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人教版《数学》七年级上册108页有一道悠久历史的名题，简要记述了希腊数学家丢番图的生平，题中没有明确说出丢番图的寿命等数字，但又隐含于题中。如何解决这类古代问题？笔者进行了这样的教学探索：
活动1：故事里的数学
课件：链接动画“趣味故事——愣人请客”
传说中有个人因为不讲究说话艺术，结果把好事办坏了。
一天，他大摆宴席，请来了一些客人。他看有几位客人还没有到，就自言自语地说：“怎么该来的还不来呢？”客人们听了，心想：“这么说，我们都是不该来的啦！”于是，有一半人悄悄走了。他一看人走了许多，十分焦急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”剩下的人一听，已走的都是不该走的，那么，该走的倒是我们了。于是，又有三分之二的人离开了。
这人一见客人都陆续不辞而别，急得直拍大腿，连连说：“这，这，我说的不是他们！”最后剩下的3人一听，心想：“那定是说我们了！”于是，一个个也拍拍屁股抬脚告辞了。结果，所有的客人都走光了。
师：同学们，首先我们一起来听个小故事……。（师链接动画“趣味故事——愣人请客”，生声情并茂讲故事）
师：你知道，故事中所有的客人分几次走光的？
生：分三次走光的：第一次，有一半人悄悄走了；第二次，又有三分之二的人离开了；第三次，最后剩下的3人告辞了。
师：好！根据这位同学的分析，1、2、3组的同学能否试着用算术方法求故事中一开始共来了多少位客人？4、5、6组的同学能否尝试着用方程解呢？看看哪一组的同学更快。（学生分组讨论，组长负责记录，教师巡视、参与讨论）
师：我们先来听听第1组的探究成果。（将记录投影，学生代表结合投影讲解）
生：我们组一致认为可以把来客总数看作一个整体，那么第一次走后剩下总数的1-■=■。第二次走了剩下人数的■，就是走了总数的■×■=■。所以最后余下的3人，相当于总数的：1-■-■=■，所以，客人总数是：3÷■=18（人）。
师：这个小组用算术方法确定了客人总数，探究成果是显著的，这位同学的讲解也很清晰，值得我们学习。能用方程思想来解吗？第4组展示一下。（将记录投影，学生代表结合投影讲解）
生：我们是用方程来解的，首先我们发现三次走掉的人数之和等于来的客人总数，可以设开始时共来了x位客人，则三次走掉的人数分别是■x、■×■x、3，所以列出方程：
■x+■×■x+3=x，解得：x=18。所以，共来了18位客人。
师：今天同学们的探究都很投入，分别从算术和方程两个角度解决数学实际问题，成果斐然。尤其上来讲解的同学语言简洁、明了，非常清楚地表达了他们的想法，值得大家学习。
活动2：丢番图墓志铭
链接动画：1. 丢番图简介 2. 丢番图的墓志铭
公元3世纪古希腊的著名代数学家丢番图的墓碑上，刻着如下的铭文：
“过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数目可以告诉您，他一生究竟有多长。他生命的六分之一是幸福的童年。再活了十二分之一，颊上长起了细细的胡须。丢番图结了婚，可是还不曾有孩子。这样又过了一生的七分之一。再过了五年，他得了头胎儿子，感到很幸福。可是命运给这孩子在世界上的光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。自打儿子死了以后，这老头儿在深深的悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯。
请您算算看，丢番图活了多大岁数？
师：从“丢番图的墓志铭”上你可以知道丢番图的一生分成了几个阶段？
生：可以分： “六分之一的童年， 再活了十二分之一， 又过了一生的七分之一， 再过了五年， 他孩子的生命（又过了一生的一半）， 又活了四年”六个阶段。
师：这位同学分析的非常好，下面各小组可以选择用算术方法解或用方程解合作完成。
看看哪一组的同学更快。（学生分组讨论，组长负责记录，教师巡视、参与讨论）
师：我们先来听听第3组的探究成果。（将记录投影，学生代表结合投影讲解）
生：我们组一致认为可以把丢番图的一生当作一个整体1， 因为题中只有一个四年和五年是具体数量，所以要考虑这九年占的分率，相除即可得出。设单位“1”，即丢番图活的岁数为：4+5÷1-■-■-■-■=84（岁）
师：有其它解法吗？第5组
生：我们组认为： 丢番图的年龄必为12和7的公倍数，12与7的最小公倍数为12×7=84，检验后，84就是他的年龄。
师：方程思想怎么做？第6组
生：设丢番图的年龄是x岁，由题意可得：
■x+■x+■x+5+■x+4=x，
去分母：14x+7x+12x+42x+84（5+4）=84x，解得：x=84。
所以丢番图的年龄为84岁。
师：通过上面两个活动，你能说说用算术方法解或用方程解实际问题时哪种方法更方便呢？
生：在复杂问题中用算术方法分析时较困难，用方程分析时就比较方便了， 但是关键要找到相等关系。
师：通过本节课的探究学习，你有哪些收获和体会？
生1：在小学时，我们用算术方法解决应用题，是逆向思考；进初中学习了一元一次方程的应用，发现原来还可以用方程思想解决应用题，是顺向思考。每一种方法都各有所长。
生2：在解决比较复杂的实际问题时，方程方法比算术方法更简便，可以节约很多时间。
