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分类讨论思想既是解决问题的一种逻辑方法，又是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用。因此，有关分类讨论思想的数学命题在中考试题中占有重要地位.
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.利用分类讨论思想解决数学问题时需要对问题进行科学的合理分类，然后逐类进行讨论，从而使问题简化.
运用分类讨论的思想解题的基本步骤：
（1）确定讨论对象和确定研究的全域；
（2）对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
（4）归纳总结，整合得出结论.
为了使分类彻底，我们要坚持按同一标准和分类不重复，不遗漏的原则，我对初中数学学习中涉及的分类讨论进行探究，主要有以下几种类型.
一、在代数中主要有以下三种分类类型
1.概念型
数学中的有些概念的定义本身是分类给出的，如绝对值、平方根、有理数、方程、不等式、函数等，因而在解题时就要从所给定义的概念来进行分类讨论.
例1.化简|x+7|-x+5
分析：此题去掉绝对值符号是关键，根据绝对值而引发分类讨论.
解：当x≥-7时，原式=x+7-x+5=12；
当x<-7时，原式=-（x+7）-x+5=-2x-2.
例2.求y=的定义域
解：由题知：ax-a+2≥0，得：ax≥a-2
当a>0时，所求的定义域为：x>;
当a<0时，所求的定义域为：x<;
当a=0时，所求的定义域为一切实数.
2.性质型
由运算性质的不确定性引起的讨论.如一次函数、二次函数中k的不确定性，不等式中不等号方向改变的性质.一元二次方程配方后方程求解时针对判别式的讨论等，由于这些性质的不确定性决定了我们解题时要进行分类讨论.
例3.解关于x的不等式ax≥9
解：当a>0时，不等式的解集为：x≥;
当a<0时，不等式的解集为：x≤;
当a=0时，不等式的无解.
例4.已知一次函数y=kx+b，当-３≤x≤１时，对应y的值为１≤y≤９.则k•b的值是（ ）
Ａ.14 Ｂ.-6 Ｃ.-６或２１ Ｄ.-６或１４
解析：由于题中一次函数系数k可以大于0也可以小于0，因此解题时要分两种情况进行讨论，结果选Ｄ.
3.字母参数型
由数学的特殊规定或题中不确定的字母引起的讨论.
例5.解含x的方程ax=b
解：当a=0，b=0时，x为任意实数；当a≠0时，x=；当a=0，b≠0时，原方程无解.
二、在几何中根据几何图形可以有以下几种分类类型
1.在等腰三角形中
在等腰三角形中求角和边时，若没有给出具体的边（腰或底）和角（顶角或底角）时就要根据需要对边和角进行讨论.
例6.等腰三角形的一个内角为50°，另外两个角的度数为?摇?摇?摇?摇、?摇?摇?摇
分析：此题要分有两种情况讨论：当顶角为50°时结果为65°、65°；当底角为50°时结果为50°、80°.
例7.等腰三角形的两边为3、4，求周长.
分析：此题分有两种情况讨论：当腰长为3时周长为10；当底边长为3时周长为11.
例8.等腰三角形的两边为3、7，求周长.
此题虽然和上题类似，但当三边长分别为3，3，7时不能构成三角形，所以结果只有17.
2.在直角三角形中
在直角三角形中由于没有给出具体的边（直角边或斜边）和具体的直角时就要依情况进行讨论.
例9.一个直角三角形的两边长为6和8，那这个三角形的第三边?摇?摇?摇?摇，并求出这个三角形的外接圆半径?摇?摇?摇
分析：可分当两直角边分别为6和8或一条直角边为6，斜边为8两种情况进行讨论，这个三角形的第三边2或10，这个三角形的外接圆半径为4或5.
例10.在平面直角坐标系中，A（-4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=-x+2的图像上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有?摇?摇?摇?摇个.
分析：可依次讨论点A、B、C为直角顶点时C的个数，答案为4.
3.在相似三角形中
在相似三角形中如果没有明确对应顶点，就需要分类讨论.
例11.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P点作直线截△ABC，截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）条.
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：可分三种情况进行讨论：点A与点P对应、点P与点B对应、点P与点C对应.结果选C.
