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[摘 要]通过分析新工科背景下工程数学课程群建设的必要性，提出对照高中新课标，进行概率论与数理统计课程改革。采用知识导图及贯穿专业背景的案例教学法，进行复变函数与积分变换课程改革。最后，向专业问需求，打通不同课程之间的壁垒，进行工程数学课程群整合与应用案例教学设计，构建工科数学课程群学习支持体系。
[关键词]工程数学;课程群建设;概率论与数理统计;复变函数与积分变换
[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2020）01-0025-03
一、引言
2017年2月20日，教育部发布《关于开展新工科研究与实践的通知》（教高司函〔2017〕6号），其目的是深化工程教育改革，服务和支撑我国经济转型升级，探讨在当前以新技术、新业态、新产业为特点的新经济发展态势下，新工科的发展道路和人才培养要求[1]。工程数学课程群包括但不限于线性代数、概率论与数理统计、复变函数与积分变换、常微分方程、数值计算等课程，这是大多数工科类专业所必需的数学基础核心课程，更是学习后续专业课程的知识保障。其教学目标是使学生能够在遇到专业课程中的实际问题时，能运用相关数学知识和使用数学语言进行表达与求解。
武汉理工大学（以下简称“我校”）作为一个以材料、交通、机械、汽车等为优势学科的理工科大学，工程数学有着广泛的学习群体。长期以来，传统工程数学课程由于学时短任务重，知识难度大，且各课程之间缺乏融会贯通而被学生视为学习的难点，学生面对复杂数学理论的学习感到茫然，只求通过课程考试获得必修学分。工程数学在各工科专业中没有真正发挥作用，这直接影响到学生专业课程的学习以及学生自身专业素养的提高。因此，为适应新工科发展和新工科人才培养要求，进行工程数学课程群教学改革势在必行。
各大高校也注意到这些问题，纷纷开展工程数学课程群的教学改革与实践。张长勤等[2]建议课程由数学教师与计算机、工程技术等相关课程的教师共同进行研究、建设，加强专业应用背景介绍;母丽华等[3]通过实施案例教学法来培养学生的学习主动性;谢加良等[4]探讨了新工科理念下信息技术与线性代数的融合。
新工科理念下的工程数学课程群教学与改革，应该是课程群多课程的整体联动，互相打通。关于线性代数的课程改革，笔者已另有多篇文章论述，在此不再介绍。本文贯彻“工程数学服务于新工科建设”这一理念，探讨我校新工科理念下的工程数学课程群建设，重点阐述概率论与数理统计及复变函数与积分变换这两门课程的教学改革实践及工程课程教学群建设措施。
二、工程数学课程群教学改革实践
（一）对照高中新课标，进行概率论与数理统计课程教学改革
概率论与数理统计课程贴近生活，例题富有趣味性，是工程数学中最容易被学生接受的课程。但在实际学习中，学生在前半段不重视这门课程，到后半段的数理统计部分才感到课程学习困难。究其原因，还要从新课标高中课程与大学课程的衔接和教学目标、教学方式的差异等说起。表1是2017年版新课标的高中课程[5]与大学课程的知识点对比。可见，新课标中对于概率论与数理统计的知识涉及面达到近60%。特别是学习第一、第二章的时候，因为知识点重复率高，学生容易产生懈怠心理。由于高中阶段概率部分教学的主要目的是使学生了解随机现象及概率的意义，理解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性等， 而不追求严格定义及形式化描述。因此，随着学习的推进，到了随机数据的数字特征和数理统计这部分，很多学生开始犯愁，听不懂。
