【摘要】本文由一种常见类型的高考题出发，由考试中心给出的习惯分解法提出疑问：为什么要这样分解？由此提出利用微元法并给以解答，以及对这类“关联”速度问题给出建议。
　　【关键词】速度 微元法 分运动 合运动
　　
　　2011年普通高等学校招生全国统一考试上海卷第11题
　　如图(一),人沿平直的河岸以速度v行走,且通过不可伸长的绳拖船,船沿绳的方向行进,此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时, 船的速率为：
　　图(一)
　　A. v·sinα B. vsinα
　　C. v·cosα D. vcosα
　　考试中心给出的答案
　　将人的速度分解为沿绳方向的分运动（分速度为v1）和与绳垂直方向的分运动（分速度为v2）如图（二）所示。
　　船的速率等于沿绳方向的分速度v1=vcosα 选项C正确。
　　图(二)
　　学生看到解析问为什么人的运动方向分解为沿绳方向和垂直于绳的方向两个运动。我一时也不好回答。我从速度的定义出发利用微元法给以解答。设t时刻绳与岸的夹角为α，t+Δt时刻绳与岸的夹角为β，绳的长度为l，人沿岸这段时间内行走Δx，船沿绳向前行驶Δr，如图（三），在△O′OA中，由正弦定
　　理知，
　　图(三)
　　lsin(π－α)=l－Δrsinβ=Δxsin(α－β)
　　Δx=l·sin(α－β)sinα
　　Δr=l·(sinα－sinβ)sinα
　　令α－β=Δα，当Δt很小时，Δα也很小，有sin(α－β)=sinΔα=Δα
　　 sinα－sinβ=2cosα+β2sinα－β2
　　=2cos2α－Δα2sinΔα2
　　=2cosα·Δα2=Δαcosα
　　v=limΔt→0ΔxΔt=limΔt→0lΔαΔtsinα
　　v′=limΔt→0ΔrΔt=limΔt→0lcosαΔαΔtsinα
　　船的速度是 v′
　　vv′=1cosα
　　因此有v′=v·cosα
　　由于高中阶段数学知识有限，建议在处理“关联”速度问题时，抓住两点：一是物体实际运动是合运动；二是实际运动分解为沿绳（杆）的方向和垂直于绳（杆）方向两个分运动。先让学生掌握这类问题的处理方法，等到学生学习完导数再详细讲解,