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在学习了有理数后，我们可以通过类比的方式学习实数中的相关概念以及运算律，在类比的过程中探索、学习、提高. 下面，我们来一起了解一下本章的难点问题.
一、 明晰概念，泾渭分明
1. 平方根与算术平方根：正数a有两个平方根±，其中正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作. 0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即=0.
例1 的算术平方根是（ ）.
A. ±4 B. 4 C. ±2 D. 2
【分析】是16的算术平方根，它的值是4，4的算术平方根是2，所以答案选D.
2. 平方根与立方根：（1） 定义不同：如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根；如果x3=a，那么x叫做a的立方根. （2） a的取值范围不同：当a是非负数时，才会有平方根；任何数a都有一个立方根. （3） 表示方式不同：正数a的两个平方根记作±，每个数a都只有一个立方根，记作. （4） 个数不同：一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，任何数a的立方根只有一个
【分析】∵题目中是确定开立方运算中a-2的取值范围，而对于任何数，都有它的立方根，∴被开方数a-2可以是任何数，即a为任何数. 选择D.
例3 若a是64的算术平方根，b是64的立方根，求a-b的值.
【分析】对于同一个数64，首先要弄清楚如何求它的算术平方根和立方根，从而确定a，b的值，解决问题. ∵64的算术平方根是8，∴a=8；∵64的立方根是4，∴b=4，∴a-b=8-4=4.
3. 无理数与实数：无理数是无限不循环小数. 要正确区分无理数与有理数，首先要清楚无理数的几种表现形式：（1） 构造型：如3.121 121 112……，等；（2） “π”家族：如-π，，……；（3） 开方开不尽型：如，，…….
实数包含了有理数和无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数. 实数与数轴上的点一一对应. 一般情况下，在数轴上表示一个无理数，往往都是利用勾股定理来构造直角三角形，用它的斜边或直角边的长度来表示.
例4 实数，，-3.14，，中是无理数的是______.
【分析】根据无理数的概念以及无理数的表现形式，可以判别出无理数是，. 这里要注意避免将类似形式的误认为是有理数.
4. 近似数与准确数：接近准确数而不等于准确数的数是近似数，也叫做这个数的近似值；与实际完全符合的数值是准确数.
例5 指出下列各数据哪些是准确数，哪些是近似数？
（1） 珠穆朗玛峰高达8 844.43 m.
（2） 某学校有163名教师.
（3） 小明身高1.60 m.
（4） 这栋楼有12层.
【分析】要想分清上述数据是准确数还是近似数，需要正确理解它们的概念并结合生活实际进行判断.
（1） 、（3）中珠穆朗玛峰的高度和小明的身高都是经过测量得来的，存在一定的误差情况，所以是近似数；（2）、（4）中教师的人数和大楼的层数都是与实际完全符合的，所以是准确数.
二、 温故知新，类比出彩
1. 实数的大小比较：有理数的大小比较在实数范围内仍然适用. 常见的比较实数的方法如下：
（1） 数形结合. 实数与数轴上的点一一对应. 数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数. 将需要比较大小的数分别在数轴上表示出来，再根据它们在数轴上的位置确定大小关系.
（2） 平方法. 通过平方，将含有根号的式子（或数）化为有理式（或数），进行比较.
（3） 比较被开方数. 如果两个数的根号相同，可以通过比较根号下的被开方数的大小来比较两个实数的大小.
（4） 估算法. 可以先分别求出各数的近似值，然后比较近似值的大小.
（5） 作差法. 比较两个实数的大小，可以先求这两个实数的差，比较这个值和0的大小.
例6 比较下列各组数的大小：
2. 近似数的精确度的确定：在一些计算中，我们需要对近似数进行处理，通常选用四舍五入法. 也就是说取某个近似数精确到哪一位，需要对这一位后面的第一个数字进行四舍五入，而第一个数字往后的位数上的数字全部舍去.
例7 用四舍五入法按要求对0.050 49分别取近似值，其中错误的是（ ）.
A. 0.1（精确到0.1）
B. 0.05（精确到百分位）
C. 0.05（精确到千分位）
D. 0.050（精确到0.001）
【分析】根据近似数概念进行分析.
A. 0.050 49精确到0.1应保留一个有效数字，故是0.1，正确；B. 0.050 49精确到百分位应保留一个有效数字，故是0.05，正确；C.0.050 49精确到千分位应是0.050，错误；D.0.050 49精确到0.001应是0.050，正确. 所以答案选C.
例8 若a，b均为正整数，且a>，b<，则a b的最小值是（ ）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【分析】a、b均为正整数，且a>，b<，∴a的最小值是3，b的最小值是1，则a b的最小值是4. 所以答案选B.
