【摘要】 当用换元法求不定积分时，积分结果的对错用一般方法很难判断，本文给出了一种有效的验证积分结果的方法.
　　 【关键词】换元法 不定积分 导数
　　
　　 １. 问题的提出
　　 我们知道要检验不定积分结果是否正确，只需要对其结果求导，看其导数是否等于被积函数，相等则结果是正确的，否则结果错误. 例如： x2dx = + c，对积分结果+ c求导得x2，正好是被积函数，所以积分结果+ c正确．
　　 但是当我们用换元法求不定积分时，对所求积分结果再求导后，形式往往很复杂，难以判断是否与被积函数相等，本文将给出一种有效的方法来验证积分结果的对错.
　　 例如：利用换元法，求得
　　 ＝（１．１）
　　 （x + 1）- 2（x + 1） ＋ 4（x + 1） - 4ln（1+ ） + c（１．２）
　　 其中ｃ为任意常数. 将（１．２）式对x求导得：
　　 - + -（１．３）
　　 而（１．３）的形式较复杂，是否与（１．１）的被积函数 （１．４） 相等较难判断.
　　 这时候，我们可以赋予x以 特殊值来验证：令 x ＝ ０，（１．３）式的值是 ，（１．４）式的值也是 ，据此，我们可以认为（１．３）式与（１．４）式相等，积分结果（１．２）式正确.
　　 值得注意的是，当我们令 x ＝ －１时，（１．３）式无意义，而（１．４）式的值为１，显然（１．３）式与（１．４）式不相等. 而我们知道积分结果（１．３）式是正确的，那么为什么当 x ＝ －１时（１．３）式与（１．４）式不相等呢？
　　 ２. 解决方法
　　 下面我们用换元法求不定积分.
　　 解 令u =，则x = u4 - 1，dx = 4u3du， 于是
　　 = .
　　 而==- =
　　 - =
　　 ４（ｕ２ － ｕ ＋ １） －. （２．１）
　　 由（２．１）式得 =u3 - 2u3 + 4u - 4ln|1 + u | + c，其中ｃ为任意常数.
　　 将u =代回，便得
　　 ＝（x + 1）- 2（x + 1） ＋ 4（x + 1） - 4ln 1 + （1 + x）＋ c. 将上式求导便得（１．３）.
　　 此时考查一下（１．３）中的x的取值范围为x ＞ -1，而（１．１）中x的取值范围为x ≥ -1，我们发现，在求导过程中x的取值范围缩小了. 所以，我们不应赋以x值－１.
　　 结论 对积分结果求导时，可能导致自变量范围缩小，用赋值法检验积分结果时，赋以自变量的值应使得积分结果的导数有意义.
　　 ３. 应用举例
　　 例１ 用换元法求不定积分 （３．１）并验证其积分结果.
　　 解 令u =，则x = u3 - 2，dx = 3u2du ，于是
　　 = .
　　 用u =代回，便得所求积分：
　　 =（x + 2）- 6（x + 2） + 12ln 2 + （x + 2）＋ c.（３．２）
　　 其中ｃ为任意常数. 对（３．２）式求导得
　　 - +（３．３）
　　 由于x ＝ －２时（３．３）无意义，故不能赋x为－２. 令x ＝ ６时，（３．１）中的被积函数值为 ，（３．３）的值为 ，因而我们可以认为积分结果（３．２）是正确的.
　　 例２ 求不定积分. （３．４）
　　 解 令x + 1 = t6，则dx = 6t5dt，原式＝ 6dt，而=＝ -ｔ６ + ｔ4 - ｔ2 + 1-+t3 - t +.
　　 故原式 ＝ - ｔ7 +ｔ5 -2t3 +6t - 6arctan t + t4-3t2 + 3ln（１ ＋ ｔ２） + c. （３．５）
　　 其中ｃ为任意常数. 用x + 1 = t6代入（３．５）式得
　　 原式＝ - （x + 1）+（x + 1）-2（x + 1） +6（x + 1）- 6arctan（x + 1） +（x + 1） -3（x + 1） + 3ln1 + （x + 2）＋ c. （３．６）
　　 （３．６）式右端对ｘ求导得-（x + 1）+ （x + 1） -（x + 1）+ （x + 1）- + （x + 1） -（x + 1）+，（３．７）
　　 由于x ＝ －１时，（３．７）式无意义，故不能赋予x为－１. 令x ＝ ６３时，（３．４）式中的被积函数值为- ，（３．７）式值也是- . 因而我们可以认为积分结果（３．２）是正确的.
　　 【参考文献】
　　 ［１］ 同济大学应用数学系.高等数学［Ｍ］.北京：高等教育出版社，２００２．
　　 ［２］ 华东师范大学数学系.数学分析［Ｍ］.北京：高等教育出版社，１９９１．
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”