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跨越式课题的中学数学课堂教学要求在科学、有效的教学活动引导下，使学生参与学习活动，在思维数学化的过程中，以自主探索、合作交流的方式获得知识、发展能力。数学课堂活动设计必须做到流程上环环相扣，内容上层层递进。信息技术工具是实现学生“做数学”的前提条件，探讨信息技术工具的课堂应用对几何课堂教学活动设计有重要作用。结合信息技术工具特点来设计课堂活动，对提高学生参与课堂的积极性、主动性和创造性以及突破几何教学的重点、难点是十分必要的。
● 初中几何教学难点与问题
几何是研究物体的形状、大小和位置关系的学科。掌握几何知识的前提是对几何图形有清晰的认识，并在此基础上探究“数”和“形”的关系。目前初中几何教学，由于受教学条件或者教师理念等限制，课堂的深刻性、灵活性、独特性、敏捷性、批判性等，没有能够很好地体现出来。对于图形化教学，学生没有信息技术工具支持协作和探究。跨越式课题要求在进行信息技术与课程整合时，必须彻底变革传统的课堂教学结构，教学设计理念由“以教为中心”转变为“学教并重”。
● 信息技术工具支持的几何教学特点
1.生动直观，有效化解重难点
教师要为学生想象力的发展创造有利条件，设计良好的教学活动，实现课堂上学生自主、合作、探究的过程。各种信息技术工具是支持几何课堂教学的有效工具。学生可以根据自己的想象，在几何学习软件的支持下，进行自主探究。几何学习软件的突出优势在于，将原本静止、抽象的几何形状，变得形象、生动和直观，有利于突破教学中的重难点，学生通过亲自动手操作，自主探究，有利于知识意义的自我建构和迁移应用。目前，几何教学中常用的软件有几何画板、Geogebra等。
图1和图2展示了几何画板工具生动直观地再现几何图形的动态变化以及不同图形之间的位置关系。
2.动手实践，促进学生数学思维发展
数学课堂活动的核心理念在于“真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。通过活动确立学生在教学过程中的主体地位，让学生享有充分的思想和行动自由，实现学生素质的整体发展。跨越式课题关注学生多种思维能力的发展，在数学教学中强调要在“做中学”，让学生亲自动手实践，将抽象的知识形象直观地展示出来。对于几何教学，这些抽象的形状、变化以及背后的数学知识，借助信息技术工具的支持，通过学生动手实践，都可以清晰直观地进行展示，加深学生对知识的理解，并促进知识进一步被迁移运用。
● 教学活动设计原则
1.复习导入环节情境的有效性
在复习导入环节，教师设计的活动重在激发学生学习兴趣和帮助教师掌握学情。导入环节起着承上启下的作用，既复习上一堂课的内容，为新授内容的学习做好准备，又在简单、轻松的环境下增强学生学习的自信心。因此，教师要创设有效的学习情境，引导学生走入情境—复习旧知—自然迁移—学习新知。
在金政国老师《三角形的外角》这节课的导入环节中，首先引导学生回顾了三角形的内角和，为进一步引出三角形的外角和学生对外角性质的探究做好铺垫。教师以游戏的形式导入，学生利用软件工具Geogebra自主绘制图形，并汇报三角形内角和的证明过程。然后，结合学生对已有知识的掌握和现有认知水平，逐步诱导学生去认识三角形的外角。
2.自主探究环节的实践性
在自主探究环节，教师要引导学生进行观察和归纳，要给予学生足够的时间、资源和必要的引导，使绝大部分学生都能够发现规律。学生通过自己的实践，发现数与数、图形与图形、数与图形之间的关系，并形成一定的数学表达式，学生直觉思维和逻辑思维、视觉空间智能在他们兴趣盎然的探究过程中得到了有效的培养。
在对三角形外角性质进行探究的过程中，金老师抛出三个问题，启发学生进行思考，并运用Geogebra工具进行探究。三个问题都具有很强的实践操作性，可以让学生通过自行操作软件、仔细观察来获得答案。这样的问题设计，使信息技术成为学生思维外化的认知工具。在促进知识理解、发现规律等方面，信息技术工具发挥了不可替代的作用。
