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德国著名大科学家高斯（1777-1855）出生在一个贫穷的家庭. 他八岁时进入乡村小学读书. 教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小孩子读书，真是大材小用. 他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里增添一些乐趣.
这一天正是数学老师情绪低落的一天. 同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了.
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和. 谁算不出来就罚他不能回家吃午饭. ”老师讲了这句话后就一言不发地拿起一本小说坐在椅子上看去了.
教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算. 有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗珠.
过了一会儿，小高斯拿起了他的石板走上前去：“老师，答案是不是这样？”
老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了！”他想不可能这么快就会有答案的.
可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师，我想这个答案是对的. ”
数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5 050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5 050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？
高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古希腊人和中国人用来计算级数1 2 3 … n的方法. 高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的. 他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看. 在他的鼓励下，高斯以后便在数学上做了一些重要的研究. 长大后他成为当时最杰出的数学家，数学家称呼他为“数学王子”.
亲爱的同学，读完故事你可以解决下面的问题吗？
1. 从故事中你学到了什么数学知识？
2. 你会计算1 2 3 … 100吗？
3. 小组讨论交流.
4. 归纳：若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项. 后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差.
例如：（1） 1，2，3，4，5，…，100；
（2） 2，4，6，8，10，…，90；
（3） 3，6，9，12，15，…，99.
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为2，末项为90，公差为2的等差数列；（3）是首项为3，末项为99，公差为3的等差数列.
由高斯的巧算方法，我们可以得到等差数列的求和公式：
和=（首项 末项）×项数÷2.
有了这个公式，我们就可以解决下面的问题了，一起试一试吧！
例1 1 2 3 … 1 999=？
【分析与解】这串加数1，2，3，…，1 999是等差数列，首项是1，末项是1 999，共有1 999个数. 由等差数列求和公式可得
原式=（1 1 999）×1 999÷2=1 999 000.
【注意】利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.
例2 11 12 13 … 31=？
【分析与解】这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11 1=21（项）.
原式=（11 31）×21÷2=441.
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数. 根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差 1，末项=首项 公差×（项数-1）.
例3 3 7 11 … 99=？
【分析与解】3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99-3）÷4 1=25，原式=（3 99）×25÷2=1 275.
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.
解：末项=25 3×（40-1）=142，
和=（25 142）×40÷2=3 340.
例5 盒子里放有3只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里. 这时盒子里共有多少只乒乓球？
【分析与解】一只球变成3只球，实际上多了2只球. 第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球. 因此拿了十次后，多了
2×1 2×2 … 2×10
=2×（1 2 … 10）
=2×55=110（只）.
加上原有的3只球，盒子里共有球110 3=113（只）.
综合列式为：
（3-1）×（1 2 … 10） 3
=2×[（1 10）×10÷2] 3=113（只）.
学习数学是场奇妙的旅行，让我们怀着愉悦的心情来享受数学，经历它的趣味和生命，感悟符号后面的情感和人生.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）
这一天正是数学老师情绪低落的一天. 同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了.
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和. 谁算不出来就罚他不能回家吃午饭. ”老师讲了这句话后就一言不发地拿起一本小说坐在椅子上看去了.
教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算. 有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗珠.
过了一会儿，小高斯拿起了他的石板走上前去：“老师，答案是不是这样？”
老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了！”他想不可能这么快就会有答案的.
可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师，我想这个答案是对的. ”
数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5 050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5 050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？
高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古希腊人和中国人用来计算级数1 2 3 … n的方法. 高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的. 他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看. 在他的鼓励下，高斯以后便在数学上做了一些重要的研究. 长大后他成为当时最杰出的数学家，数学家称呼他为“数学王子”.
亲爱的同学，读完故事你可以解决下面的问题吗？
1. 从故事中你学到了什么数学知识？
2. 你会计算1 2 3 … 100吗？
3. 小组讨论交流.
4. 归纳：若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项. 后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差.
例如：（1） 1，2，3，4，5，…，100；
（2） 2，4，6，8，10，…，90；
（3） 3，6，9，12，15，…，99.
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为2，末项为90，公差为2的等差数列；（3）是首项为3，末项为99，公差为3的等差数列.
由高斯的巧算方法，我们可以得到等差数列的求和公式：
和=（首项 末项）×项数÷2.
有了这个公式，我们就可以解决下面的问题了，一起试一试吧！
例1 1 2 3 … 1 999=？
【分析与解】这串加数1，2，3，…，1 999是等差数列，首项是1，末项是1 999，共有1 999个数. 由等差数列求和公式可得
原式=（1 1 999）×1 999÷2=1 999 000.
【注意】利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.
例2 11 12 13 … 31=？
【分析与解】这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11 1=21（项）.
原式=（11 31）×21÷2=441.
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数. 根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差 1，末项=首项 公差×（项数-1）.
例3 3 7 11 … 99=？
【分析与解】3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99-3）÷4 1=25，原式=（3 99）×25÷2=1 275.
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.
解：末项=25 3×（40-1）=142，
和=（25 142）×40÷2=3 340.
例5 盒子里放有3只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里. 这时盒子里共有多少只乒乓球？
【分析与解】一只球变成3只球，实际上多了2只球. 第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球. 因此拿了十次后，多了
2×1 2×2 … 2×10
=2×（1 2 … 10）
=2×55=110（只）.
加上原有的3只球，盒子里共有球110 3=113（只）.
综合列式为：
（3-1）×（1 2 … 10） 3
=2×[（1 10）×10÷2] 3=113（只）.
学习数学是场奇妙的旅行，让我们怀着愉悦的心情来享受数学，经历它的趣味和生命，感悟符号后面的情感和人生.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）