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【摘要】在我们的周围，经常可以看到形状，大小完全相同的图形，这样的图形叫做全等形。研究全等形的性质和判定两个图形全等的方法，是几何学的一个重要内容。本文以三角形为例，对这些问题进行研究。
【关键词】形状；大小；完全相同；全等形
在现实生活中，我们经常遇到形状、大小完全相同的图形。即：全等形。全等形的判定、在具体解决有关问题时，学生常常感到相当困惑，教师也不能对这个问题解释的非常透彻。现将我对全等三角形的判定性质进行简单的分析。
一 对“全等形”“全等三角形”的理解
【问题】观察思考：每组的两个图形有什么特点?
1、每组的两个图形形状大小都一样。
2、每组的两个图形都可以重合。
3、可以看到，形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。
即：全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
二 、对“全等三角形”判定中值得注意的问题
如图，将△ABC沿直线BC平移得△DEF；
将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；
将△ABC旋转180°得△AED．
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等．
在图⑴中，点A与点D重合．点B与点E重合．我们把这样互相重合的一对顶点叫做对应顶点；
AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；
∠A与∠D重合，它们就是对应角．
△ABC与△DEF全等，我们把它记作：“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．
注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．
【问题】你能找出图⑴中其他的对应顶点、对应边和对应角吗？怎样表示图⑵⑶中的两个全等三角形，并找出对应顶点、对应边和对应角．
我们可以看到。在两个三角形中点C与点F是对应点，BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边．∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角．
【问题】图中的三角形为全等三解形。全等三角形的对应边有什么关系呢？对应角呢？
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等．
全等三角形的对应角相等．
三、“全等三角形”判定的几种方法。（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）【问题1】已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边
图中相等的边是：AB=DE AC=DF BC=EF
同理， 若存在 AB=DE AC=DF BC=EF。我们是否可以得到
△ABC≌△DEF
通过观察和实验，我们得到一个规律：
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）
【问题2】如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？
不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：
AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．
从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．即：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
【问题3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？
①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．
②画线段A′B′，使A′B′=AB．
③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．
④射线A′D与B′E交于一点，记为C′
即可得到△A′B′C′．
将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
【问题4】如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：
∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
【问题5】任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C，′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC，AB=AB；
1、画∠MC′N=90°。
2、在射线C′M上取B′C′BC。
3、以B′为圆心，AB为半径画弧，
交射线C′N于点A′。连接A′B′。
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形特殊的判定方法——HL
规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
四 “全等三角形”总结
前面我们分析的全等三角形的性质和判定方法。
如果两个三角形全等，那么它们的对应元素（对应边、角等）都相等，这就是全等三角形的性质判定三角形全等的条件是“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”，而对于直角三角形的全等，还可以用“斜边、直角边”来判定。
用全等三角形的定义判定三角形全等，需要六个条件。通过画图找规律、推理论证等方法，我们减少条件，找到更简便的判定方法。由此看出，实验操作和推理论证都能帮助我们获得新的结论。
【关键词】形状；大小；完全相同；全等形
在现实生活中，我们经常遇到形状、大小完全相同的图形。即：全等形。全等形的判定、在具体解决有关问题时，学生常常感到相当困惑，教师也不能对这个问题解释的非常透彻。现将我对全等三角形的判定性质进行简单的分析。
一 对“全等形”“全等三角形”的理解
【问题】观察思考：每组的两个图形有什么特点?
1、每组的两个图形形状大小都一样。
2、每组的两个图形都可以重合。
3、可以看到，形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。
即：全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
二 、对“全等三角形”判定中值得注意的问题
如图，将△ABC沿直线BC平移得△DEF；
将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；
将△ABC旋转180°得△AED．
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等．
在图⑴中，点A与点D重合．点B与点E重合．我们把这样互相重合的一对顶点叫做对应顶点；
AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；
∠A与∠D重合，它们就是对应角．
△ABC与△DEF全等，我们把它记作：“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．
注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．
【问题】你能找出图⑴中其他的对应顶点、对应边和对应角吗？怎样表示图⑵⑶中的两个全等三角形，并找出对应顶点、对应边和对应角．
我们可以看到。在两个三角形中点C与点F是对应点，BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边．∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角．
【问题】图中的三角形为全等三解形。全等三角形的对应边有什么关系呢？对应角呢？
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等．
全等三角形的对应角相等．
三、“全等三角形”判定的几种方法。（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）【问题1】已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边
图中相等的边是：AB=DE AC=DF BC=EF
同理， 若存在 AB=DE AC=DF BC=EF。我们是否可以得到
△ABC≌△DEF
通过观察和实验，我们得到一个规律：
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）
【问题2】如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？
不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：
AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．
从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．即：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
【问题3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？
①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．
②画线段A′B′，使A′B′=AB．
③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．
④射线A′D与B′E交于一点，记为C′
即可得到△A′B′C′．
将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
【问题4】如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：
∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
【问题5】任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C，′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC，AB=AB；
1、画∠MC′N=90°。
2、在射线C′M上取B′C′BC。
3、以B′为圆心，AB为半径画弧，
交射线C′N于点A′。连接A′B′。
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形特殊的判定方法——HL
规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
四 “全等三角形”总结
前面我们分析的全等三角形的性质和判定方法。
如果两个三角形全等，那么它们的对应元素（对应边、角等）都相等，这就是全等三角形的性质判定三角形全等的条件是“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”，而对于直角三角形的全等，还可以用“斜边、直角边”来判定。
用全等三角形的定义判定三角形全等，需要六个条件。通过画图找规律、推理论证等方法，我们减少条件，找到更简便的判定方法。由此看出，实验操作和推理论证都能帮助我们获得新的结论。