对此，我们的改革措施为：调整教学侧重点，重视教学设计，注重对学生“知识发现过程”的引导。为避免课程开始时学生产生轻视心理，教师需熟悉高中相关课程知识，调整知识点讲解的详略侧重，降低简单重复内容的教学，注意进行教学内容的对接。教学设计可从学生的自我经验出发，以高中课本的典型例题为切入点，但更重要的是，教师应引导学生认识到本科概率论与数理统计课程与高中课程在要求上的不同， 提醒学生及时发现和适应本科教学与高中教学的巨大差异。在教学中，教师须从理论本质上去引导学生探寻“知识发现”的过程，侧重强调概念与术语的引入、理论的掌握、思想及方法的提出;同时，提高他们的理论化描述能力和抽象思维能力，以及对公理化公式的深刻理解程度，从而提高他们学习的广度和深度。
（二）结合专业基础课程，进行复变函数论课程改革
复变函数与积分变换课程，从实际教学效果反馈来看，是学习难度最大的一门数学课程。我们的教学改革主要围绕如下几点展开。
1.构建知识导图，梳理知识框架
为了帮助学生加深对概念的理解，对于重要相关知识点，利用思维导图，构造知识点的网络关联图，帮助学生将繁杂凌乱的知识点整合成一个整体，重视对概念和定理的直观分析及讲解，注重对概念和定理的整体直观把握。梳理各种计算方法之间的先决条件，形成一个知识结构系统。同时采用类比法教学，让学生回忆高等数学中的實函数微积分，再将其扩展到复数域中，分析他们的类似之处，并仔细对比差别，以加深学生对概念的理解。
2.和专业课程结合，贯穿案例式教学
学生在学习复变函数与积分变换的时候，正在学习电路原理、模拟电子电路、信号与系统等专业基础课。在教学中，需要重视课程教学内容和这些专业课程的结合，对案例教学法和参与式教学法进行改革。首先，给出这些专业课程中的实际问题，例如，以信号与系统或电路分析为例，一个系统通常使用常微分方程或差分方程进行描述;然后，从复变函数与积分变换的角度分析，并选择恰当的知识方法解决问题。信号与系统的变换域分析法，利用拉普拉斯变换和傅立叶变换或Z变换进行求解，正好涵盖复变函数与积分变换的知识框架。微分方程经过变换处理后，转化为相应的代数方程，求解简单，这是积分变换理论的主要应用目的。其次，鼓励和引导学生利用MATLAB等符号计算工具进行复变函数与积分变换的数值实验，以及实现特定函数的可视化，提高学生的动手能力和对课程及概念的理解。最后，引导学生独立思考，使用课程理论逐步求解这些案例，加快学生对抽象理论、方法的理解和应用。 教学实践、问卷调查及期末考试成绩表明，帮助学生理清这条学习基本主线，对学生学习专业课程极为有益。通过以上教学设计和改革，学生既能学习和掌握积分变换的思想，又能与其专业课相结合，教学效果比改革之前单纯地讲数学知识有了明显的提高，学生的重视程度提高，考试通过率明显提升，期末考试平均分提高约15.3分。
三、构建“应用驱动”工程数学课程群
（一）打通课程之间的壁垒，向专业问需求，进行工程数学课程群整合应用案例教学
当下工业应用与专业课程中有很多问题是多门工科数学课程的综合应用。可惜绝大多数学生在大三、大四进行专业学习时，不能运用之前学习的工程数学理论去求解问题。为此，除在课堂贯穿案例教学之外，课程组以当下的热点问题或专业课程中的问题为切入点，整合研制应用教学案例，以打通课程之间的壁垒，帮助学生融会贯通，逐步形成“数学基础知识—数学思想与方法—数学语言训练—专业问题背后的数学理论探究与应用”的教学内容体系。
这里列举三个我校进行应用驱动整合的教学案例。1.“人脸识别系统”的数学原理与实现：以当下广泛应用的“刷脸”系统为例，给学生讲解一个最简单的基于主成分分析的“人脸识别系统”。在这一应用案例中，需要用到概率论与数理统计中的协方差矩阵、假设检验知识，以及线性代数理论中的线性变换、特征值与特征向量、实对称矩阵的相似对角化、奇异值分解等知识。教师可以用最简单的OAL（Olivetti Research Laboratory）人脸数据库为例，给学生讲解数据降维、协方差矩阵的元素的意义、特征脸的含义等，这些知识点既富趣味性，又有丰富的图像表现。