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一、对应不清致错
例1 如图1所示,已知△ABE≌△ACD,∠AEB=∠ADC,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
错解:对应边有AB与AD,AE与AC,BD与CE,对应角有∠BAD=∠CAE.
错因分析:观察图形的能力差,未能准确地将两个全等三角形分离出来.
正解:因为∠B=∠C,∠AEB=∠ADC,所以另一组对应角为∠BAE与∠CAD.因为∠B和∠C的对边分别是AE与AD,∠AEB与∠ADC的对边分别是AB与AC,所以对应边分别是AB与AC,AE与AD,BE与CD.
点拨:在复杂的图形中寻找全等三角形的对应元素时,一定要将全等三角形分离出来,能重合的元素才是对应元素.
二、套用等式性质致错
例2 如图2,已知AC、BD交于E,∠A=∠B,∠1=∠2.求证:AE=BE.
错解:在△ADC和△BCD中,因为∠A=∠B, DC=DC,∠2=∠1,所以△ADC≌△BCD.所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC,即△ADE≌△BCE.所以AE=BE.
错因分析: 在证明三角形全等时,一定要按判定方法进行证明.错解中由△ADC≌△BCD推导出△ADC-△DEC=△BCD-△DEC是没有依据的,不符合全等三角形的判定方法,错误地将等式性质盲目地搬到了三角形全等中来使用.
正解:因为∠A=∠B, DC=DC,∠2=∠1,所以△ADC≌△BCD.所以AD=BC.在△ADE和△BCE 中,AD=BC,∠A=∠B,∠AED=∠BEC,所以△ADE≌△BCE,即AE=BE.
点拨:三角形全等时面积相等,但面积相等的三角形不一定全等,不能将三角形面积相等的性质想当然地用到三角形全等的判定中.
三、审图不清致错
例3如图3,已知∠1=∠2,∠3、∠4分别是∠ACB与∠ACD的外角,且∠3=∠4.求证:AB=AD .
错解:在△ABC与△ADC中,因为∠1=∠2,∠3=∠4,AC=AC,根据角角边定理可得△ABC≌△ADC,所以AB=AD.
错因分析:错解中没有认真结合图形来分析,错把∠3、∠4当成三角形的内角使用导致出错.
正解:因为∠3是△ABC的外角,∠4是△ADC的外角,所以∠ACB=180°-∠3,∠ACD=180°-∠4,又因为∠3=∠4,所以∠ACB=∠ACD.
在△ABC与△ADC中,AC=AC,∠1=∠2,∠ACB=∠ACD,所以△ABC≌△ADC,所以AB=AD.
点拨:看图时应认真仔细,不要盲目下结论.
四、条件不足致错
例4 如图4所示,已知在Rt△ABC和Rt△DAB中,AC=DB,判断Rt△ABC与Rt△DAB是否全等?
错解:在Rt△ABC与Rt△DAB中,AC=DB,AB=BA,所以Rt△ABC≌Rt△DAB.
错因分析:错解在判断Rt△ABC≌Rt△DAB时,虽然也列举了两个条件,但两个三角形全等的对应元素只有一个,全等条件不足.
正解:Rt△ABC与Rt△DAB不全等.
点拨:在判断三角形全等时一定要注意对应角、对应边的含义.
五、画图不当致错
例5 如图5,已知线段c、b,且c>b,用尺规作图法作△ABC,使∠C=90°, AB=c,AC=b.
错解:1.用三角尺作∠ECF=90°;
2.在射线CE上截取CA=b;
3.量取AB=c.则△ABC就是所求作的三角形(如图6) .
错因分析:本题作法存在两处错误,一是用三角尺作直角,二是量取AB=c,均不符合尺规作图的要求.
正解:1.作直线CE;
2.过点C作直线CE的垂线CF;
3.在射线CF上截取CA=b:
4.以A为圆心,c为半径画弧,交直线CE于B点.
5.连结AB.则△ABC就是所求作的三角形(如图7).
点拨:尺规作图要求较严,不能用其他的辅助工具.
六、考虑不周致错
例6 如图8,3条公路两两相交于点A、B、C,现要修一个货物中转站,要求到3条公路距离相等,则可供选择的地址有().
A.一处B.二处C.三处D.四处
错解: A.
错因分析:受“到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点”的影响,误认为到三边所在的直线相等的点也只有一个,其实在三角形的外部还有3个,共4个.
正解:D.
点拨:不要受思维定式的影响,同样的题目,问法不同答案也不同,一定要看清题目的要求.
