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〔摘 要〕本文以一道平行四边形问题为探索起点，以初中阶段数学知识为依据，展开一系列的探究活动，进行多角度的联想，从而产生新的猜想和结论。通过对一道题的探索，不仅可以拓展自己的思维，也可以在引导学生探究的过程中体验数学发现和创造的历程，培养学生的问题意识、解题思维能力，在不断验证、完善的过程中得到意料之外的体验和惊喜。
〔关键词〕平行四边形 等腰梯形 等腰三角形
在数学习题教学中，要及时回顾、总结、探索，反思有没有更一般的规律，通过归纳总结形成经验，根据习题涉及知识点的特点，进行多角度的联想，从而产生新的猜想和结论。本文以一道平行四边形问题为探索起点，以初中阶段数学知识为依据，展开一系列的探究活动，进行多角度的联想，从而产生新的猜想和结论。通过对一道题的探索，不仅可以拓展自己的思维，也可以在引导学生探究的过程中体验数学发现和创造的历程，培养学生的问题意识、解题思维能力，在不断验证、完善的过程中得到意料之外的体验和惊喜。
一、问题的产生
在教学平行四边形的判定时，有这样一道习题，“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？若是，请给予证明，若不是，请给出反例。”学生由于受平行四边形的思维定势影响，大多数认为是正确的，但是却无法给出证明；也有少数学生认为是假命题，却不知道如何举出反例？为此我请教了几位新教师，却也不能准确地画出图形，所以笔者就这个问题，进行了深入研究。
二、对问题的探究
1、拼图法
思路：我们知道在处理四边形问题时，通常通过转化为三角形问题，也就是把未知问题转化为已知问题，考虑到四边形要同时满足一组对边相等且一组对角相等这两个条件，很容易使人联想到在等腰三角形中的“等腰对等角”和平行四边形的“两组对边相等且两组对角相等”。
①利用等腰三角形拼图
方法：如图1（图略），将等腰三角形ABC（左图）沿AD剪开（注意：在裁剪时，使BD≠CD），再拼好（右图），所得四边形符合条件，由图形可以看出它不是平行四边形。
说明：因为△ABC是等腰三角形，AB=AC
所以∠B=∠C
拼图后△ADC≌△ADC’
所以DC’=AC=AB，四边形ABDC’满足一组对边相等，一组对角相等的条件，但显然图形不是平行四边形。
②利用平行四边形拼图
方法：在 ABCD中，三角形BDE为等腰三角形（图2）（图略），沿对角线BD、BE剪开，再将△ABD和△BEC拼在一起（图3）（图略）。所得四边形满足条件，但显然不是平行四边形。
2、旋转法
思路：利用平行四边形和等腰梯形的性质，通过旋转保持一组对边和一组对角相等，构造四边形。
①利用平行四边形性质
方法：如图4（图略），四边形ABCD为平行四边形，连接AC，作AE垂直BC于E；在EB上截取EC'=EC，连接AC'，则△AEC'≌△AEC，AC'=AC。把△ACD绕点A顺时针旋转∠CAC'的度数，则AC与AC'重合。显然四边形ABC'D'满足：AB=CD=C'D'；∠B=∠D=∠D'，而四边形ABC'D'并不是平行四边形。
②利用等腰梯形构造
方法：a、作等腰梯形AEBC，则AB=CE，∠AEC=∠ABC
b、以C为圆心以CE为半径画弧，交EA的延长线于D
c、连结CD ，则CE=CD ，∠D=∠AEC
所以CD=AB ∠D=∠ABC ，从而说明“只有一组对边，一对角相等的四边形”不一定是平行四边形（图5）（图略）。
3、作图法
思路：利用圆周角和等弦知识，画出满足一组对边相等一组对角相等的四边形。
方法：a、作等圆⊙O和⊙A，在两圆中作 ABCD；
b、以A点为圆心，AD长为半径画弧，交⊙O于E点，则AE=AD；
c、连接AE、CE，则四边形ABCE即使所求（图6）（图略）。
