分的体积（石块未完全浸在水中，水未溢出）。通过这个非标准的正例，学生应注意到，用这种方法求不规则物体体积的关键在于：使物体完全浸没在水中。
（3）复杂情况——石块完全浸没在水中，水溢出
在容器中水已满的情况下，石块完全浸没在水中后，水溢出。此时，应将原来的容器放入另一略大的容器中，后者用于装溢出的水；等水停止溢出时，将溢出的水倒入有刻度的量杯中，由此，得到的水的体积，即石头的体积。用公式表示：石块体积=水溢出部分的体积（水已满，石块完全浸在水中，水溢出）。在容器中水未满的情况下，石块完全浸没在水中后，水先升高后溢出。此时，求石块的体积，即求水升高部分的体积与溢出部分的体积之和，用公式表示：石块体积=水升高部分的体积 水溢出部分的体积（水未满，石块完全浸在水中，水先升高后溢出）。
在层层推进的学习过程中，学生逐渐领悟了上述方法的两个共同之处：一是把不规则物体体积转化成对应的水的体积，二是转化时必须使不规则物体完全浸没在水中，并准确测量水的体积的变化。
通过教学“不规则物体体积的测量”这一内容，可见“变异理论”对帮助学生理解数学知识和掌握抽象概念具有重要意义。今后，我会继续在小学数学教学中运用“变异理论”，利用它的优势提高课堂效率，帮助学生更轻松地学习。
（作者单位：北京市海淀区第二实验小学）
（责任编辑：梁金）