3.反馈环节的及时性与针对性
在教师引导下，学生通过探究、观察获得了数学规律的感性认识，而数学规律还应用数学方法得到验证。比如，几何规律可以通过证明验证，数与代数的规律可以通过验算进行验证。需要指出的是，这里不强调反复的数学验算和几何证明技巧，强调的是学生数学思维的形成，要明确数学规律可以观察、发现，也可以用科学的数学证明方法进行验证，而这对于学生学会认知是极为重要的。在反馈环节，教师可以采用多种形式，反馈要做到及时并且具有针对性。
在《三角形的外角》这堂课上，学生自主探究得到了三角形的外角性质。在观察大部分学生都获得了这个规律之后，教师及时总结了三角形的外角性质，并结合复习导入三角形内角和的证明方法，启发学生运用等量转化的思想进行外角性质的证明，再用PPT演示规范证明过程。教师还将需要进行及时反馈的练习题目放在抢答网上，学生进行实时练习和提交，教师根据学生练习的正确率来把握学生对新授知识的掌握情况，并进行有针对性的讲解。
4.拓展应用环节的层次性
学生将获得的概念或规律应用于解决一些问题，可以是进行一些练习，也可以是解决一些实际问题，如用轴对称概念解决“在河边建一个水电站，使之到两个供电站的距离之和最短”等。此时学生还可以再次使用探究工具解决问题。拓展应用环节题目的设置可以遵从从简单到复杂、从形象到抽象、从课内到课外等，要有一定的层次性，学生能够把课内学到的数学知识进行迁移，用于解决现实生活中的问题。
《三角形的外角》的课堂上，教师设计的题目从判断正误入手，把握学生对基本概念的掌握情况；然后是简单三角形和复杂图形中三角形外角的识别与外角和公式的运用；最后结合生活实际，让学生在现实的生活情境中去感悟外角并运用外角和的性质。层层递进，使学生对课堂教学知识有深入的理解并进行实际的运用。
综上，信息技术工具在初中几何教学的课堂活动中发挥着重要作用。合理应用信息技术，能更加生动直观地再现知识，为学生动手实践、自主探究和协作交流创设有利条件。教师要更新教学理念，敢于尝试，充分利用信息技术的优势，把握课堂活动设计的原则，设计出真正能够培养学生数学能力的课堂教学活动。
● 初中几何教学难点与问题
几何是研究物体的形状、大小和位置关系的学科。掌握几何知识的前提是对几何图形有清晰的认识，并在此基础上探究“数”和“形”的关系。目前初中几何教学，由于受教学条件或者教师理念等限制，课堂的深刻性、灵活性、独特性、敏捷性、批判性等，没有能够很好地体现出来。对于图形化教学，学生没有信息技术工具支持协作和探究。跨越式课题要求在进行信息技术与课程整合时，必须彻底变革传统的课堂教学结构，教学设计理念由“以教为中心”转变为“学教并重”。
● 信息技术工具支持的几何教学特点
1.生动直观，有效化解重难点
教师要为学生想象力的发展创造有利条件，设计良好的教学活动，实现课堂上学生自主、合作、探究的过程。各种信息技术工具是支持几何课堂教学的有效工具。学生可以根据自己的想象，在几何学习软件的支持下，进行自主探究。几何学习软件的突出优势在于，将原本静止、抽象的几何形状，变得形象、生动和直观，有利于突破教学中的重难点，学生通过亲自动手操作，自主探究，有利于知识意义的自我建构和迁移应用。目前，几何教学中常用的软件有几何画板、Geogebra等。
图1和图2展示了几何画板工具生动直观地再现几何图形的动态变化以及不同图形之间的位置关系。
2.动手实践，促进学生数学思维发展
数学课堂活动的核心理念在于“真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。通过活动确立学生在教学过程中的主体地位，让学生享有充分的思想和行动自由，实现学生素质的整体发展。跨越式课题关注学生多种思维能力的发展，在数学教学中强调要在“做中学”，让学生亲自动手实践，将抽象的知识形象直观地展示出来。对于几何教学，这些抽象的形状、变化以及背后的数学知识，借助信息技术工具的支持，通过学生动手实践，都可以清晰直观地进行展示，加深学生对知识的理解，并促进知识进一步被迁移运用。