4.在圆中
由于圆与圆相切时可能存在内切和外切，因此如果题中未确定相切的具体的方式时就应进行分类讨论.
例12.已知⊙O与⊙O相切，两圆的圆心距为9cm，⊙O的半径为4cm，求⊙O的半径?摇?摇?摇
分析：可分内切，外切来讨论，结果是5cm或13cm.
当圆中有平行弦时而未指明圆心在平行弦外和圆心在平行弦内时应进行分类讨论.
例13.在⊙O中半径R=5，AB、CD是两条平行弦，且AB=8，CD=6，则弦AB、CD间的距离为?摇?摇?摇
分析：讨论圆心在平行弦外和圆心在平行弦内，结果是7或1.
由于圆的对称性，当两圆相交时，圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧，因此往往要根据需要进行分类讨论.
例14.半径为20厘米的⊙O与半径为15厘米的⊙O相交于A、B两点，AB=24cm，求两圆的圆心距.
分析：可按图1和图2所示进行讨论，结果是25cm或7cm.
5.三角形高的问题
没有明确三角形的类型（锐角三角形和钝角三角形或直角三角形），需要对高的位置进行分类讨论.
例15.在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD=BD•CD，则∠BCA的度数为?摇?摇?摇
分析：可分以下两种图形进行分类讨论，（三角形高在形内和高在形外）结果是65°或115另外还有点与线段的关系：没有明确点与线段的位置，点可能在线段上，也可能在线段而需要讨论.
在中考中常常出现的分类讨论主要包括有以上几点，下面一题包括了以上分类讨论的内容，大家不妨试试.
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，P、Q分别为边AC、BA上的动点，且BQ=2AP，联结PQ，设AP=x.
（1）在点P、点Q移动的过程中，△APQ能否与△ABC相似？如果能，请求出AP的长；如果不能，请说明理由.
（2）当x为何值时，△APQ是等腰三角形？
（3）如果⊙C的半径为1，以点Q为圆心，BQ长为半径作⊙Q，当⊙C与⊙Q相切时，求AP的长.
（4）如果将题中的条件“点Q为边BA上的动点”改为“点Q为射线BA上的动点”，其他条件不变，设△APQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.利用分类讨论思想解决数学问题时需要对问题进行科学的合理分类，然后逐类进行讨论，从而使问题简化.
运用分类讨论的思想解题的基本步骤：
（1）确定讨论对象和确定研究的全域；
（2）对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
（4）归纳总结，整合得出结论.
为了使分类彻底，我们要坚持按同一标准和分类不重复，不遗漏的原则，我对初中数学学习中涉及的分类讨论进行探究，主要有以下几种类型.
一、在代数中主要有以下三种分类类型
1.概念型
数学中的有些概念的定义本身是分类给出的，如绝对值、平方根、有理数、方程、不等式、函数等，因而在解题时就要从所给定义的概念来进行分类讨论.
例1.化简|x+7|-x+5
分析：此题去掉绝对值符号是关键，根据绝对值而引发分类讨论.
解：当x≥-7时，原式=x+7-x+5=12；
当x<-7时，原式=-（x+7）-x+5=-2x-2.
例2.求y=的定义域
解：由题知：ax-a+2≥0，得：ax≥a-2
当a>0时，所求的定义域为：x>;
当a<0时，所求的定义域为：x<;
当a=0时，所求的定义域为一切实数.
2.性质型
由运算性质的不确定性引起的讨论.如一次函数、二次函数中k的不确定性，不等式中不等号方向改变的性质.一元二次方程配方后方程求解时针对判别式的讨论等，由于这些性质的不确定性决定了我们解题时要进行分类讨论.
例3.解关于x的不等式ax≥9
解：当a>0时，不等式的解集为：x≥;
当a<0时，不等式的解集为：x≤;
当a=0时，不等式的无解.
例4.已知一次函数y=kx+b，当-３≤x≤１时，对应y的值为１≤y≤９.则k•b的值是（ ）
Ａ.14 Ｂ.-6 Ｃ.-６或２１ Ｄ.-６或１４
解析：由于题中一次函数系数k可以大于0也可以小于0，因此解题时要分两种情况进行讨论，结果选Ｄ.
