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1 引言
作图中考试题,也谱出新曲.性质作图,图形中隐藏的特征,是作图切入的关键;2018年无锡市中考作图题的位置从第24题的位置后移到第26题,能力要求大为提高,这个作图题引起了大家的关注.
例1 如图1,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4).
(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹.)
(2)问:(1)中这样的直线AC是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式.
2 试题解析
这种题目的作图究竟怎么完成?其方法是反想,就是假设能够作出,有什么特征呢?(1)从∠ABC=∠AOC=90°,△ABC与△AOC的面积相等,可以得到△ABC与△AOC是全等三角形,相当于这里隐藏了如下特征:斜边公共,面积相等的两个直角三角形全等,很容易想到作出矩形ABCO,这个情况几乎都能够想到.
(2)有没有其他图形呢?从两个全等直角三角形拼出图形,除了矩形,还有是筝形,从∠AOC=∠ABC=90°,得到四边形ABCO有外接圆,从△AOC与△ABC的面积相等,得到AC所在直线是四边形ABCO的对称轴,可以得到AC垂直平分OB,于是得到筝形ABCO的做法,连接OB作出OB的垂直平分线AC分别交x轴、y轴于A、C.
解 (1)过B作BA⊥x轴,过B作BC⊥y轴.
(2)①如图2,矩形ABCO,从B(6,4),得到A(6,0),C(0,4),y=-23x 4.
②如圖3,连接OB作出OB的垂直平分线AC分别交x轴、y轴于A、C.得到CB=CO,AB=AO,AC=AC,得到△AOC≌△ABC,得到∠ABC=∠AOC=90°,作BE⊥x轴于E,得到OE=6,BE=4,设OA=AB=a,AE=6-a,
得到a2=(6-a)2 42,a=133,A(133,0);容易得到△AOC∽△BEO,得到
COOE=OABE,得到CO=132,C(0,132),得到y=-32x 132,
lAC:y=-32x 132或y=-23x 4.
点评 从条件中“它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C”,我们自然想到去掉“正半轴”这个限制,也就是直角三角形AOC、BAC位于斜边AC的同侧,这个情况存在吗?
变式 如图1,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4),
请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴的正半轴交于点A、和y轴负半轴交于点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹.)
解析 点M在OB的垂直平分线上,作图可以这样完成:连接OB,作出OB的垂直平分线交y轴于M,连接MB并延长交x轴于A,在y轴负半轴截取OC=AB.如图4中的M,就是图3中的C,类似可以求出lAC:y=23x-525.
这个问题相当于要解决如下问题:
如图5,已知:∠AOC=∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等,延长CO、AB交于M,求证:△MAC是等腰三角形.
点评 这种作图题能力要求比较高,通过反向思考,发掘出题目中隐藏的几何特征,筝形的作图是通过作出OB的垂直平分线与坐标轴的交点来完成.
3 传音
例2 如图6,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的顶点A、B、C均在格点上.
(1)∠ACB的大小为 度;
(2)在如图6,所示的网格中,P是BC边上任意一点,以A为中心,取旋转角等于∠BAC,把点P逆时针旋转,点P的对应点为P′.当CP′最短时,请用无刻度的直尺,画出点P′,并简要说明点P′的位置是如何找到的(不要求证明).(2018年天津市中考试题第18题)
解析 (1)AC是3×3正方形的对角线,BC是4×4正方形的对角线,可以得到∠ACB=45° 45°=90°.
(2)我们反向思考假设如图7就是满足要求的点P′,因为∠PAP′=∠BAC,得到∠P′AC=∠PAB,连接P′C,我们从有旋转角的特征希望看到有与△ACP′全等的三角形,我们想到在AB上截取AQ=AC,连接QP,可以得到△ACP′≌△AQP,得到CP′=PQ,要求P′C的最小值,只要研究PQ的最小值,因为点Q是定点,AC是定线段,所以当PQ⊥BC时,PQ取得最小值.
题目中要作出P′,我们考虑能不能把△ABC绕点A逆时针旋转△BAC到△AFL,AC=32,BC=42,∠ACB=90°,AB=52,考虑把AB逆时针旋转△CAB,得到AF=AB=52,F是格点,可以标出,能不能标出L呢?因为FL是7×1长方形的对角线的一部分,网格上从F向左边只有6×1的对角线,这里有一个关键的作图就是作出7×1矩形对角线交点,只要从F向左边第四个正方形对角线交点G就是了,连接FG,FG就是边FL的一部分,只要逆时针旋转∠ABC就可以了,L不需要标出;
这里还有一个重要的特征,P′点确定我们不是通过作CP′⊥FG来完成的,我们把P′C的延长交AB于T,我们在这里要想到PQ∥AC,得到∠PQB=∠CAB,从∠ACP′=∠AQP,得到∠P′CF=∠PQB,所以∠P′CF=∠CAB,因为∠P′CF=∠ACT,得到∠ACT=∠CAB,得到CT=AT,可以得到点T是AB的中点,我们发现AB的中点T可以通过从点A向右边第四个正方形连接对角线作出,这是用无刻度的直尺作出的;图8
解答(2) 如图8,取格点D、E,连接DE得到与AB的交点T,点T是AB的中点,取格点M、N,连接MN与BC延长线交于G,取格点F,连接FG,连接TC并延长交FG于P′,点P′就是要求作的点.