三、分析与思考
上述的问题只是教学中的基本问题，有些老师可能会给学生一个简单的答案和例证，学生知道了也就算了。我通过查找资料，加上自己画图拼接发现了这么多种方法，然后引导学生逐步去探究，在拼图、画图的过程中，学生甚至发现了更多的方法，从而获得意外的体验和惊喜！
其实，在数学学习中，许多教师不重视对基本问题的研究，不重视原有问题内在潜力的挖掘、改造，对于许多问题只满足于它们的解答，缺乏深入研究，不追究问题的来源，看不清问题的本质，取而代之的是大量的题海战术来训练学生的解题能力。长此以往，学生只会关心题目解决了没有，不去关心问题的答案是否正确，更不关心自己到底悟到了什么，只习惯于解决别人的问题而不会自己去探索问题。
为了改变这种状况，笔者认为对一些即使是基础的问题，只要有发掘性，教师应引导学生做进一步思考与探索，让学生掌握“解题后再思考”的方法，培养学生养成“解题后再思考”的习惯，并使学生真正懂得“学会学习”。
新课程要求教师要会“用教材教”而不是仅仅“教教材”。教教材传递给学生的是知识，而用教材教培养的是学生的智慧。知识本质上只是一种结果，可能是一种经验的结果，也可能是一种思考的结果。而智慧并不表现在这两种结果之上，而是表现在经验和思考的过程之中，如对问题的处理、对困难的化解以及对实质的思考。由此可见，智慧是融知识、经验和思维为一体的，是人们实现创新的心理机制。新课标之所以倡导四维教学目标，正是考虑到了智慧形成的基本规律，即知识是可以传递的，而智慧是无法传递的，智慧的形成并不完全依赖于知识的多少，而是依赖于知识的运用、依赖于个人的经验。一个人的智慧的发展，需要到实际操作中去感悟、去积累、去反思。因此，要培养学生“智慧”，务必重视学生的“做中学”，正如富兰克林所说，听到的我会忘记，看到的我会记住，参与的我能理解并会运用。
总之，通过一道题的探究和教学，引发我们年轻教师对发掘教材的重视，注重发现问题后从多途径引导学生探索，逐步培养学生解决问题的科学思维习惯，勇于质疑和解题后再思考的习惯。通过深入探究，就可以发现很多相关的知识串，体会到数学的文化价值，感受数学一种内在的、深邃的、理性的美。
〔关键词〕平行四边形 等腰梯形 等腰三角形
在数学习题教学中，要及时回顾、总结、探索，反思有没有更一般的规律，通过归纳总结形成经验，根据习题涉及知识点的特点，进行多角度的联想，从而产生新的猜想和结论。本文以一道平行四边形问题为探索起点，以初中阶段数学知识为依据，展开一系列的探究活动，进行多角度的联想，从而产生新的猜想和结论。通过对一道题的探索，不仅可以拓展自己的思维，也可以在引导学生探究的过程中体验数学发现和创造的历程，培养学生的问题意识、解题思维能力，在不断验证、完善的过程中得到意料之外的体验和惊喜。
一、问题的产生
在教学平行四边形的判定时，有这样一道习题，“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？若是，请给予证明，若不是，请给出反例。”学生由于受平行四边形的思维定势影响，大多数认为是正确的，但是却无法给出证明；也有少数学生认为是假命题，却不知道如何举出反例？为此我请教了几位新教师，却也不能准确地画出图形，所以笔者就这个问题，进行了深入研究。
二、对问题的探究
1、拼图法
思路：我们知道在处理四边形问题时，通常通过转化为三角形问题，也就是把未知问题转化为已知问题，考虑到四边形要同时满足一组对边相等且一组对角相等这两个条件，很容易使人联想到在等腰三角形中的“等腰对等角”和平行四边形的“两组对边相等且两组对角相等”。
①利用等腰三角形拼图
方法：如图1（图略），将等腰三角形ABC（左图）沿AD剪开（注意：在裁剪时，使BD≠CD），再拼好（右图），所得四边形符合条件，由图形可以看出它不是平行四边形。