（作者单位：江苏省淮安外国语学校）
一、 明晰概念，泾渭分明
1. 平方根与算术平方根：正数a有两个平方根±，其中正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作. 0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即=0.
例1 的算术平方根是（ ）.
A. ±4 B. 4 C. ±2 D. 2
【分析】是16的算术平方根，它的值是4，4的算术平方根是2，所以答案选D.
2. 平方根与立方根：（1） 定义不同：如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根；如果x3=a，那么x叫做a的立方根. （2） a的取值范围不同：当a是非负数时，才会有平方根；任何数a都有一个立方根. （3） 表示方式不同：正数a的两个平方根记作±，每个数a都只有一个立方根，记作. （4） 个数不同：一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，任何数a的立方根只有一个
【分析】∵题目中是确定开立方运算中a-2的取值范围，而对于任何数，都有它的立方根，∴被开方数a-2可以是任何数，即a为任何数. 选择D.
例3 若a是64的算术平方根，b是64的立方根，求a-b的值.
【分析】对于同一个数64，首先要弄清楚如何求它的算术平方根和立方根，从而确定a，b的值，解决问题. ∵64的算术平方根是8，∴a=8；∵64的立方根是4，∴b=4，∴a-b=8-4=4.
3. 无理数与实数：无理数是无限不循环小数. 要正确区分无理数与有理数，首先要清楚无理数的几种表现形式：（1） 构造型：如3.121 121 112……，等；（2） “π”家族：如-π，，……；（3） 开方开不尽型：如，，…….
实数包含了有理数和无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数. 实数与数轴上的点一一对应. 一般情况下，在数轴上表示一个无理数，往往都是利用勾股定理来构造直角三角形，用它的斜边或直角边的长度来表示.
例4 实数，，-3.14，，中是无理数的是______.
【分析】根据无理数的概念以及无理数的表现形式，可以判别出无理数是，. 这里要注意避免将类似形式的误认为是有理数.
4. 近似数与准确数：接近准确数而不等于准确数的数是近似数，也叫做这个数的近似值；与实际完全符合的数值是准确数.
例5 指出下列各数据哪些是准确数，哪些是近似数？
（1） 珠穆朗玛峰高达8 844.43 m.
（2） 某学校有163名教师.
（3） 小明身高1.60 m.
（4） 这栋楼有12层.
【分析】要想分清上述数据是准确数还是近似数，需要正确理解它们的概念并结合生活实际进行判断.
（1） 、（3）中珠穆朗玛峰的高度和小明的身高都是经过测量得来的，存在一定的误差情况，所以是近似数；（2）、（4）中教师的人数和大楼的层数都是与实际完全符合的，所以是准确数.
二、 温故知新，类比出彩
1. 实数的大小比较：有理数的大小比较在实数范围内仍然适用. 常见的比较实数的方法如下：
（1） 数形结合. 实数与数轴上的点一一对应. 数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数. 将需要比较大小的数分别在数轴上表示出来，再根据它们在数轴上的位置确定大小关系.
（2） 平方法. 通过平方，将含有根号的式子（或数）化为有理式（或数），进行比较.
（3） 比较被开方数. 如果两个数的根号相同，可以通过比较根号下的被开方数的大小来比较两个实数的大小.
（4） 估算法. 可以先分别求出各数的近似值，然后比较近似值的大小.
（5） 作差法. 比较两个实数的大小，可以先求这两个实数的差，比较这个值和0的大小.
例6 比较下列各组数的大小：
2. 近似数的精确度的确定：在一些计算中，我们需要对近似数进行处理，通常选用四舍五入法. 也就是说取某个近似数精确到哪一位，需要对这一位后面的第一个数字进行四舍五入，而第一个数字往后的位数上的数字全部舍去.
例7 用四舍五入法按要求对0.050 49分别取近似值，其中错误的是（ ）.
A. 0.1（精确到0.1）
B. 0.05（精确到百分位）
C. 0.05（精确到千分位）
D. 0.050（精确到0.001）
【分析】根据近似数概念进行分析.
A. 0.050 49精确到0.1应保留一个有效数字，故是0.1，正确；B. 0.050 49精确到百分位应保留一个有效数字，故是0.05，正确；C.0.050 49精确到千分位应是0.050，错误；D.0.050 49精确到0.001应是0.050，正确. 所以答案选C.
例8 若a，b均为正整数，且a>，b<，则a b的最小值是（ ）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【分析】a、b均为正整数，且a>，b<，∴a的最小值是3，b的最小值是1，则a b的最小值是4. 所以答案选B.
（作者单位：江苏省淮安外国语学校）