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【摘 要】函数思想贯穿高中数学的始终，特别是复合函数单调性与最值问题是学习的难点也是重点。本文以实例试对此问题进行探讨。
【关键词】设中间变量 分析一致
对于求解复合函数的单调区间、单调性及最值问题，学生往往觉得无从考虑，难于分析。本人通过对大量复合函数题的比较、分析，总结出了一套行之有效的方法：对此类问题可以设置中间变量，再根据基本函数图象的单调性，利用数形结合能准确快捷地解决有关复合函数题。基本步骤如下：
1.设置中间变量，原函数由多少个基本初等函数（即我们平时所学的如一次函数、二次函数、反比例函数、幂、指、对数函数、三角函数、对勾函数等）组成，就设多少个中间变量，并同时注意各中间变量的取值范围。注意中间变量的取值范围主要是根據使函数有意义来确定;有的是根据函数给定的区间来确定，这要依具体题目来确定（如根号里必须要大于等于零才意义，对数的真数一定要大于零才有意义）。
2.根据函数的单调性尽可能画出各基本函数的大致函数图象。在画图时也可先不管区间画出整个图形再用不同颜色的笔标出符合我们要求的图形，再由图形分析定义域、值域、单调区间以及给定区间的求最值等有关问题。
3.依据图象分析各基本函数在各区间的单调性，在分析时有的采用正向思维简单，有的采用逆向思维简单，这要依具体题目而定，但有一条要注意：在分析过程中一定要注意中间变量分析一致，比如中间变量t，在上一个函数中是函数值，自变量是x，若该函数为增函数，则应为x↑、t↑,而在下一个基本函数中函数值是y，t 是自变量，若该函数为减函数，则应为t↑，y↓，也就是说中间变量t在各个函数中的增减性要分析一致。这样可以又快捷又准确得出结论。
4.最后判断原函数在某个区间上的增减性只需看自变量（x）与函数值（y）即可。若x↑、y↑或x↓、y↓则表明函数在该区间为增函数；若x↑、y↓或x↓、y↑则表明函数在该区间为减函数。
一、正向思维，从含有x的函数分析复合函数题
例1：求y=2的单调区间，判断其单调性，并求其最值。
分析：（1）设中间变量：令u=-x2+2x+3(u≥0). w=（u≥0），则y=2 W
（2）列表画图分析：
①写出各基本函数。
②画出各基本函数简图，由含x的函数分析确定函数的区间。
③由简图分析各基本函数在各区间的单调性（注意同一个中间变量在不同基本函数中增减性保持一致）。
④依据x、y的增减性确定原函数在各区间的单调性。
（3）逆向分析：从含有y的函数分析起最后得出x的范围。
由图 分析可知：该函数
在区间（-∞，-1］、［0，1］上为增函数。在区间［-1，0］、［1，+∞］上为减函数。
有的题中若具体指明了求增区间或求减区间及求最值，则利用逆向思维要方便。
例3：已知函数f（x）= log4 （3+2x-x2），求f （x）单调增区间及其在该区间的最大值。
分析：（1）设中间变量：令u =3+2x-x2 = -（x-1）2+4，则y =log4u（u＞0）。
（２）列表画图：
由图 分析可知：单调增区间为（-1，１］。
所以在x∈（-1，1］，有f（x）max=f（1）=log44=1。
三、从最易看出单调性的基本函数分析
例4：已知y = log a(2-ax)，在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是
分析：（1）设中间变量：令t = 2-ax ，则y = loga t。
∵ a 是该对数函数y = log at的底数。
∴ a ＞0 ， 则－a＜0
∴ t = 2-ax 一定是减函数，但y = logat是增函数还是减函数不确定。
因此，这里从t = 2－ax分析起，可以很快得出结论，分析过程中注意中间变量的一致性。
在中间变量分析一致的过程中，对函数y = logat ，
∵ t↓y↓，该函数为增函数。
∴ a＞1
又∵ x∈［0，1］时原函数是减函数，且t为真数。
∴ t＞0，对函数t =2-ax须满足：
f（1）＞0 ?圯2-a＞0?圯a＜2 a＞1?圯1＜a＜2即:a∈（１，２）
这种利用复合函数中间变量分析一致的特点，可以快速解决复合函数中参数的范围。
本文关于复合函数有关问题的解法，主要特点是设置中间变量，并在分析的过程中要注意中间变量的分析始终要保持一致。掌握了这些方法，那么学生就能快捷准确地解答此类有关复合函数的问题。
