论文部分内容阅读
摘要：引导学生有效建立新概念是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）对教学活动提出的一项重要建议。本文以“实数”的两轮教学为载体，以帮助学生在探究过程中如何建立无理数、实数概念为主要手段，分析在课堂中学生知识形成过程的表现与教师预期之间的差距及造成差距的原因，从而进一步阐述教学中影响新概念建立的因素及改进策略.
关键词：课例研究；概念教学；思维障碍
一、选题的缘由
《标准》对数学教学活动中概念的建立提出了要求“抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式.”因此，概念的建立不是单纯的记忆和模仿，而是在教师的引导下学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、交流等数学活动的结果。但笔者在教学中发现课堂引入和探究的手段方式虽丰富多样，课堂气氛更加活跃，但课后学生对概念的认识却很模糊，基本知识和基本技能也不够扎实。所以我想通过课例研究达到提高建立新概念有效性的目的。
二、专题研究的预期目标
诊断数学教学中影响建立新的概念的因素以及探索提高建立新概念有效性的方法。
三、研究的过程与发现
（一）教材选择
为了提高建立新的概念的有效性，我选择了浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册“3.2实数”为载体进行研究。
（二）教学目标
经历无理数的产生过程，了解无理数、实数的概念；了解实数的分类，知道实数与数轴上的点一一对应；理解相反数、绝对值、数的大小比较法则同样适用于实数。
（三）顾此失彼——第一次教学实践
1.教学场景
教师在课前为学生准备了2×2的方格纸，几组练习题，要求学生准备好计算器、圆规、铅笔、尺。采用了引入——探究——建立概念部分的教学流程。
步骤一：出示方格纸，设每一方格的边长为1个单位。
师：图中有几种面积不同的正方形？面积和边长分别为多少？
生1：两种，面积分别为12 ，22边长分别为1，2。
师：你能在方格内利用格点作出正方形吗？如果能，面积、边长是多少？
（学生在回答面积为2的正方形边长是多少时出现了冷场，陷入困惑）
师：比较以上正方形面积的大小，由面积大小能确定其边长的大小吗？为什么？
生2：能比较边长大小，因为正方形的面积等于边长的平方，面积越大，边长就越大，
所以1<√2<2.（教师板书：12 <2<22，1<√2<2；）
步骤二：利用计算器来探索√2的十分位、百分位、千分位等数位上的值.
师：现在请大家合作探索，完成下列“问题清单”：
①由1<√2<2，确定√2=1.…，能否利用上述方法来确定十分位上的数呢？请计算1.12，1.22，…，1.92，，填空（ ）2 <2<（ ）2，（ ）<√2<（ ）；
②根据以上得：√2=1.4，能否再精确到百分位呢？应该计算哪些数的平方？
③能否再精确到千分位、万分位呢？
④以上得到的1.4，1.41等仅是√2的近似值， √2究竟是多少呢？
（最后教师多媒体显示：√2=1.414213562…）
步骤三：通过比较，总结√2的特征，建立无理数、实数的概念。
师：有何特征？它是整数吗？是分数吗？是有理数吗？为什么？
（问到√2是否是分数时，学生都认为是，因为小学阶段分数与小数可以互化，教师没有考虑到这一点，所以再举例说明分数只能化成有限小数或无限循环小数。）
教师板书：
[1.42 <2<1.52＼&1.4<√2<1.5＼&1.412 <2<1.422＼&1.41<√2<1.42＼&1.4142 <2<1.4152＼&1.414<√2<1.415＼&1.41422 <2<1.41432＼&1.4142<√2<1.4143＼&…＼&…＼&]
师：你能举出一些无理数吗？
（学生举出无理数，一起将无理数分类，巩固练习）
步骤四：数形结合，构建平台深化概念，通过深化实现对概念更有效地建立。
多媒体出示：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）。
-1.4， 3.3， 1.5， √2， -√2， ∏
师：哪些数你会用数轴上的点表示？哪些不会？
生3：-1.4，3.3，1.5能表示，√2，-√2，∏不会表示。
师：无理数能否用数轴上的点表示呢？
（学生有些说能，有些说不能，形成了争论）
师：实物投影步骤一中2×2方格纸，图中面积为2的正方形的边长为√2，只要取数轴的单位长度为图中小正方形的边长，那就可以在数轴上表示√2或-√2.
