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各地的中考数学试题中填空题的最后一道题，因为考查的背景新颖鲜活，涉及的知识点多，更侧重数学知识和数学思想方法的灵活运用，已然成为一类不容小视的压轴题。这就要求我们有较强的理解、分析和解决问题的能力，为帮助大家掌握填空压轴题的命题特点和解题策略，老师将结合2019年的部分中考试题加以分析，供大家参考。
一、探究最值型
例1（2019·江苏南通）如图1，?ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB 23PD的最小值等于。
【解析】如图2所示，题中已知B、D是两个定点，点P在CD上运动，延长AD至E，可知∠PDE=60°。要得到长为23PD的线段，只要过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，即可构造Rt△PDE，可得EP=23PD，即PB 23PD=PB PE。要得PB PE的最小值，只要点B、P、E三点共线且BE⊥AD，那么要求的最小值即为BE的长。在Rt△ABE中，AB=6，∠BAE=60°，依据BE3sin∠A=AB，解得BE=33，即PB 2PD的最小值为33。
【点评】解答这类最值问题时，常用的方法是构造直角三角形，把两条线段之和最值的问题转化为点到直线的距离问题。
二、图形变换型
例2（2019·江苏盐城）如图3，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是。
【解析】根据已知条件无法直接求出直线BC的函数表达式，结合题中∠ABC=45°联想到构造等腰直角三角形，即过A作AF⊥AB交BC于F，得到AB=AF，随后求出点F的坐标即可。过F作FE⊥x轴于E，根据全等三角形的性质得到AE=OB=1，EF=OA=2，求得F（2，-2），最后利用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式为y=13x-1。
【点评】解答这类图形变换问题时，若题中出现直角三角形和45°两个条件时，我们可以考虑作垂线构造“一线三直角”模型，利用全等三角形或相似三角形的性质来求解。
例3（2019·江苏扬州）如图5，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4......过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1;过点D2作AB、AC的平行線分别交AC、AB于点E2、F2;过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3......则4（D1E1 D2E2 ... D2019E2019） 5（D1F1 D2F2 ... D2019F2019）=。
【解析】根据题中条件D1F1∥AC，D1E1∥AB，利用平行线分线段成比例定理D1F1BF1D1F1AB-D1E1可得AC=AB，即AC=AB。因为AB=5，AC=4，则有4D1E1 5D1F1=20;同理有如下规律4D2E2 5D2F2=20，......，4D2019E2019 5D2019F2019=20，因此4（D1E1 D2E2 ... D2019E2019） 5（D1F1 D2F2 ... D2019F2019）=20×2019=40380。
【点评】解答这类规律探究问题时，我们常用的方法是由特殊出发，多算几组线段的长，多比较几组数，发现循环组，即可快速找到解决思路。
例4（2019·江苏常州）如图6，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上。若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN=。
【解析】题中M、N在线段BD上，但位置没有指明，而△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则应考虑分类讨论求解，即分以下两种情况。1如图7，当MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM=∠PFN=90°。由矩形的性质得出AB=CD，BC=AD=3AB=310，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=10，BD=AB2 AD2=10。证明PFPD3△PDF∽△BDA，得出AB=BD，求出PF=2。CE=2BE=210，则CE=2CD。∠PFN=∠C=90°，∠PNF=∠DEC，证得△PNF∽△DEC，得出NF=CE=2，求出NF=2PF=3，再由PFCD等腰三角形的性质得出MF=NF，即可得出MN=2NF=6。2如图8，当MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F。由1得PF=32，MF=3。设MN=PN=x，则FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程为（3）2 （3-x）2=x2，解方程即可解得x=15，即MN=15。综上所述，MN的长为6或15。