（四川攀枝花市第七高级中学；617005）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】设中间变量 分析一致
对于求解复合函数的单调区间、单调性及最值问题，学生往往觉得无从考虑，难于分析。本人通过对大量复合函数题的比较、分析，总结出了一套行之有效的方法：对此类问题可以设置中间变量，再根据基本函数图象的单调性，利用数形结合能准确快捷地解决有关复合函数题。基本步骤如下：
1.设置中间变量，原函数由多少个基本初等函数（即我们平时所学的如一次函数、二次函数、反比例函数、幂、指、对数函数、三角函数、对勾函数等）组成，就设多少个中间变量，并同时注意各中间变量的取值范围。注意中间变量的取值范围主要是根據使函数有意义来确定;有的是根据函数给定的区间来确定，这要依具体题目来确定（如根号里必须要大于等于零才意义，对数的真数一定要大于零才有意义）。
2.根据函数的单调性尽可能画出各基本函数的大致函数图象。在画图时也可先不管区间画出整个图形再用不同颜色的笔标出符合我们要求的图形，再由图形分析定义域、值域、单调区间以及给定区间的求最值等有关问题。
3.依据图象分析各基本函数在各区间的单调性，在分析时有的采用正向思维简单，有的采用逆向思维简单，这要依具体题目而定，但有一条要注意：在分析过程中一定要注意中间变量分析一致，比如中间变量t，在上一个函数中是函数值，自变量是x，若该函数为增函数，则应为x↑、t↑,而在下一个基本函数中函数值是y，t 是自变量，若该函数为减函数，则应为t↑，y↓，也就是说中间变量t在各个函数中的增减性要分析一致。这样可以又快捷又准确得出结论。
4.最后判断原函数在某个区间上的增减性只需看自变量（x）与函数值（y）即可。若x↑、y↑或x↓、y↓则表明函数在该区间为增函数；若x↑、y↓或x↓、y↑则表明函数在该区间为减函数。
一、正向思维，从含有x的函数分析复合函数题
例1：求y=2的单调区间，判断其单调性，并求其最值。
分析：（1）设中间变量：令u=-x2+2x+3(u≥0). w=（u≥0），则y=2 W
（2）列表画图分析：
①写出各基本函数。
②画出各基本函数简图，由含x的函数分析确定函数的区间。
③由简图分析各基本函数在各区间的单调性（注意同一个中间变量在不同基本函数中增减性保持一致）。
④依据x、y的增减性确定原函数在各区间的单调性。
（3）逆向分析：从含有y的函数分析起最后得出x的范围。
由图 分析可知：该函数
在区间（-∞，-1］、［0，1］上为增函数。在区间［-1，0］、［1，+∞］上为减函数。
有的题中若具体指明了求增区间或求减区间及求最值，则利用逆向思维要方便。
例3：已知函数f（x）= log4 （3+2x-x2），求f （x）单调增区间及其在该区间的最大值。
分析：（1）设中间变量：令u =3+2x-x2 = -（x-1）2+4，则y =log4u（u＞0）。
（２）列表画图：
由图 分析可知：单调增区间为（-1，１］。
所以在x∈（-1，1］，有f（x）max=f（1）=log44=1。
三、从最易看出单调性的基本函数分析
例4：已知y = log a(2-ax)，在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是
分析：（1）设中间变量：令t = 2-ax ，则y = loga t。
∵ a 是该对数函数y = log at的底数。
∴ a ＞0 ， 则－a＜0
∴ t = 2-ax 一定是减函数，但y = logat是增函数还是减函数不确定。
因此，这里从t = 2－ax分析起，可以很快得出结论，分析过程中注意中间变量的一致性。
在中间变量分析一致的过程中，对函数y = logat ，
∵ t↓y↓，该函数为增函数。
∴ a＞1
又∵ x∈［0，1］时原函数是减函数，且t为真数。
∴ t＞0，对函数t =2-ax须满足：
f（1）＞0 ?圯2-a＞0?圯a＜2 a＞1?圯1＜a＜2即:a∈（１，２）
这种利用复合函数中间变量分析一致的特点，可以快速解决复合函数中参数的范围。
本文关于复合函数有关问题的解法，主要特点是设置中间变量，并在分析的过程中要注意中间变量的分析始终要保持一致。掌握了这些方法，那么学生就能快捷准确地解答此类有关复合函数的问题。
（四川攀枝花市第七高级中学；617005）
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