生3：我认同前面同学的观点。我认为方程方法比算术方法更简洁明了，将复杂问题简单化，易于找到突破口。
生4：在实际问题中，我们来根据不同的问题选择适合的方法，才能快速的解决问题。
活动1：故事里的数学
课件：链接动画“趣味故事——愣人请客”
传说中有个人因为不讲究说话艺术，结果把好事办坏了。
一天，他大摆宴席，请来了一些客人。他看有几位客人还没有到，就自言自语地说：“怎么该来的还不来呢？”客人们听了，心想：“这么说，我们都是不该来的啦！”于是，有一半人悄悄走了。他一看人走了许多，十分焦急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”剩下的人一听，已走的都是不该走的，那么，该走的倒是我们了。于是，又有三分之二的人离开了。
这人一见客人都陆续不辞而别，急得直拍大腿，连连说：“这，这，我说的不是他们！”最后剩下的3人一听，心想：“那定是说我们了！”于是，一个个也拍拍屁股抬脚告辞了。结果，所有的客人都走光了。
师：同学们，首先我们一起来听个小故事……。（师链接动画“趣味故事——愣人请客”，生声情并茂讲故事）
师：你知道，故事中所有的客人分几次走光的？
生：分三次走光的：第一次，有一半人悄悄走了；第二次，又有三分之二的人离开了；第三次，最后剩下的3人告辞了。
师：好！根据这位同学的分析，1、2、3组的同学能否试着用算术方法求故事中一开始共来了多少位客人？4、5、6组的同学能否尝试着用方程解呢？看看哪一组的同学更快。（学生分组讨论，组长负责记录，教师巡视、参与讨论）
师：我们先来听听第1组的探究成果。（将记录投影，学生代表结合投影讲解）
生：我们组一致认为可以把来客总数看作一个整体，那么第一次走后剩下总数的1-■=■。第二次走了剩下人数的■，就是走了总数的■×■=■。所以最后余下的3人，相当于总数的：1-■-■=■，所以，客人总数是：3÷■=18（人）。
师：这个小组用算术方法确定了客人总数，探究成果是显著的，这位同学的讲解也很清晰，值得我们学习。能用方程思想来解吗？第4组展示一下。（将记录投影，学生代表结合投影讲解）
生：我们是用方程来解的，首先我们发现三次走掉的人数之和等于来的客人总数，可以设开始时共来了x位客人，则三次走掉的人数分别是■x、■×■x、3，所以列出方程：
■x+■×■x+3=x，解得：x=18。所以，共来了18位客人。
师：今天同学们的探究都很投入，分别从算术和方程两个角度解决数学实际问题，成果斐然。尤其上来讲解的同学语言简洁、明了，非常清楚地表达了他们的想法，值得大家学习。
活动2：丢番图墓志铭
链接动画：1. 丢番图简介 2. 丢番图的墓志铭
公元3世纪古希腊的著名代数学家丢番图的墓碑上，刻着如下的铭文：
“过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数目可以告诉您，他一生究竟有多长。他生命的六分之一是幸福的童年。再活了十二分之一，颊上长起了细细的胡须。丢番图结了婚，可是还不曾有孩子。这样又过了一生的七分之一。再过了五年，他得了头胎儿子，感到很幸福。可是命运给这孩子在世界上的光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。自打儿子死了以后，这老头儿在深深的悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯。
请您算算看，丢番图活了多大岁数？
师：从“丢番图的墓志铭”上你可以知道丢番图的一生分成了几个阶段？
生：可以分： “六分之一的童年， 再活了十二分之一， 又过了一生的七分之一， 再过了五年， 他孩子的生命（又过了一生的一半）， 又活了四年”六个阶段。
师：这位同学分析的非常好，下面各小组可以选择用算术方法解或用方程解合作完成。
看看哪一组的同学更快。（学生分组讨论，组长负责记录，教师巡视、参与讨论）
师：我们先来听听第3组的探究成果。（将记录投影，学生代表结合投影讲解）
生：我们组一致认为可以把丢番图的一生当作一个整体1， 因为题中只有一个四年和五年是具体数量，所以要考虑这九年占的分率，相除即可得出。设单位“1”，即丢番图活的岁数为：4+5÷1-■-■-■-■=84（岁）
师：有其它解法吗？第5组
生：我们组认为： 丢番图的年龄必为12和7的公倍数，12与7的最小公倍数为12×7=84，检验后，84就是他的年龄。
师：方程思想怎么做？第6组
生：设丢番图的年龄是x岁，由题意可得：
■x+■x+■x+5+■x+4=x，
去分母：14x+7x+12x+42x+84（5+4）=84x，解得：x=84。
所以丢番图的年龄为84岁。
师：通过上面两个活动，你能说说用算术方法解或用方程解实际问题时哪种方法更方便呢？
生：在复杂问题中用算术方法分析时较困难，用方程分析时就比较方便了， 但是关键要找到相等关系。
师：通过本节课的探究学习，你有哪些收获和体会？
生1：在小学时，我们用算术方法解决应用题，是逆向思考；进初中学习了一元一次方程的应用，发现原来还可以用方程思想解决应用题，是顺向思考。每一种方法都各有所长。
生2：在解决比较复杂的实际问题时，方程方法比算术方法更简便，可以节约很多时间。
生3：我认同前面同学的观点。我认为方程方法比算术方法更简洁明了，将复杂问题简单化，易于找到突破口。
生4：在实际问题中，我们来根据不同的问题选择适合的方法，才能快速的解决问题。