3.字母参数型
由数学的特殊规定或题中不确定的字母引起的讨论.
例5.解含x的方程ax=b
解：当a=0，b=0时，x为任意实数；当a≠0时，x=；当a=0，b≠0时，原方程无解.
二、在几何中根据几何图形可以有以下几种分类类型
1.在等腰三角形中
在等腰三角形中求角和边时，若没有给出具体的边（腰或底）和角（顶角或底角）时就要根据需要对边和角进行讨论.
例6.等腰三角形的一个内角为50°，另外两个角的度数为?摇?摇?摇?摇、?摇?摇?摇
分析：此题要分有两种情况讨论：当顶角为50°时结果为65°、65°；当底角为50°时结果为50°、80°.
例7.等腰三角形的两边为3、4，求周长.
分析：此题分有两种情况讨论：当腰长为3时周长为10；当底边长为3时周长为11.
例8.等腰三角形的两边为3、7，求周长.
此题虽然和上题类似，但当三边长分别为3，3，7时不能构成三角形，所以结果只有17.
2.在直角三角形中
在直角三角形中由于没有给出具体的边（直角边或斜边）和具体的直角时就要依情况进行讨论.
例9.一个直角三角形的两边长为6和8，那这个三角形的第三边?摇?摇?摇?摇，并求出这个三角形的外接圆半径?摇?摇?摇
分析：可分当两直角边分别为6和8或一条直角边为6，斜边为8两种情况进行讨论，这个三角形的第三边2或10，这个三角形的外接圆半径为4或5.
例10.在平面直角坐标系中，A（-4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=-x+2的图像上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有?摇?摇?摇?摇个.
分析：可依次讨论点A、B、C为直角顶点时C的个数，答案为4.
3.在相似三角形中
在相似三角形中如果没有明确对应顶点，就需要分类讨论.
例11.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P点作直线截△ABC，截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）条.
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：可分三种情况进行讨论：点A与点P对应、点P与点B对应、点P与点C对应.结果选C.
4.在圆中
由于圆与圆相切时可能存在内切和外切，因此如果题中未确定相切的具体的方式时就应进行分类讨论.
例12.已知⊙O与⊙O相切，两圆的圆心距为9cm，⊙O的半径为4cm，求⊙O的半径?摇?摇?摇
分析：可分内切，外切来讨论，结果是5cm或13cm.
当圆中有平行弦时而未指明圆心在平行弦外和圆心在平行弦内时应进行分类讨论.
例13.在⊙O中半径R=5，AB、CD是两条平行弦，且AB=8，CD=6，则弦AB、CD间的距离为?摇?摇?摇
分析：讨论圆心在平行弦外和圆心在平行弦内，结果是7或1.
由于圆的对称性，当两圆相交时，圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧，因此往往要根据需要进行分类讨论.
例14.半径为20厘米的⊙O与半径为15厘米的⊙O相交于A、B两点，AB=24cm，求两圆的圆心距.
分析：可按图1和图2所示进行讨论，结果是25cm或7cm.
5.三角形高的问题
没有明确三角形的类型（锐角三角形和钝角三角形或直角三角形），需要对高的位置进行分类讨论.
例15.在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD=BD•CD，则∠BCA的度数为?摇?摇?摇
分析：可分以下两种图形进行分类讨论，（三角形高在形内和高在形外）结果是65°或115另外还有点与线段的关系：没有明确点与线段的位置，点可能在线段上，也可能在线段而需要讨论.
在中考中常常出现的分类讨论主要包括有以上几点，下面一题包括了以上分类讨论的内容，大家不妨试试.
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，P、Q分别为边AC、BA上的动点，且BQ=2AP，联结PQ，设AP=x.
（1）在点P、点Q移动的过程中，△APQ能否与△ABC相似？如果能，请求出AP的长；如果不能，请说明理由.
（2）当x为何值时，△APQ是等腰三角形？
（3）如果⊙C的半径为1，以点Q为圆心，BQ长为半径作⊙Q，当⊙C与⊙Q相切时，求AP的长.
（4）如果将题中的条件“点Q为边BA上的动点”改为“点Q为射线BA上的动点”，其他条件不变，设△APQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.