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二十三 果真循环
我觉得数学课堂就像一条奔流不息的河流，有的时候非常安静，要你细细倾听才能发现它在低声吟唱；有的时候很热闹，就像河水遇到礁石，激起阵阵浪花。今天的数学课，应当算是后者。
一上课，孔老师就在黑板上列出了好多个除法算式，并且和同学们一起算出得数来：
8 ÷ 4 ＝ 2
36 ÷ 720 ＝ 0.05
1 ÷ 3 ＝ 0.333……
从我们平时的计算中，大家早就发现，在计算除法的时候，结果只有三种情况，一种是得数为整数，一种是得数为小数，还有一种情况：得数是一个老也写不完的小数。
其实，前两种情况也可以说是除得尽，真正麻烦的是最后那种情况，一直除也除不尽，烦透人了。从同学们个个都点头表示赞同来看，可以说大家对这种麻烦都是深有体会的。
孔老师指着最后一个算式告诉我们说：“如果一个整数除以另一个整数，但是又除不尽的话，那么结果就会是一个无限循环小数。”
颜回问：“什么是循环？”
我觉得他这是明知故问，循环就是循环呗，还需要解释吗？可是孔老师很认真地回答了他的问题：“以这道题为例，就是３依次不断地重复出现。”
他在黑板上写了六个“依次、不断、重复”，并且在下面标了一连串的小圆圈，看起来就像是连在一起的三节车厢。我正在琢磨，如果我们鲁国把车子都像这样连在一起，再修一条专门的路，选择最有力气的牛来拉着，那么不是可以装载许多货物吗？
可惜我的幻想被宰予给打断了，他突然站了起来，很认真地问：“两个数相除如果除不尽的话，为什么结果一定会是无限循环小数？说不定在连续许多个3之后，出现一个不是3的数字呢？”
“孔老师说的呗，还能有错？”“我们不是已经把商的小数部分算了好多位出来了吗？都是3嘛！”同学们觉得宰予的问题真是有点多余，结果还是孔老师一句话定了调。
“嗯，宰予的问题很好，我很喜欢。”孔老师首先进行了表扬，“看来大家还没有像他一样思考过。那么接下来我们的课就围绕着这个问题来进行讨论，好不好？”
冉有说：“我觉得，世界上根本就没有无限不循环小数嘛，至少我在计算除法的时候，就从来没有遇到过。”
言偃站在宰予这一边，他说：“我觉得，你没见过的东西并不一定就是不存在的。两个数相除，如果除不尽，那么商当然就是无限的，可是……”他话锋一转，“就算我承认了是无限的，也不一定代表是无限循环的呀，难道不会是无限不循环的吗？我觉得只是我们还没有算到足够多位而已。”
冉有反问：“那难道我还要一直算到小数点后面几百、几千位吗？”
虽然是宰予先挑起的争端，但他没有打算陷入争吵之中，而是冷静地说：“我们列了不少的除法算式，商都是无限循环小数，这里面肯定有一定的规律。”
言偃不满地说：“怎么搞的，我站在你这一边，你又跑到赞成无限循环一边去了。”
宰予说：“不是我又倒向那一边去了，我是想，这时候光靠观察恐怕还是不够的，最好还能讲出些道理来。”
听大家吵得不可开交，我忍不住笑了起来。你可别误会我是个“唯恐天下不乱”的人，其实前几天在计算中遇到不能除尽时，我正好作了深入分析，现在我确信自己能够说得清楚为什么结果会是无限循环的小数。
这时，孔老师提示同学们：“商如果是无限循环小数，那么就是商的小数部分中，有一些数字依次不断地重复出现。那为什么这些数字会依次不断地重复出现呢？”
听到这里，我连忙举手示意：“孔老师，我觉得我能解释清楚这个问题。”
孔老师高兴地冲我点点头，说：“还是请子卢来说说吧。”
我走到台前，工工整整地把1÷3的结果又算了一遍，算到小数后面第3位为止。
我暂时停下来，转过身来对大家说：“我想我就算是再算下去，算到一百位、一千位、甚至是一万位，也不一定就能说明下一位也是3。因为有的同学总是觉得‘眼见为实’，但是既然我们不可能把这个小数商的所有的数位全写出来，那么我相信肯定有另一种办法能够让我们确信后面的数字一直都是3，而这个办法，我想了很久，终于明白了。”
子路好奇地问：“那是什么？”
我接着说：“那就是数学推理！”
“推理？”
“是的，推理，这是思维的力量，也可以说是数学的力量。”
“那你就说说吧！”大家都很感兴趣，当然，也有可能是他们吵累了，口干舌燥，不想再说话了。
我指着黑板上的竖式说：“我们的眼睛不要老盯着这个商里面的3，而应该想一想，这个3是怎么来的。”
“因为这时候被除数是10嘛。”
“为什么被除数会是10呢？”