更重要的是，它比较完整地整合了线性代数和概率论与数理统计的内容，学生学习完这一应用案例后，会对相关知识点等有更深的理解，这正是课程整合的目的。2.连续时不变与离散移不变线性系统的求解方法：在电路理论、信号与系统、控制论和力学等课程中，我们常将一个电路系统或力学系统表示成一个常微分方程。通过工程数学的学习，学生可以使用不同方法求解。如：引入复变函数理论的p算子留数法去求解（较复杂），在傅里叶变换域，或者拉普拉斯变换域内的则会更容易实现。此外，在该线性系统的状态变量分析法中，使用线性代数特征值的理论去探讨系统稳定性。当学生使用多门工程数学理论，殊途同归地解决问题后，必然会对专业课程的求解有更深入的理解。3.Logistic 回归分析的数学原理与实现：给出一个机器学习中经常用到的二分类问题，其数据表示与公式推导，使用矩阵运算实现，而对线性回归效果检验，则可以使用数理统计中的F校验法或R校验法去实现。
近两年的教学改革与实践表明，通过研制和讲解这些工科课程群整合教学案例，课程理论变得有血有肉，生动具体。学生提高了对工程数学课程的重视，他们在后续专业学习中使用这些数学工具去求解问题的能力大大提高，也取得了更好的输出性效果。在2018年全国大学生数学建模竞赛中，我校取得5个全国一等奖、5个全国二等奖的佳绩[6]。
（二）加强教师团队建设，丰富教学手段，构建工科数学课程群学习支持体系
从以上的改革措施可以看出，仅具备深厚的数学基础和严密的理论推导证明能力，对于工程数学教师来说是远远不够的。为更好地体现工程数学教学服务于新工科的功能，教师团队在进行个性化教学时，需要不断提高自己专业的深度和宽度，并熟悉相关工科后续主体课程的书籍，重视专业应用案例的数学知识讲解。同时，讲授不同课程的教师应与时俱进，与工科专业教师进行整合交流，构建课程群学习支持体系，并以自身的科研经历和相关数学理论在实际项目中的应用情况给学生现身说法，培养学生对科学研究的憧憬，让学生树立远大目标。
教师应根据不同的教学内容及学生的实际情况，通过动画、视频和模拟仿真等可视化资源，提高学生的学习兴趣和直观感受;通过构建立体化教学资源，实施适合智能化终端学习的混合式教学，以实现学习时空的最大化;通过和实际问题相关的拓展教学案例讲解和求解，为学生提供能力拓展渠道和形成性效果評价，培养学生的数学思维应用能力及学术研究动力。此外，教师应积极构建信息化教与学，利用已建成的在线开放课程，实践混合式教学，丰富立体化教学手段，增加计算机实现过程，使学生能打破时空限制进行多维度学习。
四、总结
本文探讨了我校在新工科背景下的工程数学课程群建设与实践。课程群建设需长期持续发展，以反映数学与交叉领域的最新科研成果，吸取教学改革经验，体现我校材料、交通、机械和汽车等优势学科对人才培养提出的新要求，并逐步构建工程数学和科学与工程计算、信息智能处理交叉融合的新型课程体系，培养学生宽、厚、实的理论基础，高、新、活的专业知识和实验技能，最终加强理科应用型人才、复合型人才和拔尖创新人才的培养。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 教育部高等教育司关于开展新工科研究与实践的通知. [EB/OL].[2017-02-20].http：//www.moe.gov.cn/s78/A08/A08_gggs/A08_sjhj/201702/t20170223_297158.html.
[2] 张长勤，岳超慧. 工程数学教学改革的探索与实践[J].大学数学，2014（4）：45-47.
[3] 母丽华，杜红，宋作忠，王婷.工程数学系列课实施案例式教学的探索与实践[J].东北农业大学学报（社会科学版），2013（1）：131-134.
[4] 谢加良，朱荣坤，宾红华. 新工科理念下线性代数课程教学设计探索[J]. 长春师范大学学报，2018（4）：131-133.