（教师演示，要求学生完成，说明∏可以表示在数轴上，但很麻烦，可取近似值.）
2.自我评价
学生在完成步骤一第二问中：“你能在方格内利用格点作出正方形吗？”这一操作时无从下手，或与教师需要的图形不一致；同样是步骤一第二问：“面积为2的正方形的边长是多少？”因为之前学生接触的都是开的尽方的数开平方，当遇到开不尽的情况时，学生不知道怎样表示正方形的边长，遭遇了冷场；步骤二利用计算器探索√2的十分位、百分位、千分位等数位上的值，怕学生不会估算，一直和学生探索到万分位，花费了大量时间，而且效果也不是很好；学生在回答步骤三：“√2=1.414213562是分数吗？”这一问题时，都认为是分数，因为小学学过分数和小数可以互化，又用了很多时间举例讲解分数只能化成有限小数和无限循环小数；这堂课在讨论完无理数在数轴上的表示就下课了，因此没有完成教学任务。 3.课后教研组讨论
教研组长主持了讨论，主要有以下观点：
①这节课从数学本身的内在需要引入概念，但对学生当时的知识结构、智力水平和学习态度没有认真考虑，造成引入过程中新旧知识无法顺利衔接（如√2的引出），学生由主动变被动，更谈不上产生兴趣了。
②数学教学是思维过程的教学，学生的参与最主要的是思维过程的参与，所以概念的形成应该充分展示思维过程.但这节课学生在概念的学习中存在着很多思维障碍（如在数轴上表示√2和-√2等），这就要求教师降低思维起点，减小思维垮度，创设思维情境，为学生的参与，进行知识的“再创造”打下基础。
③有效的数学学习必须围绕数学本质进行，不能喧宾夺主，只图表面热闹.比如步骤二，目的是让学生经历无理数的产生过程，使学生更深刻地理解无理数的概念，把大部分时间放在利用计算器的探索上显然有些“过”了。
4.根据以上观点，笔者做了如下改进
①舍去无谓的操作：如步骤一第二问，教师就直接在2×2方格纸上画出边长为√2的正方形，让学生确定其面积和边长，这样可以使学生将更多的时间和精力放在对无理数的探究上.②注重新旧知识之间的联系：如在要求学生回答“面积为2的正方形的边长是多少？”这一问题前，教师先引导学生回顾平方根的概念和表示，使学生更容易想到2的平方根为±√2；③为学生建立脚手架，帮助学生顺利解决几何作图这一教学难点.④提高计算器探索过程的有效性：如用计算器探索√2的十分位、百分位、千分位等数位上的值，只让学生探索到了百分位，了解其探索方法即可。
（四）行云流水——第二次教学实践
1.教学场景
第二轮的教学实践我重点针对导入——探究——建立概念中教学环节的不流畅及时间过长做了重点调整。
步骤一：出示方格纸，如图：设每一方格的边长为1个单位。
师：图中有几种面积不同的正方形？面积和边长为多少？
生4：两个，面积分别为12 ，22边长分别为1、2。
师：将四边中点连接，所成正方形的面积是多少？
生5：面积为2。
师：我们知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作…？（学生齐答：±√a）；那么如果一个数的平方等于2，这个数就叫做2的平方根，记作…？（学生齐答：±√2）；面积为2的正方形的边长是+√2还是-√2呢？（学生答：+√2）
师：比较以上正方形面积的大小，由面积大小能确定其边长的大小吗？为什么？
生6：能，因为正方形的面积等于边长的平方，面积越大，边长就越大，所以1<√2<2。
（在步骤一的过程中，教师将学生的回答整理成板书：：12 <2<22，1<√2<2；）
步骤二：利用计算器来探索√2的十分位、百分位、千分位等数位上的值。
师：由1<√2<2，确定√2=1.…，能否确定十分位上的数呢？
（学生有些说能，有些说不能，有些则沉默。）