“因为前一次的余数是1，添上一个0继续除，就变成10了嘛。”
“那余数为什么是1呢？”
“因为商是3，三三得九，10-9＝1。”
“对了！”我很满意大家的回答，“所以说，商里面的3是来自这一步的被除数10，而被除数10是来自上一步的余数1，而余数1又来自商里面的3。这样互相影响，余数不断是1，那么商里面的3不就循环出现了吗？”
同学们认真的听着我的分析，不少人陷入了沉思中。
要说起来宰予真是爱提问，他这会儿又站起来质疑我：“这道题的数字简单，按照你说的方法也可以解释。如果是比较大的数字，比如说100÷23，每一次出现的余数都不一样呢，那么你怎么说明商会循环出现呢？”
我吓了一跳，这宰予还真是行家，一个数除以23，如果结果是循环小数的话，那循环节还真是相当的长……不过，哈哈，正好我前几天遇到过这种问题，并进行了深入的研究。
我胸有成竹地朝他竖竖大拇指，说：“你说的除数23，还真是特别。”这时候我看到班上已经有同学在沙盘上飞快地算起来了，“大家算了半天，可能还没看到余数出现一样的吧？但我可以非常肯定的说，余数最终是会出现一样的！”
那些忙着计算的同学们都停下了，看着我。
我要的就是这个效果，于是继续说：“我们已经知道，余数总是要比除数小的，那么除数是23，不管余数出现的情况有多复杂，但最多也就几种可能。”
子路抢着说：“22种，余数是0就除尽了，不算。”
“对了，正因为余数的可能性也是有限的，所以只要除下去，终究有一次会出现与前面相同的余数。余数重复出现，商的小数部分也就会重复出现，结果就是一个循环小数了。”
孔老师没有对循环小数的争论再作小结，而是直接说：“除不尽就肯定循环吗？恐怕大家在平时有一些体会，但到底是不是一定成立，为什么成立，却没有作过真正的思考。我很高兴看到宰予不断地提出问题，而子卢能够寻找内在联系、解释规律，这才是我希望你们在数学课上学到的东西呀。”
紧接着，他又补充了一句：“下次，我再找一个这样的例子，看看你们谁能用数学的推理来弥补我们观察的界限，敬请期待。”
同学们纷纷晕倒。
数学链接
在小学数学中，有不少规律是从部分例子中归纳出来的，比如三角形的内角和是180°，圆锥的体积等于等底等高的圆柱的三分之一等。你能像故事中的同学们那样，找到数学推理的证明办法吗？
我觉得数学课堂就像一条奔流不息的河流，有的时候非常安静，要你细细倾听才能发现它在低声吟唱；有的时候很热闹，就像河水遇到礁石，激起阵阵浪花。今天的数学课，应当算是后者。
一上课，孔老师就在黑板上列出了好多个除法算式，并且和同学们一起算出得数来：
8 ÷ 4 ＝ 2
36 ÷ 720 ＝ 0.05
1 ÷ 3 ＝ 0.333……
从我们平时的计算中，大家早就发现，在计算除法的时候，结果只有三种情况，一种是得数为整数，一种是得数为小数，还有一种情况：得数是一个老也写不完的小数。
其实，前两种情况也可以说是除得尽，真正麻烦的是最后那种情况，一直除也除不尽，烦透人了。从同学们个个都点头表示赞同来看，可以说大家对这种麻烦都是深有体会的。
孔老师指着最后一个算式告诉我们说：“如果一个整数除以另一个整数，但是又除不尽的话，那么结果就会是一个无限循环小数。”
颜回问：“什么是循环？”
我觉得他这是明知故问，循环就是循环呗，还需要解释吗？可是孔老师很认真地回答了他的问题：“以这道题为例，就是３依次不断地重复出现。”
他在黑板上写了六个“依次、不断、重复”，并且在下面标了一连串的小圆圈，看起来就像是连在一起的三节车厢。我正在琢磨，如果我们鲁国把车子都像这样连在一起，再修一条专门的路，选择最有力气的牛来拉着，那么不是可以装载许多货物吗？
可惜我的幻想被宰予给打断了，他突然站了起来，很认真地问：“两个数相除如果除不尽的话，为什么结果一定会是无限循环小数？说不定在连续许多个3之后，出现一个不是3的数字呢？”
“孔老师说的呗，还能有错？”“我们不是已经把商的小数部分算了好多位出来了吗？都是3嘛！”同学们觉得宰予的问题真是有点多余，结果还是孔老师一句话定了调。
“嗯，宰予的问题很好，我很喜欢。”孔老师首先进行了表扬，“看来大家还没有像他一样思考过。那么接下来我们的课就围绕着这个问题来进行讨论，好不好？”
冉有说：“我觉得，世界上根本就没有无限不循环小数嘛，至少我在计算除法的时候，就从来没有遇到过。”