[5] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[6] 2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单（初稿） [EB/OL].[2018-11-10].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/291a61be7c7fba585082ae9480da4235.html.
[责任编辑：陈 明]
[关键词]工程数学;课程群建设;概率论与数理统计;复变函数与积分变换
[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2020）01-0025-03
一、引言
2017年2月20日，教育部发布《关于开展新工科研究与实践的通知》（教高司函〔2017〕6号），其目的是深化工程教育改革，服务和支撑我国经济转型升级，探讨在当前以新技术、新业态、新产业为特点的新经济发展态势下，新工科的发展道路和人才培养要求[1]。工程数学课程群包括但不限于线性代数、概率论与数理统计、复变函数与积分变换、常微分方程、数值计算等课程，这是大多数工科类专业所必需的数学基础核心课程，更是学习后续专业课程的知识保障。其教学目标是使学生能够在遇到专业课程中的实际问题时，能运用相关数学知识和使用数学语言进行表达与求解。
武汉理工大学（以下简称“我校”）作为一个以材料、交通、机械、汽车等为优势学科的理工科大学，工程数学有着广泛的学习群体。长期以来，传统工程数学课程由于学时短任务重，知识难度大，且各课程之间缺乏融会贯通而被学生视为学习的难点，学生面对复杂数学理论的学习感到茫然，只求通过课程考试获得必修学分。工程数学在各工科专业中没有真正发挥作用，这直接影响到学生专业课程的学习以及学生自身专业素养的提高。因此，为适应新工科发展和新工科人才培养要求，进行工程数学课程群教学改革势在必行。
各大高校也注意到这些问题，纷纷开展工程数学课程群的教学改革与实践。张长勤等[2]建议课程由数学教师与计算机、工程技术等相关课程的教师共同进行研究、建设，加强专业应用背景介绍;母丽华等[3]通过实施案例教学法来培养学生的学习主动性;谢加良等[4]探讨了新工科理念下信息技术与线性代数的融合。
新工科理念下的工程数学课程群教学与改革，应该是课程群多课程的整体联动，互相打通。关于线性代数的课程改革，笔者已另有多篇文章论述，在此不再介绍。本文贯彻“工程数学服务于新工科建设”这一理念，探讨我校新工科理念下的工程数学课程群建设，重点阐述概率论与数理统计及复变函数与积分变换这两门课程的教学改革实践及工程课程教学群建设措施。
二、工程数学课程群教学改革实践
（一）对照高中新课标，进行概率论与数理统计课程教学改革
概率论与数理统计课程贴近生活，例题富有趣味性，是工程数学中最容易被学生接受的课程。但在实际学习中，学生在前半段不重视这门课程，到后半段的数理统计部分才感到课程学习困难。究其原因，还要从新课标高中课程与大学课程的衔接和教学目标、教学方式的差异等说起。表1是2017年版新课标的高中课程[5]与大学课程的知识点对比。可见，新课标中对于概率论与数理统计的知识涉及面达到近60%。特别是学习第一、第二章的时候，因为知识点重复率高，学生容易产生懈怠心理。由于高中阶段概率部分教学的主要目的是使学生了解随机现象及概率的意义，理解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性等， 而不追求严格定义及形式化描述。因此，随着学习的推进，到了随机数据的数字特征和数理统计这部分，很多学生开始犯愁，听不懂。
