抽象函数问题的求解

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  摘 要:抽象函数通常是指只给出函数满足某些条件(性质),而没有给出具体解析式的函数。抽象函数问题在近年的高考中也常常出现,它可以将函数、方程和不等式等内容综合于一题,也可以通过构造一定的背景,定义一些新的知识,从而在“抽象”中具体考查考生的逻辑推理能力、抽象思维能力与创新能力。
  关键词:抽象函数;解题方法;解题规律
  中图分类号:G633.6 文献标识码: A 文章编号:1992-7711(2015)20-001-02
  一、某些有原型的抽象函数
  有些具体函数满足抽象函数的性质,我们把这些具体函数称为抽象函数的原型函数,通过研究原型函数的性质来研究抽象函数。
  ,
  明确了“抽象”与“具体”之间了联系,我们就可以通观全局,整体把握,局部入手。
  【例1】对任意x,y∈R,函数f(x)满足,f(x y)=f(x) f(y),且当x>0时,f(x)<0,若f(1)=-2,求f(x)在[-3,4]的最值。
  分析:由已知联想到f(x)=kx,又f(1)=-2,所以f(1)=-2x是f(x)的一个特例,由f(x)=-2x是奇函数且是减函数可求出最值
  解:令x=y=0,则,f(0)=2f(0),∴f(0)=0,以-x代y,
  那么f(0)=f(x) f(-x),即f(x)在R上是奇函数
  设x1,x2∈R,且x10,
  从而f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f(x2-x1)<0,f(x)在R上是递减函数,所以在[-3,4]上,f(x)max=f(-3)=-f(3)=-[f(2) f(1)]=-3f(1)=6,同理得f(x)min=-8.
  评注:在解抽象函数问题时,对题设中的变量赋予特殊值是常用的方法,应仔细体会。本例若改为填空题,从分析即知答案,可省却许多运算,但解答题则要有完整过程
  【例2】已知函数f(x)定义域为R,且f(x y)=f(x)·f(y),若f(x)的反函数为g(x),比较g(mn)与g(m) g(n)的大小。
  分析:由题设可知原型函数为f(x)=ax,它的反函数为g(x)=logax,从而g(mn)=g(m) g(n).
  解:设f(x)的值域为D,对m,n∈D,在R中存在f(x1)=m,f(x2)=n,由反函数定义知x1=g(m),x2=g(n),所以mn=f(x1)f(x2)=f(x1 x2).
  因为f(x)的反函数为g(x),所以g(mn)=x1 x2=g(m) g(n).
  评注:由函数方程猜想原型函数,进而猜想得到函数的周期是解本题的关键
  解题规律:对一些性质与一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数类似的函数,解答时可选一个符合条件的特殊函数(原型函数),根据这个函数的性质,去研究该抽象函数的一般性质是一种常见而有效的方法。
  二、一些没有原型函数的抽象函数
  并非所有抽象函数问题都能找出原型函数。
  评注:解答本例的关键是要充分利用已知条件,沟通已知与待求(证)式之间的联系。
  解题规律:对一些没有原型函数的抽象函数,解题时只能根据题目的具体条件入手,利用函数的相关性质解题。
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