言偃站在宰予这一边，他说：“我觉得，你没见过的东西并不一定就是不存在的。两个数相除，如果除不尽，那么商当然就是无限的，可是……”他话锋一转，“就算我承认了是无限的，也不一定代表是无限循环的呀，难道不会是无限不循环的吗？我觉得只是我们还没有算到足够多位而已。”
冉有反问：“那难道我还要一直算到小数点后面几百、几千位吗？”
虽然是宰予先挑起的争端，但他没有打算陷入争吵之中，而是冷静地说：“我们列了不少的除法算式，商都是无限循环小数，这里面肯定有一定的规律。”
言偃不满地说：“怎么搞的，我站在你这一边，你又跑到赞成无限循环一边去了。”
宰予说：“不是我又倒向那一边去了，我是想，这时候光靠观察恐怕还是不够的，最好还能讲出些道理来。”
听大家吵得不可开交，我忍不住笑了起来。你可别误会我是个“唯恐天下不乱”的人，其实前几天在计算中遇到不能除尽时，我正好作了深入分析，现在我确信自己能够说得清楚为什么结果会是无限循环的小数。
这时，孔老师提示同学们：“商如果是无限循环小数，那么就是商的小数部分中，有一些数字依次不断地重复出现。那为什么这些数字会依次不断地重复出现呢？”
听到这里，我连忙举手示意：“孔老师，我觉得我能解释清楚这个问题。”
孔老师高兴地冲我点点头，说：“还是请子卢来说说吧。”
我走到台前，工工整整地把1÷3的结果又算了一遍，算到小数后面第3位为止。
我暂时停下来，转过身来对大家说：“我想我就算是再算下去，算到一百位、一千位、甚至是一万位，也不一定就能说明下一位也是3。因为有的同学总是觉得‘眼见为实’，但是既然我们不可能把这个小数商的所有的数位全写出来，那么我相信肯定有另一种办法能够让我们确信后面的数字一直都是3，而这个办法，我想了很久，终于明白了。”
子路好奇地问：“那是什么？”
我接着说：“那就是数学推理！”
“推理？”
“是的，推理，这是思维的力量，也可以说是数学的力量。”
“那你就说说吧！”大家都很感兴趣，当然，也有可能是他们吵累了，口干舌燥，不想再说话了。
我指着黑板上的竖式说：“我们的眼睛不要老盯着这个商里面的3，而应该想一想，这个3是怎么来的。”
“因为这时候被除数是10嘛。”
“为什么被除数会是10呢？”
“因为前一次的余数是1，添上一个0继续除，就变成10了嘛。”
“那余数为什么是1呢？”
“因为商是3，三三得九，10-9＝1。”
“对了！”我很满意大家的回答，“所以说，商里面的3是来自这一步的被除数10，而被除数10是来自上一步的余数1，而余数1又来自商里面的3。这样互相影响，余数不断是1，那么商里面的3不就循环出现了吗？”
同学们认真的听着我的分析，不少人陷入了沉思中。
要说起来宰予真是爱提问，他这会儿又站起来质疑我：“这道题的数字简单，按照你说的方法也可以解释。如果是比较大的数字，比如说100÷23，每一次出现的余数都不一样呢，那么你怎么说明商会循环出现呢？”
我吓了一跳，这宰予还真是行家，一个数除以23，如果结果是循环小数的话，那循环节还真是相当的长……不过，哈哈，正好我前几天遇到过这种问题，并进行了深入的研究。
我胸有成竹地朝他竖竖大拇指，说：“你说的除数23，还真是特别。”这时候我看到班上已经有同学在沙盘上飞快地算起来了，“大家算了半天，可能还没看到余数出现一样的吧？但我可以非常肯定的说，余数最终是会出现一样的！”
那些忙着计算的同学们都停下了，看着我。
我要的就是这个效果，于是继续说：“我们已经知道，余数总是要比除数小的，那么除数是23，不管余数出现的情况有多复杂，但最多也就几种可能。”
子路抢着说：“22种，余数是0就除尽了，不算。”
“对了，正因为余数的可能性也是有限的，所以只要除下去，终究有一次会出现与前面相同的余数。余数重复出现，商的小数部分也就会重复出现，结果就是一个循环小数了。”
孔老师没有对循环小数的争论再作小结，而是直接说：“除不尽就肯定循环吗？恐怕大家在平时有一些体会，但到底是不是一定成立，为什么成立，却没有作过真正的思考。我很高兴看到宰予不断地提出问题，而子卢能够寻找内在联系、解释规律，这才是我希望你们在数学课上学到的东西呀。”
紧接着，他又补充了一句：“下次，我再找一个这样的例子，看看你们谁能用数学的推理来弥补我们观察的界限，敬请期待。”
同学们纷纷晕倒。
数学链接
在小学数学中，有不少规律是从部分例子中归纳出来的，比如三角形的内角和是180°，圆锥的体积等于等底等高的圆柱的三分之一等。你能像故事中的同学们那样，找到数学推理的证明办法吗？