【摘要】参数变换是常用的数学变换，它为解决复杂的数学问题提供了重要工具，在高等数学中广泛使用，应使学生熟练掌握、灵活运用.文中几例，虽不典型，但构思巧妙，很有启发.
　　【关键词】数学；变换；方法；应用
　　
　　数学变换是数学研究的基本手段，它化繁为简、化难为易、化生为熟，是数学思维方法的重要组成部分.参数变换是常用的数学变换，它的关键是在解决问题时先引入辅助性的参数，然后把需要求解的问题转化为有关参数的新问题.参数变换在高等数学中广泛使用，贯穿于教学的整个工程之中，特别是在复合函数微分、不定积分、定积分、重积分、微分方程中是一种基本的运算方法.善于和熟练应用参数变换方法，对于启迪学生思维、提高解题能力有重要意义.
　　下面几例，体现了参数变换方法的灵活性、多样性.引入参数，转换思路，豁然开朗，轻松实现了问题的解决.
　　例1 计算lim(x,y)→(0,0)xyx2+y2.
　　解 引入参数ρ,θ（ρ>0），设x=ρcosθ,y=ρsinθ，
　　有ρ=x2+y2，当(x,y)→(0,0)时，有ρ→0.
　　又 f(ρcosθ,ρsinθ)=ρsinθcosθ，
　　θ，有|sinθcosθ|≤1，
　　∴limρ→0f(ρcosθ,ρsinθ)=limρ→0ρsinθcosθ=0.
　　因此，lim(x,y)→(0,0)xyx2+y2=0.
　　例2 求函数y=xarcsinxa+a2-x2的二阶导数.
　　解 引入参数t,t∈-π2，π2，设x=asint，
　　有y=atsint+acost，dtdx=1acost，
　　dydx=dydt•dtdx=(asint+atcost-asint)1acost=t，
　　y″=1acost=1a2-x2.
　　上例可以看出，对于某些函数求导，灵活采用参数变换，能使运算量大大减少，达到事半功倍的效果.
　　例3 计算∫∞0sin2xx2dx.
　　解 引入参数t(t≥0)，设f(t)=∫∞0sin2txx2dx.
　　两边对t求导数，有
　　f′(t)=∫∞02xsintxcostxx2dx
　　=∫∞0sin2txxdx
　　=∫∞0sin2tx2txd(2tx)=π2.
　　∴f(t)=π2t+C.
　　又 f(0)=0，
　　因此，f(t)=π2t，f(1)=∫∞0sin2xx2dx=π2.
　　例4 求函数z=xy(x,y>0)在满足条件x+y=1时的最大值.
　　解 引入参数t，设x=12-t，y=12+t，
　　有z=xy=12-t12+t=14 -t2，
　　因此，当t=0，即x=y=12时，z=xy取得最大值14.
　　例5 求函数f(x,y,z)=x2+y2+z2满足条件x+y+z=1时的最小值.
　　解 引入参数u,v，设
　　x=13+u，y=13+v，z=13-u-v，
　　有f(x,y,z)=13+u2+13+v2+13-u-v2
　　=13+u2+v2+(u+v)2≥13.
　　于是，当u=v=0，即x=y=z=13时，
　　f(x,y,z)取得最小值13.
　　上两例可用微分等方法求解，但应用参数变换方法，结果一目了然，比较简便.