点评 这个题目首先通过绕点A把∠B旋转到∠AFG位置,另一方面通过作出Rt△ABC斜边上中线的反向延长线来确定P′,真是“牛”啊!
例3 (自编)如图9,在直角坐标系xOy上,点A(-4,0),直线x=2,请在图中作出等边△ABC,使得点C在y轴负半轴上,点B在直线x=2上(尺规作图).
解析 如图10,假设△ABC就是满足题意的等边三角形,作CE⊥AB于E,连接OE,作EF⊥x轴于F,直线x=2与x轴交于M,得到AM=6,AO=4,因为AC=CB,CE⊥AB,得到AE=EB,∠ACE=∠ECB=30°;从EF∥BM,得到AF=FM=3,OF=4-3=1;另一方面关键的是从∠AEC=∠AOC=90°,得到四边形AEOC有外接圆,得到∠AOE=∠ACE=30°,这样只要先确定点E,
等边△ABC就可以作出来.如何确定点E呢?因为E是AB的中点,EF⊥AM,得到AF=FM,所以点E在AM的垂直平分线上,以及作出∠AOE=30°,与边OE交于E,作30°角可以作它的余角60°,也就是第2象限作出一个一条边在y轴的正半轴,一个顶点是O的等边三角形.图11
如图11,作出等边三角形OLZ,作出AM的垂直平分线交OL于E,连接AE并延长交直线x=2于B,以A为圆心,AB为半径作弧交y轴负半轴于C,连接BC,得到等边△ABC.
点评 这个作图必须看出一个有外接圆的四边形,得到特殊角.通过反向思考,发掘出其中的特征,从而确定一些特殊位置的点,进而逐步化解问题,这些题目的难度毫不逊色于传统几何证明题.
作图中考试题,也谱出新曲.性质作图,图形中隐藏的特征,是作图切入的关键;2018年无锡市中考作图题的位置从第24题的位置后移到第26题,能力要求大为提高,这个作图题引起了大家的关注.
例1 如图1,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4).
(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹.)
(2)问:(1)中这样的直线AC是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式.
2 试题解析
这种题目的作图究竟怎么完成?其方法是反想,就是假设能够作出,有什么特征呢?(1)从∠ABC=∠AOC=90°,△ABC与△AOC的面积相等,可以得到△ABC与△AOC是全等三角形,相当于这里隐藏了如下特征:斜边公共,面积相等的两个直角三角形全等,很容易想到作出矩形ABCO,这个情况几乎都能够想到.
(2)有没有其他图形呢?从两个全等直角三角形拼出图形,除了矩形,还有是筝形,从∠AOC=∠ABC=90°,得到四边形ABCO有外接圆,从△AOC与△ABC的面积相等,得到AC所在直线是四边形ABCO的对称轴,可以得到AC垂直平分OB,于是得到筝形ABCO的做法,连接OB作出OB的垂直平分线AC分别交x轴、y轴于A、C.
解 (1)过B作BA⊥x轴,过B作BC⊥y轴.
(2)①如图2,矩形ABCO,从B(6,4),得到A(6,0),C(0,4),y=-23x 4.
②如圖3,连接OB作出OB的垂直平分线AC分别交x轴、y轴于A、C.得到CB=CO,AB=AO,AC=AC,得到△AOC≌△ABC,得到∠ABC=∠AOC=90°,作BE⊥x轴于E,得到OE=6,BE=4,设OA=AB=a,AE=6-a,
得到a2=(6-a)2 42,a=133,A(133,0);容易得到△AOC∽△BEO,得到
COOE=OABE,得到CO=132,C(0,132),得到y=-32x 132,
lAC:y=-32x 132或y=-23x 4.
点评 从条件中“它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C”,我们自然想到去掉“正半轴”这个限制,也就是直角三角形AOC、BAC位于斜边AC的同侧,这个情况存在吗?
变式 如图1,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4),
请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴的正半轴交于点A、和y轴负半轴交于点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹.)