师：那我们就猜一个吧！假如说是3，那√2比1.3大，比1.4要小，即1.3<√2<1.4，你认为对吗？为什么？
（教师整理板书：1.3<√2<1.4，学生纷纷利用计算器探索，很快得到结论：1.3<√2<1.4是错误的，因为1.32 <2<1.42，应该是1.4<√2<1.5，因为：1.42 <2<1.52.）
师：根据以上得：√2=1.4，能不能再精确到百分位呢？
（整理板书： 1.412<2<1.422 1.41<√2<1.42；）
师：以上得到的1.4，1.41等仅是√2的近似值， √2究竟是多少呢？
步骤三：通过比较，总结√2的特征，建立无理数、实数的概念。
（辨别√2是否是分数时，教师直接告诉学生分数可化为有限小数和无限循环小数。）
步骤四：数形结合，构建平台深化概念，通过深化实现对概念更有效地建立。
多媒体出示：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）。
-1.4， 3.3， 1.5， √2， -√2， ∏
生7：怎样在数轴上表示√2和-√2？
①借助辅助图形，为学生建立脚手架
师：实物投影步骤一中2×2方格纸，如果我在图上画一条数轴，以小正方形的边长为一个单位长，（如图1）那么中间这一正方形的边长为√2个单位长，能否将√2个单位长表示在数轴上呢？
（学生恍然大悟，都认为√2可以表示在数轴上，有一些认为用尺测量线段的长度。）
师：用尺测量可以，但总有误差，还有其他方法吗？（圆规，学生马上想到。）
师：我们以O为圆心，√2为半径画圆，与数轴相交于两点，这两点表示多少呢？
（在教师的演示过程中，学生很容易就认识到左边一点为-√2，右边为√2，如图1.）
②通过观察，让学生撤去不需要的脚手架. 师：在这一过程中，你认为哪些图形是多余的？
（在老师的引导下，学生一步步撤去脚手架，确定了只要画出1×1的方格，连接其对角线就能表示√2个单位长，如图2.） 2.教研组评价
①导入——探究——建立概念部分时间过长、低效是上一轮课最大的缺点，第二轮上课对这一环节的时间和问题做了调整，整个过程自然顺畅。见下表，其中表1为时间统计表， 表2为建立概念过程中学生回答问题情况统计表：
三阶段
轮次＼&
第一次建立概念时间（时间为22分钟）＼&
第二次建立概念时间
（时间为12分钟）＼&导入＼&6分钟＼&4分钟＼&合作探究＼&10分钟＼&6分钟＼&建立概念 ＼&6分钟＼&3分钟＼&] [ 统计
回答＼&第一次建立概念＼&第二次建立概念＼&频次＼&百分比＼&频次＼&百分比＼&1、无回答＼&2＼&11﹪＼&0＼&0﹪↓＼&2、机械判断是否＼&8＼& 44﹪＼&4＼&25﹪↓＼&3、认知记忆性回答＼& 3＼&17﹪＼&6＼&38﹪↑＼&4、推理性回答＼& 5＼&28﹪＼&5＼&31﹪↑＼&5、创造评价性回答＼& 0＼&0﹪＼&1＼&6﹪↑＼&]
②无理数在数轴上的表示涉及到几何作图，是教学的难点。为降低思维起点，减小思维跨度，教师利用“现成的脚手架”引导学生在探究中发现了√2和-√2在数轴上的表示方法，然后再由学生拆除脚手架。整个过程衔接自然，实现了知识的“再创造”。
四、对建立新概念的有效性的思考——第三次教学实践
（一）注重概念引入的有效性
在概念引入过程中，要分析不同类型的数学概念的逻辑结构、概念的背景和发展情况，分析学生当时的知识结构、智力水平和学习态度，考虑学生在建立概念的过程中可能出现的困难，灵活运用不同的方式，例如在引进“正负数”概念时，可通过温度与海拔高度这两个小学接触过的实例，指出为了区别零上温度与零下温度，海平面以上高度与海平面以下高度等具有相反意义的量，引进正负数的概念。
（二）注重概念建立过程中思维的有效性