【点评】解答涉及图形形状是等腰三角形的问题时，要分清是等腰直角三角形、等腰钝角三角形、等腰锐角三角形中的哪个，涉及直角三角形要分清哪个角是直角，涉及平行四边形的线段时注意分类考虑边和对角线，涉及相似三角形时注意分类考虑对应边。
五、函数几何综合型
例5（2019·浙江宁波）如图9，过原点的直线与反比例函数y=x（k
一、探究最值型
例1（2019·江苏南通）如图1，?ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB 23PD的最小值等于。
【解析】如图2所示，题中已知B、D是两个定点，点P在CD上运动，延长AD至E，可知∠PDE=60°。要得到长为23PD的线段，只要过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，即可构造Rt△PDE，可得EP=23PD，即PB 23PD=PB PE。要得PB PE的最小值，只要点B、P、E三点共线且BE⊥AD，那么要求的最小值即为BE的长。在Rt△ABE中，AB=6，∠BAE=60°，依据BE3sin∠A=AB，解得BE=33，即PB 2PD的最小值为33。
【点评】解答这类最值问题时，常用的方法是构造直角三角形，把两条线段之和最值的问题转化为点到直线的距离问题。
二、图形变换型
例2（2019·江苏盐城）如图3，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是。
【解析】根据已知条件无法直接求出直线BC的函数表达式，结合题中∠ABC=45°联想到构造等腰直角三角形，即过A作AF⊥AB交BC于F，得到AB=AF，随后求出点F的坐标即可。过F作FE⊥x轴于E，根据全等三角形的性质得到AE=OB=1，EF=OA=2，求得F（2，-2），最后利用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式为y=13x-1。
【点评】解答这类图形变换问题时，若题中出现直角三角形和45°两个条件时，我们可以考虑作垂线构造“一线三直角”模型，利用全等三角形或相似三角形的性质来求解。
例3（2019·江苏扬州）如图5，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4......过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1;过点D2作AB、AC的平行線分别交AC、AB于点E2、F2;过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3......则4（D1E1 D2E2 ... D2019E2019） 5（D1F1 D2F2 ... D2019F2019）=。
【解析】根据题中条件D1F1∥AC，D1E1∥AB，利用平行线分线段成比例定理D1F1BF1D1F1AB-D1E1可得AC=AB，即AC=AB。因为AB=5，AC=4，则有4D1E1 5D1F1=20;同理有如下规律4D2E2 5D2F2=20，......，4D2019E2019 5D2019F2019=20，因此4（D1E1 D2E2 ... D2019E2019） 5（D1F1 D2F2 ... D2019F2019）=20×2019=40380。
【点评】解答这类规律探究问题时，我们常用的方法是由特殊出发，多算几组线段的长，多比较几组数，发现循环组，即可快速找到解决思路。
例4（2019·江苏常州）如图6，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上。若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN=。
【解析】题中M、N在线段BD上，但位置没有指明，而△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则应考虑分类讨论求解，即分以下两种情况。1如图7，当MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM=∠PFN=90°。由矩形的性质得出AB=CD，BC=AD=3AB=310，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=10，BD=AB2 AD2=10。证明PFPD3△PDF∽△BDA，得出AB=BD，求出PF=2。CE=2BE=210，则CE=2CD。∠PFN=∠C=90°，∠PNF=∠DEC，证得△PNF∽△DEC，得出NF=CE=2，求出NF=2PF=3，再由PFCD等腰三角形的性质得出MF=NF，即可得出MN=2NF=6。2如图8，当MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F。由1得PF=32，MF=3。设MN=PN=x，则FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程为（3）2 （3-x）2=x2，解方程即可解得x=15，即MN=15。综上所述，MN的长为6或15。
【点评】解答涉及图形形状是等腰三角形的问题时，要分清是等腰直角三角形、等腰钝角三角形、等腰锐角三角形中的哪个，涉及直角三角形要分清哪个角是直角，涉及平行四边形的线段时注意分类考虑边和对角线，涉及相似三角形时注意分类考虑对应边。
五、函数几何综合型
例5（2019·浙江宁波）如图9，过原点的直线与反比例函数y=x（k