说明：因为△ABC是等腰三角形，AB=AC
所以∠B=∠C
拼图后△ADC≌△ADC’
所以DC’=AC=AB，四边形ABDC’满足一组对边相等，一组对角相等的条件，但显然图形不是平行四边形。
②利用平行四边形拼图
方法：在 ABCD中，三角形BDE为等腰三角形（图2）（图略），沿对角线BD、BE剪开，再将△ABD和△BEC拼在一起（图3）（图略）。所得四边形满足条件，但显然不是平行四边形。
2、旋转法
思路：利用平行四边形和等腰梯形的性质，通过旋转保持一组对边和一组对角相等，构造四边形。
①利用平行四边形性质
方法：如图4（图略），四边形ABCD为平行四边形，连接AC，作AE垂直BC于E；在EB上截取EC'=EC，连接AC'，则△AEC'≌△AEC，AC'=AC。把△ACD绕点A顺时针旋转∠CAC'的度数，则AC与AC'重合。显然四边形ABC'D'满足：AB=CD=C'D'；∠B=∠D=∠D'，而四边形ABC'D'并不是平行四边形。
②利用等腰梯形构造
方法：a、作等腰梯形AEBC，则AB=CE，∠AEC=∠ABC
b、以C为圆心以CE为半径画弧，交EA的延长线于D
c、连结CD ，则CE=CD ，∠D=∠AEC
所以CD=AB ∠D=∠ABC ，从而说明“只有一组对边，一对角相等的四边形”不一定是平行四边形（图5）（图略）。
3、作图法
思路：利用圆周角和等弦知识，画出满足一组对边相等一组对角相等的四边形。
方法：a、作等圆⊙O和⊙A，在两圆中作 ABCD；
b、以A点为圆心，AD长为半径画弧，交⊙O于E点，则AE=AD；
c、连接AE、CE，则四边形ABCE即使所求（图6）（图略）。
三、分析与思考
上述的问题只是教学中的基本问题，有些老师可能会给学生一个简单的答案和例证，学生知道了也就算了。我通过查找资料，加上自己画图拼接发现了这么多种方法，然后引导学生逐步去探究，在拼图、画图的过程中，学生甚至发现了更多的方法，从而获得意外的体验和惊喜！
其实，在数学学习中，许多教师不重视对基本问题的研究，不重视原有问题内在潜力的挖掘、改造，对于许多问题只满足于它们的解答，缺乏深入研究，不追究问题的来源，看不清问题的本质，取而代之的是大量的题海战术来训练学生的解题能力。长此以往，学生只会关心题目解决了没有，不去关心问题的答案是否正确，更不关心自己到底悟到了什么，只习惯于解决别人的问题而不会自己去探索问题。
为了改变这种状况，笔者认为对一些即使是基础的问题，只要有发掘性，教师应引导学生做进一步思考与探索，让学生掌握“解题后再思考”的方法，培养学生养成“解题后再思考”的习惯，并使学生真正懂得“学会学习”。
新课程要求教师要会“用教材教”而不是仅仅“教教材”。教教材传递给学生的是知识，而用教材教培养的是学生的智慧。知识本质上只是一种结果，可能是一种经验的结果，也可能是一种思考的结果。而智慧并不表现在这两种结果之上，而是表现在经验和思考的过程之中，如对问题的处理、对困难的化解以及对实质的思考。由此可见，智慧是融知识、经验和思维为一体的，是人们实现创新的心理机制。新课标之所以倡导四维教学目标，正是考虑到了智慧形成的基本规律，即知识是可以传递的，而智慧是无法传递的，智慧的形成并不完全依赖于知识的多少，而是依赖于知识的运用、依赖于个人的经验。一个人的智慧的发展，需要到实际操作中去感悟、去积累、去反思。因此，要培养学生“智慧”，务必重视学生的“做中学”，正如富兰克林所说，听到的我会忘记，看到的我会记住，参与的我能理解并会运用。
总之，通过一道题的探究和教学，引发我们年轻教师对发掘教材的重视，注重发现问题后从多途径引导学生探索，逐步培养学生解决问题的科学思维习惯，勇于质疑和解题后再思考的习惯。通过深入探究，就可以发现很多相关的知识串，体会到数学的文化价值，感受数学一种内在的、深邃的、理性的美。