数学概念是数学思维的载体，数学概念的形成是学生通过思维活动“再创造”的过程，但是由于学生的思维水平参差不齐，在概念建立的过程中，无论采用动手实践、自主探究，还是合作学习等学习方式，都会遇到很多思维障碍.导致课堂效率低下，或者成为少数学生的表演课，这就需要教师运用教学智慧创设思维情境，降低思维起点，让更多的学生参与到思维过程中来，再通过设计梯度问题减小思维跨度，由浅入深，从而逐渐接近概念的本质。
（三）注重教学手段的有效性
传统教学手段与现代教学手段各有优点和不足，所以应当使传统教学手段的精华与现代教学手段有机结合，既要守住“传统”，又要用好“现代”，例如在这堂课中，我除了充分运用课件、实物投影外，还注重了板书的处理：
在整个概念建立过程中，教师将学生整个思维活动的轨迹记录下来，并使之条理化，系统化，所以板书的过程，就是学生对知识“再创造”的过程。它和多媒体结合使用，对促进学生基本知识、基本技能的形成起到了1+1>2的效果。
综上所述，为有效地建立新概念，我们必须尊重学生的概念形成过程，尊重学生的思维过程，合理运用教学方式和手段，遇山开山，遇河搭桥，让学生快速、高效地行驶在知识之坦途上。
参考文献：
[1] 浙教版义务教育课程标准实验教科书·数学[M].七年级上册教科书.
[2]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京师范大学出版社，2001年7月第1版.
[3]雷明生.谈谈数学概念教学的一些策略[J].中国数学教育（初中），2007，（5）：8-9.
关键词：课例研究；概念教学；思维障碍
一、选题的缘由
《标准》对数学教学活动中概念的建立提出了要求“抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式.”因此，概念的建立不是单纯的记忆和模仿，而是在教师的引导下学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、交流等数学活动的结果。但笔者在教学中发现课堂引入和探究的手段方式虽丰富多样，课堂气氛更加活跃，但课后学生对概念的认识却很模糊，基本知识和基本技能也不够扎实。所以我想通过课例研究达到提高建立新概念有效性的目的。
二、专题研究的预期目标
诊断数学教学中影响建立新的概念的因素以及探索提高建立新概念有效性的方法。
三、研究的过程与发现
（一）教材选择
为了提高建立新的概念的有效性，我选择了浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册“3.2实数”为载体进行研究。
（二）教学目标
经历无理数的产生过程，了解无理数、实数的概念；了解实数的分类，知道实数与数轴上的点一一对应；理解相反数、绝对值、数的大小比较法则同样适用于实数。
（三）顾此失彼——第一次教学实践
1.教学场景
教师在课前为学生准备了2×2的方格纸，几组练习题，要求学生准备好计算器、圆规、铅笔、尺。采用了引入——探究——建立概念部分的教学流程。
步骤一：出示方格纸，设每一方格的边长为1个单位。
师：图中有几种面积不同的正方形？面积和边长分别为多少？
生1：两种，面积分别为12 ，22边长分别为1，2。
师：你能在方格内利用格点作出正方形吗？如果能，面积、边长是多少？
（学生在回答面积为2的正方形边长是多少时出现了冷场，陷入困惑）
师：比较以上正方形面积的大小，由面积大小能确定其边长的大小吗？为什么？
生2：能比较边长大小，因为正方形的面积等于边长的平方，面积越大，边长就越大，
所以1<√2<2.（教师板书：12 <2<22，1<√2<2；）
步骤二：利用计算器来探索√2的十分位、百分位、千分位等数位上的值.