● 教学活动设计原则
1.复习导入环节情境的有效性
在复习导入环节，教师设计的活动重在激发学生学习兴趣和帮助教师掌握学情。导入环节起着承上启下的作用，既复习上一堂课的内容，为新授内容的学习做好准备，又在简单、轻松的环境下增强学生学习的自信心。因此，教师要创设有效的学习情境，引导学生走入情境—复习旧知—自然迁移—学习新知。
在金政国老师《三角形的外角》这节课的导入环节中，首先引导学生回顾了三角形的内角和，为进一步引出三角形的外角和学生对外角性质的探究做好铺垫。教师以游戏的形式导入，学生利用软件工具Geogebra自主绘制图形，并汇报三角形内角和的证明过程。然后，结合学生对已有知识的掌握和现有认知水平，逐步诱导学生去认识三角形的外角。
2.自主探究环节的实践性
在自主探究环节，教师要引导学生进行观察和归纳，要给予学生足够的时间、资源和必要的引导，使绝大部分学生都能够发现规律。学生通过自己的实践，发现数与数、图形与图形、数与图形之间的关系，并形成一定的数学表达式，学生直觉思维和逻辑思维、视觉空间智能在他们兴趣盎然的探究过程中得到了有效的培养。
在对三角形外角性质进行探究的过程中，金老师抛出三个问题，启发学生进行思考，并运用Geogebra工具进行探究。三个问题都具有很强的实践操作性，可以让学生通过自行操作软件、仔细观察来获得答案。这样的问题设计，使信息技术成为学生思维外化的认知工具。在促进知识理解、发现规律等方面，信息技术工具发挥了不可替代的作用。
3.反馈环节的及时性与针对性
在教师引导下，学生通过探究、观察获得了数学规律的感性认识，而数学规律还应用数学方法得到验证。比如，几何规律可以通过证明验证，数与代数的规律可以通过验算进行验证。需要指出的是，这里不强调反复的数学验算和几何证明技巧，强调的是学生数学思维的形成，要明确数学规律可以观察、发现，也可以用科学的数学证明方法进行验证，而这对于学生学会认知是极为重要的。在反馈环节，教师可以采用多种形式，反馈要做到及时并且具有针对性。
在《三角形的外角》这堂课上，学生自主探究得到了三角形的外角性质。在观察大部分学生都获得了这个规律之后，教师及时总结了三角形的外角性质，并结合复习导入三角形内角和的证明方法，启发学生运用等量转化的思想进行外角性质的证明，再用PPT演示规范证明过程。教师还将需要进行及时反馈的练习题目放在抢答网上，学生进行实时练习和提交，教师根据学生练习的正确率来把握学生对新授知识的掌握情况，并进行有针对性的讲解。
4.拓展应用环节的层次性
学生将获得的概念或规律应用于解决一些问题，可以是进行一些练习，也可以是解决一些实际问题，如用轴对称概念解决“在河边建一个水电站，使之到两个供电站的距离之和最短”等。此时学生还可以再次使用探究工具解决问题。拓展应用环节题目的设置可以遵从从简单到复杂、从形象到抽象、从课内到课外等，要有一定的层次性，学生能够把课内学到的数学知识进行迁移，用于解决现实生活中的问题。
《三角形的外角》的课堂上，教师设计的题目从判断正误入手，把握学生对基本概念的掌握情况；然后是简单三角形和复杂图形中三角形外角的识别与外角和公式的运用；最后结合生活实际，让学生在现实的生活情境中去感悟外角并运用外角和的性质。层层递进，使学生对课堂教学知识有深入的理解并进行实际的运用。
综上，信息技术工具在初中几何教学的课堂活动中发挥着重要作用。合理应用信息技术，能更加生动直观地再现知识，为学生动手实践、自主探究和协作交流创设有利条件。教师要更新教学理念，敢于尝试，充分利用信息技术的优势，把握课堂活动设计的原则，设计出真正能够培养学生数学能力的课堂教学活动。