例1 如图1所示,已知△ABE≌△ACD,∠AEB=∠ADC,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
错解:对应边有AB与AD,AE与AC,BD与CE,对应角有∠BAD=∠CAE.
错因分析:观察图形的能力差,未能准确地将两个全等三角形分离出来.
正解:因为∠B=∠C,∠AEB=∠ADC,所以另一组对应角为∠BAE与∠CAD.因为∠B和∠C的对边分别是AE与AD,∠AEB与∠ADC的对边分别是AB与AC,所以对应边分别是AB与AC,AE与AD,BE与CD.
点拨:在复杂的图形中寻找全等三角形的对应元素时,一定要将全等三角形分离出来,能重合的元素才是对应元素.
二、套用等式性质致错
例2 如图2,已知AC、BD交于E,∠A=∠B,∠1=∠2.求证:AE=BE.
错解:在△ADC和△BCD中,因为∠A=∠B, DC=DC,∠2=∠1,所以△ADC≌△BCD.所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC,即△ADE≌△BCE.所以AE=BE.
错因分析: 在证明三角形全等时,一定要按判定方法进行证明.错解中由△ADC≌△BCD推导出△ADC-△DEC=△BCD-△DEC是没有依据的,不符合全等三角形的判定方法,错误地将等式性质盲目地搬到了三角形全等中来使用.
正解:因为∠A=∠B, DC=DC,∠2=∠1,所以△ADC≌△BCD.所以AD=BC.在△ADE和△BCE 中,AD=BC,∠A=∠B,∠AED=∠BEC,所以△ADE≌△BCE,即AE=BE.
点拨:三角形全等时面积相等,但面积相等的三角形不一定全等,不能将三角形面积相等的性质想当然地用到三角形全等的判定中.
三、审图不清致错
例3如图3,已知∠1=∠2,∠3、∠4分别是∠ACB与∠ACD的外角,且∠3=∠4.求证:AB=AD .
错解:在△ABC与△ADC中,因为∠1=∠2,∠3=∠4,AC=AC,根据角角边定理可得△ABC≌△ADC,所以AB=AD.
错因分析:错解中没有认真结合图形来分析,错把∠3、∠4当成三角形的内角使用导致出错.
正解:因为∠3是△ABC的外角,∠4是△ADC的外角,所以∠ACB=180°-∠3,∠ACD=180°-∠4,又因为∠3=∠4,所以∠ACB=∠ACD.
在△ABC与△ADC中,AC=AC,∠1=∠2,∠ACB=∠ACD,所以△ABC≌△ADC,所以AB=AD.
点拨:看图时应认真仔细,不要盲目下结论.
四、条件不足致错
例4 如图4所示,已知在Rt△ABC和Rt△DAB中,AC=DB,判断Rt△ABC与Rt△DAB是否全等?
错解:在Rt△ABC与Rt△DAB中,AC=DB,AB=BA,所以Rt△ABC≌Rt△DAB.
错因分析:错解在判断Rt△ABC≌Rt△DAB时,虽然也列举了两个条件,但两个三角形全等的对应元素只有一个,全等条件不足.
正解:Rt△ABC与Rt△DAB不全等.
点拨:在判断三角形全等时一定要注意对应角、对应边的含义.
五、画图不当致错
例5 如图5,已知线段c、b,且c>b,用尺规作图法作△ABC,使∠C=90°, AB=c,AC=b.
错解:1.用三角尺作∠ECF=90°;
2.在射线CE上截取CA=b;
3.量取AB=c.则△ABC就是所求作的三角形(如图6) .
错因分析:本题作法存在两处错误,一是用三角尺作直角,二是量取AB=c,均不符合尺规作图的要求.
正解:1.作直线CE;
2.过点C作直线CE的垂线CF;
3.在射线CF上截取CA=b:
4.以A为圆心,c为半径画弧,交直线CE于B点.
5.连结AB.则△ABC就是所求作的三角形(如图7).
点拨:尺规作图要求较严,不能用其他的辅助工具.
六、考虑不周致错
例6 如图8,3条公路两两相交于点A、B、C,现要修一个货物中转站,要求到3条公路距离相等,则可供选择的地址有().
A.一处B.二处C.三处D.四处
错解: A.
错因分析:受“到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点”的影响,误认为到三边所在的直线相等的点也只有一个,其实在三角形的外部还有3个,共4个.
正解:D.
点拨:不要受思维定式的影响,同样的题目,问法不同答案也不同,一定要看清题目的要求.