师：现在请大家合作探索，完成下列“问题清单”：
①由1<√2<2，确定√2=1.…，能否利用上述方法来确定十分位上的数呢？请计算1.12，1.22，…，1.92，，填空（ ）2 <2<（ ）2，（ ）<√2<（ ）；
②根据以上得：√2=1.4，能否再精确到百分位呢？应该计算哪些数的平方？
③能否再精确到千分位、万分位呢？
④以上得到的1.4，1.41等仅是√2的近似值， √2究竟是多少呢？
（最后教师多媒体显示：√2=1.414213562…）
步骤三：通过比较，总结√2的特征，建立无理数、实数的概念。
师：有何特征？它是整数吗？是分数吗？是有理数吗？为什么？
（问到√2是否是分数时，学生都认为是，因为小学阶段分数与小数可以互化，教师没有考虑到这一点，所以再举例说明分数只能化成有限小数或无限循环小数。）
教师板书：
[1.42 <2<1.52＼&1.4<√2<1.5＼&1.412 <2<1.422＼&1.41<√2<1.42＼&1.4142 <2<1.4152＼&1.414<√2<1.415＼&1.41422 <2<1.41432＼&1.4142<√2<1.4143＼&…＼&…＼&]
师：你能举出一些无理数吗？
（学生举出无理数，一起将无理数分类，巩固练习）
步骤四：数形结合，构建平台深化概念，通过深化实现对概念更有效地建立。
多媒体出示：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）。
-1.4， 3.3， 1.5， √2， -√2， ∏
师：哪些数你会用数轴上的点表示？哪些不会？
生3：-1.4，3.3，1.5能表示，√2，-√2，∏不会表示。
师：无理数能否用数轴上的点表示呢？
（学生有些说能，有些说不能，形成了争论）
师：实物投影步骤一中2×2方格纸，图中面积为2的正方形的边长为√2，只要取数轴的单位长度为图中小正方形的边长，那就可以在数轴上表示√2或-√2.
（教师演示，要求学生完成，说明∏可以表示在数轴上，但很麻烦，可取近似值.）
2.自我评价
学生在完成步骤一第二问中：“你能在方格内利用格点作出正方形吗？”这一操作时无从下手，或与教师需要的图形不一致；同样是步骤一第二问：“面积为2的正方形的边长是多少？”因为之前学生接触的都是开的尽方的数开平方，当遇到开不尽的情况时，学生不知道怎样表示正方形的边长，遭遇了冷场；步骤二利用计算器探索√2的十分位、百分位、千分位等数位上的值，怕学生不会估算，一直和学生探索到万分位，花费了大量时间，而且效果也不是很好；学生在回答步骤三：“√2=1.414213562是分数吗？”这一问题时，都认为是分数，因为小学学过分数和小数可以互化，又用了很多时间举例讲解分数只能化成有限小数和无限循环小数；这堂课在讨论完无理数在数轴上的表示就下课了，因此没有完成教学任务。 3.课后教研组讨论
教研组长主持了讨论，主要有以下观点：
①这节课从数学本身的内在需要引入概念，但对学生当时的知识结构、智力水平和学习态度没有认真考虑，造成引入过程中新旧知识无法顺利衔接（如√2的引出），学生由主动变被动，更谈不上产生兴趣了。
②数学教学是思维过程的教学，学生的参与最主要的是思维过程的参与，所以概念的形成应该充分展示思维过程.但这节课学生在概念的学习中存在着很多思维障碍（如在数轴上表示√2和-√2等），这就要求教师降低思维起点，减小思维垮度，创设思维情境，为学生的参与，进行知识的“再创造”打下基础。
③有效的数学学习必须围绕数学本质进行，不能喧宾夺主，只图表面热闹.比如步骤二，目的是让学生经历无理数的产生过程，使学生更深刻地理解无理数的概念，把大部分时间放在利用计算器的探索上显然有些“过”了。