解析 点M在OB的垂直平分线上,作图可以这样完成:连接OB,作出OB的垂直平分线交y轴于M,连接MB并延长交x轴于A,在y轴负半轴截取OC=AB.如图4中的M,就是图3中的C,类似可以求出lAC:y=23x-525.
这个问题相当于要解决如下问题:
如图5,已知:∠AOC=∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等,延长CO、AB交于M,求证:△MAC是等腰三角形.
点评 这种作图题能力要求比较高,通过反向思考,发掘出题目中隐藏的几何特征,筝形的作图是通过作出OB的垂直平分线与坐标轴的交点来完成.
3 传音
例2 如图6,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的顶点A、B、C均在格点上.
(1)∠ACB的大小为 度;
(2)在如图6,所示的网格中,P是BC边上任意一点,以A为中心,取旋转角等于∠BAC,把点P逆时针旋转,点P的对应点为P′.当CP′最短时,请用无刻度的直尺,画出点P′,并简要说明点P′的位置是如何找到的(不要求证明).(2018年天津市中考试题第18题)
解析 (1)AC是3×3正方形的对角线,BC是4×4正方形的对角线,可以得到∠ACB=45° 45°=90°.
(2)我们反向思考假设如图7就是满足要求的点P′,因为∠PAP′=∠BAC,得到∠P′AC=∠PAB,连接P′C,我们从有旋转角的特征希望看到有与△ACP′全等的三角形,我们想到在AB上截取AQ=AC,连接QP,可以得到△ACP′≌△AQP,得到CP′=PQ,要求P′C的最小值,只要研究PQ的最小值,因为点Q是定点,AC是定线段,所以当PQ⊥BC时,PQ取得最小值.
题目中要作出P′,我们考虑能不能把△ABC绕点A逆时针旋转△BAC到△AFL,AC=32,BC=42,∠ACB=90°,AB=52,考虑把AB逆时针旋转△CAB,得到AF=AB=52,F是格点,可以标出,能不能标出L呢?因为FL是7×1长方形的对角线的一部分,网格上从F向左边只有6×1的对角线,这里有一个关键的作图就是作出7×1矩形对角线交点,只要从F向左边第四个正方形对角线交点G就是了,连接FG,FG就是边FL的一部分,只要逆时针旋转∠ABC就可以了,L不需要标出;
这里还有一个重要的特征,P′点确定我们不是通过作CP′⊥FG来完成的,我们把P′C的延长交AB于T,我们在这里要想到PQ∥AC,得到∠PQB=∠CAB,从∠ACP′=∠AQP,得到∠P′CF=∠PQB,所以∠P′CF=∠CAB,因为∠P′CF=∠ACT,得到∠ACT=∠CAB,得到CT=AT,可以得到点T是AB的中点,我们发现AB的中点T可以通过从点A向右边第四个正方形连接对角线作出,这是用无刻度的直尺作出的;图8
解答(2) 如图8,取格点D、E,连接DE得到与AB的交点T,点T是AB的中点,取格点M、N,连接MN与BC延长线交于G,取格点F,连接FG,连接TC并延长交FG于P′,点P′就是要求作的点.
点评 这个题目首先通过绕点A把∠B旋转到∠AFG位置,另一方面通过作出Rt△ABC斜边上中线的反向延长线来确定P′,真是“牛”啊!
例3 (自编)如图9,在直角坐标系xOy上,点A(-4,0),直线x=2,请在图中作出等边△ABC,使得点C在y轴负半轴上,点B在直线x=2上(尺规作图).
解析 如图10,假设△ABC就是满足题意的等边三角形,作CE⊥AB于E,连接OE,作EF⊥x轴于F,直线x=2与x轴交于M,得到AM=6,AO=4,因为AC=CB,CE⊥AB,得到AE=EB,∠ACE=∠ECB=30°;从EF∥BM,得到AF=FM=3,OF=4-3=1;另一方面关键的是从∠AEC=∠AOC=90°,得到四边形AEOC有外接圆,得到∠AOE=∠ACE=30°,这样只要先确定点E,
等边△ABC就可以作出来.如何确定点E呢?因为E是AB的中点,EF⊥AM,得到AF=FM,所以点E在AM的垂直平分线上,以及作出∠AOE=30°,与边OE交于E,作30°角可以作它的余角60°,也就是第2象限作出一个一条边在y轴的正半轴,一个顶点是O的等边三角形.图11
如图11,作出等边三角形OLZ,作出AM的垂直平分线交OL于E,连接AE并延长交直线x=2于B,以A为圆心,AB为半径作弧交y轴负半轴于C,连接BC,得到等边△ABC.
点评 这个作图必须看出一个有外接圆的四边形,得到特殊角.通过反向思考,发掘出其中的特征,从而确定一些特殊位置的点,进而逐步化解问题,这些题目的难度毫不逊色于传统几何证明题.