对此，我们的改革措施为：调整教学侧重点，重视教学设计，注重对学生“知识发现过程”的引导。为避免课程开始时学生产生轻视心理，教师需熟悉高中相关课程知识，调整知识点讲解的详略侧重，降低简单重复内容的教学，注意进行教学内容的对接。教学设计可从学生的自我经验出发，以高中课本的典型例题为切入点，但更重要的是，教师应引导学生认识到本科概率论与数理统计课程与高中课程在要求上的不同， 提醒学生及时发现和适应本科教学与高中教学的巨大差异。在教学中，教师须从理论本质上去引导学生探寻“知识发现”的过程，侧重强调概念与术语的引入、理论的掌握、思想及方法的提出;同时，提高他们的理论化描述能力和抽象思维能力，以及对公理化公式的深刻理解程度，从而提高他们学习的广度和深度。
（二）结合专业基础课程，进行复变函数论课程改革
复变函数与积分变换课程，从实际教学效果反馈来看，是学习难度最大的一门数学课程。我们的教学改革主要围绕如下几点展开。
1.构建知识导图，梳理知识框架
为了帮助学生加深对概念的理解，对于重要相关知识点，利用思维导图，构造知识点的网络关联图，帮助学生将繁杂凌乱的知识点整合成一个整体，重视对概念和定理的直观分析及讲解，注重对概念和定理的整体直观把握。梳理各种计算方法之间的先决条件，形成一个知识结构系统。同时采用类比法教学，让学生回忆高等数学中的實函数微积分，再将其扩展到复数域中，分析他们的类似之处，并仔细对比差别，以加深学生对概念的理解。
2.和专业课程结合，贯穿案例式教学
学生在学习复变函数与积分变换的时候，正在学习电路原理、模拟电子电路、信号与系统等专业基础课。在教学中，需要重视课程教学内容和这些专业课程的结合，对案例教学法和参与式教学法进行改革。首先，给出这些专业课程中的实际问题，例如，以信号与系统或电路分析为例，一个系统通常使用常微分方程或差分方程进行描述;然后，从复变函数与积分变换的角度分析，并选择恰当的知识方法解决问题。信号与系统的变换域分析法，利用拉普拉斯变换和傅立叶变换或Z变换进行求解，正好涵盖复变函数与积分变换的知识框架。微分方程经过变换处理后，转化为相应的代数方程，求解简单，这是积分变换理论的主要应用目的。其次，鼓励和引导学生利用MATLAB等符号计算工具进行复变函数与积分变换的数值实验，以及实现特定函数的可视化，提高学生的动手能力和对课程及概念的理解。最后，引导学生独立思考，使用课程理论逐步求解这些案例，加快学生对抽象理论、方法的理解和应用。 教学实践、问卷调查及期末考试成绩表明，帮助学生理清这条学习基本主线，对学生学习专业课程极为有益。通过以上教学设计和改革，学生既能学习和掌握积分变换的思想，又能与其专业课相结合，教学效果比改革之前单纯地讲数学知识有了明显的提高，学生的重视程度提高，考试通过率明显提升，期末考试平均分提高约15.3分。
三、构建“应用驱动”工程数学课程群
（一）打通课程之间的壁垒，向专业问需求，进行工程数学课程群整合应用案例教学
当下工业应用与专业课程中有很多问题是多门工科数学课程的综合应用。可惜绝大多数学生在大三、大四进行专业学习时，不能运用之前学习的工程数学理论去求解问题。为此，除在课堂贯穿案例教学之外，课程组以当下的热点问题或专业课程中的问题为切入点，整合研制应用教学案例，以打通课程之间的壁垒，帮助学生融会贯通，逐步形成“数学基础知识—数学思想与方法—数学语言训练—专业问题背后的数学理论探究与应用”的教学内容体系。
这里列举三个我校进行应用驱动整合的教学案例。1.“人脸识别系统”的数学原理与实现：以当下广泛应用的“刷脸”系统为例，给学生讲解一个最简单的基于主成分分析的“人脸识别系统”。在这一应用案例中，需要用到概率论与数理统计中的协方差矩阵、假设检验知识，以及线性代数理论中的线性变换、特征值与特征向量、实对称矩阵的相似对角化、奇异值分解等知识。教师可以用最简单的OAL（Olivetti Research Laboratory）人脸数据库为例，给学生讲解数据降维、协方差矩阵的元素的意义、特征脸的含义等，这些知识点既富趣味性，又有丰富的图像表现。更重要的是，它比较完整地整合了线性代数和概率论与数理统计的内容，学生学习完这一应用案例后，会对相关知识点等有更深的理解，这正是课程整合的目的。2.连续时不变与离散移不变线性系统的求解方法：在电路理论、信号与系统、控制论和力学等课程中，我们常将一个电路系统或力学系统表示成一个常微分方程。通过工程数学的学习，学生可以使用不同方法求解。如：引入复变函数理论的p算子留数法去求解（较复杂），在傅里叶变换域，或者拉普拉斯变换域内的则会更容易实现。此外，在该线性系统的状态变量分析法中，使用线性代数特征值的理论去探讨系统稳定性。当学生使用多门工程数学理论，殊途同归地解决问题后，必然会对专业课程的求解有更深入的理解。3.Logistic 回归分析的数学原理与实现：给出一个机器学习中经常用到的二分类问题，其数据表示与公式推导，使用矩阵运算实现，而对线性回归效果检验，则可以使用数理统计中的F校验法或R校验法去实现。