4.根据以上观点，笔者做了如下改进
①舍去无谓的操作：如步骤一第二问，教师就直接在2×2方格纸上画出边长为√2的正方形，让学生确定其面积和边长，这样可以使学生将更多的时间和精力放在对无理数的探究上.②注重新旧知识之间的联系：如在要求学生回答“面积为2的正方形的边长是多少？”这一问题前，教师先引导学生回顾平方根的概念和表示，使学生更容易想到2的平方根为±√2；③为学生建立脚手架，帮助学生顺利解决几何作图这一教学难点.④提高计算器探索过程的有效性：如用计算器探索√2的十分位、百分位、千分位等数位上的值，只让学生探索到了百分位，了解其探索方法即可。
（四）行云流水——第二次教学实践
1.教学场景
第二轮的教学实践我重点针对导入——探究——建立概念中教学环节的不流畅及时间过长做了重点调整。
步骤一：出示方格纸，如图：设每一方格的边长为1个单位。
师：图中有几种面积不同的正方形？面积和边长为多少？
生4：两个，面积分别为12 ，22边长分别为1、2。
师：将四边中点连接，所成正方形的面积是多少？
生5：面积为2。
师：我们知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作…？（学生齐答：±√a）；那么如果一个数的平方等于2，这个数就叫做2的平方根，记作…？（学生齐答：±√2）；面积为2的正方形的边长是+√2还是-√2呢？（学生答：+√2）
师：比较以上正方形面积的大小，由面积大小能确定其边长的大小吗？为什么？
生6：能，因为正方形的面积等于边长的平方，面积越大，边长就越大，所以1<√2<2。
（在步骤一的过程中，教师将学生的回答整理成板书：：12 <2<22，1<√2<2；）
步骤二：利用计算器来探索√2的十分位、百分位、千分位等数位上的值。
师：由1<√2<2，确定√2=1.…，能否确定十分位上的数呢？
（学生有些说能，有些说不能，有些则沉默。）
师：那我们就猜一个吧！假如说是3，那√2比1.3大，比1.4要小，即1.3<√2<1.4，你认为对吗？为什么？
（教师整理板书：1.3<√2<1.4，学生纷纷利用计算器探索，很快得到结论：1.3<√2<1.4是错误的，因为1.32 <2<1.42，应该是1.4<√2<1.5，因为：1.42 <2<1.52.）
师：根据以上得：√2=1.4，能不能再精确到百分位呢？
（整理板书： 1.412<2<1.422 1.41<√2<1.42；）
师：以上得到的1.4，1.41等仅是√2的近似值， √2究竟是多少呢？
步骤三：通过比较，总结√2的特征，建立无理数、实数的概念。
（辨别√2是否是分数时，教师直接告诉学生分数可化为有限小数和无限循环小数。）
步骤四：数形结合，构建平台深化概念，通过深化实现对概念更有效地建立。
多媒体出示：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）。
-1.4， 3.3， 1.5， √2， -√2， ∏
生7：怎样在数轴上表示√2和-√2？
①借助辅助图形，为学生建立脚手架
师：实物投影步骤一中2×2方格纸，如果我在图上画一条数轴，以小正方形的边长为一个单位长，（如图1）那么中间这一正方形的边长为√2个单位长，能否将√2个单位长表示在数轴上呢？
（学生恍然大悟，都认为√2可以表示在数轴上，有一些认为用尺测量线段的长度。）
师：用尺测量可以，但总有误差，还有其他方法吗？（圆规，学生马上想到。）
师：我们以O为圆心，√2为半径画圆，与数轴相交于两点，这两点表示多少呢？
