摘要：本文是对求解一类三角形的一边长的问题的再讨论，主要是通过余弦定理，建立一个根式方程，化简后得到关于未知边长的二次方程并求解之，从而给出一类中考题的新颖的代数解法.同时本文还得到了边长表达式中蕴涵的几何意义.
　　关键词：余弦定理；代数解法；几何意义
　　
　　邹守文基于三道中考题，给出了如下问题的通解. 这个问题是：
　　如图1，在△ABC中， 已知∠BAC=α，AD⊥BC于D，BD=a，DC=b，求AD的长.
　　结论是：AD=+，其中当α=时，视=cotα=0.
　　基于余弦定理，本文给出一种代数解法，以飨读者.
　　
　　圖1
　　解析设AD=x，在△ACD中，由勾股定理得AC==；
　　在△ABD中，由勾股定理得AB==；
　　在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2－2AB•ACcos∠BAC，即（a+b）2=（a2+x2）+（x2+b2）－2cosα，
　　化简得x2－ab=•cosα，（1）
　　两边同时平方并化简得
　　（x4+a2b2）（1－cos2α）=［（a2+b2）cos2α+2ab］x2，
　　即x4+a2b2=x2，
　　配方得（x2－ab）2=x2，
　　故x2－（a+b）xcotα－ab=0（舍去负根），
　　 （2）
　　注：若α=，由直角三角形的射影定理知x2－ab=0，（a+b）xcotα=0；若α<，A在以BC为直径的圆外，不妨设AD与圆交于A′，显然AD>A′D，易得x2－ab>A′D2－ab=0，此时（a+b）xcotα>0；若<α<π，类似可得x2－ab<0，此时（a+b）xcotα<0. 综上，（2）中舍去负根.
　　对（2），解一元二次方程得x=±，（3）
　　因为x=AD>0，所以（3）中舍去负号，
　　得x=+•，
　　即AD=+.?摇（4）
　　证毕.
　　对该问题继续探究可得如下证法.
　　如图1所示，设△ABC的外接圆心为点O，作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F.
　　在Rt△AOF中，AF==，其中R为外接圆半径，当AD过O点时，此式仍然成立；
　　在Rt△OBE中，∠BOE=∠BOC=∠BAC=α，故FD=OE=Rcosα，此式适用范围是α∈0，.
　　在△ABC中，由正弦定理得R=.
　　故当α∈0，时，AD=AF+FD=+，其中当α=时，视=cotα=0；
　　当α∈，π时，在Rt△OBE中，∠BOE=∠BOC=π－∠BAC=π－α，故FD=OE=Rcos（π－α）=－Rcosα，此时AD=AF－FD=+.
　　于是，对于α∈（0，π），恒有AD=+， （5）
　　其中当α=时，视=cotα=0.
　　易证（4）等价于（5）.
　　于是得出（4）的几何意义，根式部分即为已知角的顶点到其对边的距离，剩余部分的绝对值等于外接圆圆心到已知角的对边的距离.