近两年的教学改革与实践表明，通过研制和讲解这些工科课程群整合教学案例，课程理论变得有血有肉，生动具体。学生提高了对工程数学课程的重视，他们在后续专业学习中使用这些数学工具去求解问题的能力大大提高，也取得了更好的输出性效果。在2018年全国大学生数学建模竞赛中，我校取得5个全国一等奖、5个全国二等奖的佳绩[6]。
（二）加强教师团队建设，丰富教学手段，构建工科数学课程群学习支持体系
从以上的改革措施可以看出，仅具备深厚的数学基础和严密的理论推导证明能力，对于工程数学教师来说是远远不够的。为更好地体现工程数学教学服务于新工科的功能，教师团队在进行个性化教学时，需要不断提高自己专业的深度和宽度，并熟悉相关工科后续主体课程的书籍，重视专业应用案例的数学知识讲解。同时，讲授不同课程的教师应与时俱进，与工科专业教师进行整合交流，构建课程群学习支持体系，并以自身的科研经历和相关数学理论在实际项目中的应用情况给学生现身说法，培养学生对科学研究的憧憬，让学生树立远大目标。
教师应根据不同的教学内容及学生的实际情况，通过动画、视频和模拟仿真等可视化资源，提高学生的学习兴趣和直观感受;通过构建立体化教学资源，实施适合智能化终端学习的混合式教学，以实现学习时空的最大化;通过和实际问题相关的拓展教学案例讲解和求解，为学生提供能力拓展渠道和形成性效果評价，培养学生的数学思维应用能力及学术研究动力。此外，教师应积极构建信息化教与学，利用已建成的在线开放课程，实践混合式教学，丰富立体化教学手段，增加计算机实现过程，使学生能打破时空限制进行多维度学习。
四、总结
本文探讨了我校在新工科背景下的工程数学课程群建设与实践。课程群建设需长期持续发展，以反映数学与交叉领域的最新科研成果，吸取教学改革经验，体现我校材料、交通、机械和汽车等优势学科对人才培养提出的新要求，并逐步构建工程数学和科学与工程计算、信息智能处理交叉融合的新型课程体系，培养学生宽、厚、实的理论基础，高、新、活的专业知识和实验技能，最终加强理科应用型人才、复合型人才和拔尖创新人才的培养。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 教育部高等教育司关于开展新工科研究与实践的通知. [EB/OL].[2017-02-20].http：//www.moe.gov.cn/s78/A08/A08_gggs/A08_sjhj/201702/t20170223_297158.html.
[2] 张长勤，岳超慧. 工程数学教学改革的探索与实践[J].大学数学，2014（4）：45-47.
[3] 母丽华，杜红，宋作忠，王婷.工程数学系列课实施案例式教学的探索与实践[J].东北农业大学学报（社会科学版），2013（1）：131-134.
[4] 谢加良，朱荣坤，宾红华. 新工科理念下线性代数课程教学设计探索[J]. 长春师范大学学报，2018（4）：131-133.
[5] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[6] 2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单（初稿） [EB/OL].[2018-11-10].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/291a61be7c7fba585082ae9480da4235.html.
[责任编辑：陈 明]