（在教师的演示过程中，学生很容易就认识到左边一点为-√2，右边为√2，如图1.）
②通过观察，让学生撤去不需要的脚手架. 师：在这一过程中，你认为哪些图形是多余的？
（在老师的引导下，学生一步步撤去脚手架，确定了只要画出1×1的方格，连接其对角线就能表示√2个单位长，如图2.） 2.教研组评价
①导入——探究——建立概念部分时间过长、低效是上一轮课最大的缺点，第二轮上课对这一环节的时间和问题做了调整，整个过程自然顺畅。见下表，其中表1为时间统计表， 表2为建立概念过程中学生回答问题情况统计表：
三阶段
轮次＼&
第一次建立概念时间（时间为22分钟）＼&
第二次建立概念时间
（时间为12分钟）＼&导入＼&6分钟＼&4分钟＼&合作探究＼&10分钟＼&6分钟＼&建立概念 ＼&6分钟＼&3分钟＼&] [ 统计
回答＼&第一次建立概念＼&第二次建立概念＼&频次＼&百分比＼&频次＼&百分比＼&1、无回答＼&2＼&11﹪＼&0＼&0﹪↓＼&2、机械判断是否＼&8＼& 44﹪＼&4＼&25﹪↓＼&3、认知记忆性回答＼& 3＼&17﹪＼&6＼&38﹪↑＼&4、推理性回答＼& 5＼&28﹪＼&5＼&31﹪↑＼&5、创造评价性回答＼& 0＼&0﹪＼&1＼&6﹪↑＼&]
②无理数在数轴上的表示涉及到几何作图，是教学的难点。为降低思维起点，减小思维跨度，教师利用“现成的脚手架”引导学生在探究中发现了√2和-√2在数轴上的表示方法，然后再由学生拆除脚手架。整个过程衔接自然，实现了知识的“再创造”。
四、对建立新概念的有效性的思考——第三次教学实践
（一）注重概念引入的有效性
在概念引入过程中，要分析不同类型的数学概念的逻辑结构、概念的背景和发展情况，分析学生当时的知识结构、智力水平和学习态度，考虑学生在建立概念的过程中可能出现的困难，灵活运用不同的方式，例如在引进“正负数”概念时，可通过温度与海拔高度这两个小学接触过的实例，指出为了区别零上温度与零下温度，海平面以上高度与海平面以下高度等具有相反意义的量，引进正负数的概念。
（二）注重概念建立过程中思维的有效性
数学概念是数学思维的载体，数学概念的形成是学生通过思维活动“再创造”的过程，但是由于学生的思维水平参差不齐，在概念建立的过程中，无论采用动手实践、自主探究，还是合作学习等学习方式，都会遇到很多思维障碍.导致课堂效率低下，或者成为少数学生的表演课，这就需要教师运用教学智慧创设思维情境，降低思维起点，让更多的学生参与到思维过程中来，再通过设计梯度问题减小思维跨度，由浅入深，从而逐渐接近概念的本质。
（三）注重教学手段的有效性
传统教学手段与现代教学手段各有优点和不足，所以应当使传统教学手段的精华与现代教学手段有机结合，既要守住“传统”，又要用好“现代”，例如在这堂课中，我除了充分运用课件、实物投影外，还注重了板书的处理：
在整个概念建立过程中，教师将学生整个思维活动的轨迹记录下来，并使之条理化，系统化，所以板书的过程，就是学生对知识“再创造”的过程。它和多媒体结合使用，对促进学生基本知识、基本技能的形成起到了1+1>2的效果。
综上所述，为有效地建立新概念，我们必须尊重学生的概念形成过程，尊重学生的思维过程，合理运用教学方式和手段，遇山开山，遇河搭桥，让学生快速、高效地行驶在知识之坦途上。
参考文献：
[1] 浙教版义务教育课程标准实验教科书·数学[M].七年级上册教科书.
[2]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京师范大学出版社，2001年7月第1版.
[3]雷明生.谈谈数学概念教学的一些策略[J].中国数学教育（初中），2007，（5）：8-9.