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懂而不会是教学中的一个老大难问题。它虽然与概念的清晰程度、公式定理法则的熟练程度等密切相关，但调查却发现学生在解题时并不是不知道应用概念或定理，而是不知道如何应用，不知道先做什么，后做什么。即思维无根、无序。因此它在很大程度上是例题教学中的问题。另一方面，很多教师非常重视将概念讲清讲透，对定理、公式的发生、发展、运用等都倾注了大量精力，对例题教学却相对重视不够。对为什么选择这道题作为例题，如何讲，预期学生从中能学到、领悟到什么，将会在哪些方面遇到困难，等等，很多教师考虑得较少。很多时候，还是感觉哪道题很好就将它作为例题讲给学生，随意性较大。本文试归纳出例题教学的三个目标与教学过程中的四种境界，供同行参考。
一、例题教学中的三个目标
教师在课堂上所讲授的例题随学习要求的不同可分为三个不同的目标：为了掌握新学习的概念及公式定理等而举的例题，在教学时要突出“示范性”目标；为了灵活应用概念及公式定理等而举的例题，在教学时要突出“模式化”、“启发性”目标；在进行了一定量的学习和训练后，为了整合知识与方法而举的例题，在教学时要突出“总结性”目标。
1．例题教学中的示范性
“一次成功是最大的效率。”当学生第一次接触新概念或运用新定理时，教师所举例题要在突出概念的理解或定理的运用上下功夫，让学生第一次接触就有清晰的印象。不能难或过分繁，综合性也不能强，以免冲淡主题。
如：在学习等比数列求和公式后，对推导公式所用的“错位相减法”，这是学生必须要掌握的方法。
首先和学生共同分析出等比数列相邻项an与an-1之间的关系，将Sn=a1+a2+……+an与qSn=qa1+qa2+……+qan错位排列好，引导同学们观察，注意到将两行式子错位后再相减，中间项将全部消去，由此得到等比数列的前n项和公式。对公式我只强调了成立的条件：公比q≠1，若公比q=1，则变成常数列Sn=na1，并举了一个公比为具体数字的例子。和同学们共同回顾公式的推导过程，发现它有趣的地方在于将和式乘上一个数后得到一个新式子，两式错位后相减就可消去中间项。举例：求和Sn= + + +……+ ，和学生共同分析它的构成：它的项是由一个等比数列与一个等差数列对应项相乘而得到的一个新数列，尝试着将和式乘上什么数呢？将等比数列的公比 乘上后错位相减一看，中间项没有消去，但同学们这时都发现了相减后的项是一个等比数列的n项和及- ，同学们自然可以直接利用刚学过的公式运算了。
2．例题教学中的启发性
为了培养同学们的能力，必然要对一些例题从不同方面进行分析，给出多种解法。要注意这样做的目的是启发学生思考。“不愤不启，不悱不发”，因此要选择合适例题，并尽力创造愤悱情境。
例：设f（x）= ，a＞b＞0，求证f（a）－f（b）＜a－b。
遇到根式相减的题目，分子有理化是常见策略。
解法1：要证f（a）－f（b）＜a－b，只需证 - ?仔a?鄄b,
即证明： ?仔a-b
∵a＞b＞0
∴a－b＞0
∴只需证a＋b＜ +
∵a＜ ，b＜ 成立，
∴原不等式成立。
首先和同学们共同得到基本解法，这既是打基础，也让知识较差的学生有出发点和一定收获。再请同学们分析题目特征，寻找其他解法。
由 、 容易联想到直角三角形的斜边,可构造以1和a及1和b为两直角边长的两个直角三角形，但又应该将a－b包括进去，当然是直角梯形较合适。（如图）
解法2：构造直角梯形ABCD，其中AB=a，CD=b，AD=1，作CH⊥AB于H，连DH，BH=a－b，BD= ，AC= =DH，△BDH中，BD－DH ∴ - ?仔a-b
解法3：A（a， ）、B（b， ）是函数f（x）= （x＞0）图像上两点，则AB的斜率k= ,由于y= （x＞0，y＞0）的图像是双曲线x2－y2=1的一部分，双曲线渐近线斜率为1，由图像可知kAB＜1，不等式得证。
解法4：根据不等式“若a＞b＞0，ｍ＞０，则有 ?准 ”，有： ＜ ?仔 ?仔1,由ａ＞ｂ＞０，原不等式得证。
解法５：原不等式等价于： －ａ＞ －ｂ，由于函数ｆ（ｘ）＝ －ｘ＝ 在（０，＋∞）上为减函数，当ａ＞ｂ＞０时， －ａ＞ －ｂ，所以原不等式得证。
对同学们的思维进行一定的点拨，使其有目标、有序、有效，并进行一定的激励，同学们将这样一道容易题做出了许多不容易的解法。虽然有些解法是学生共同完成或在教师指导下完成，但同学们学到了如何联想，如何根据题意构造图形，如何联想有关公式对式子进行变形，等等，思维受到了启发，产生了积极的情感体验。
3.例题教学中的总结性
某些知识或方法学到一定阶段后，要注意及时进行总结，上升到一定的模式，这样，既有助于学生将新知识、新方法纳入系统，又可以让学生在新系统下学习，提高学习效率。所选例题应能体现总结性、概括性，讲授时以上升到模式为主要着力点，不在技巧或运算上纠缠。
如在学完圆锥曲线后，圆锥曲线的范围问题的解法应该和学生共同总结。圆锥曲线的范围问题，是指确定某个变量的范围（如离心率、斜率、截距、点的坐标、题目中所含参数等），使得问题中所给出的几何图形具有某种性质或数量关系。根据建立不等式方法的不同，大致有四类：（1）圆锥曲线的定义和性质中有三处给出了范围：一是第一定义中的a、b、c之间的数量关系，二是第二定义中的离心率范围，三是圆锥曲线上点的坐标有其各自的范围，这些都是解决圆锥曲线中范围问题时建立不等式的依据；（2）利用直线和圆锥曲线相交时判别式△≥0建立不等式；（3）利用圆锥曲线弦的中点在圆锥曲线内部建立不等式；（4）将条件中的某个参数范围转化为所求参数的范围。
在学习这一章内容时，同学们已经做了一定数量的圆锥曲线的范围问题，所以本节课的任务是总结这些题的共性，概括解题规律。可以先举一到两个例子（学生以前没有做过的类型），再把学生以前做过的题拿出来让学生说解题步骤，特别是建立不等式的依据。最后和学生共同总结这类题目的特点和解决模式：问题中涉及一些基本量，它们或是圆锥曲线中的a、b、c、e；或是直线的斜率与截距k、b；或是某个点的坐标；或是某个参数。解题时一般先寻求问题中涉及到的基本量及其内在联系，进而化归为基本量的代数问题，列出混合组求解即可。明了这两个过程，一方面解题时可保持思路清晰，知道什么时候该干什么；另一方面也可在运算的过程中增强信心，知道只有几步就可达到目标了，将解题进行到底。这样多题一法或一理多题，学生学得轻松，掌握得牢靠。
二、例题教学的四个境界
在进行例题教学时，有四个不同的境界：就题论题，学生能听懂，此为第一境界；就题论题，适度总结，学生听懂并（照模式）初步会做，此为第二境界；注重启发，培养学生能力，此为第三境界；注重启发，培养学生能力，同时注意揭示题目中及解题过程中的数学美，让学生受到美的熏陶，同时得到意志的磨练，此为第四境界。知道如何选择例题及对例题如何处理，但讲到哪一层境界，应该是我们更值得关注的一个问题。同一道题，不同的人讲出来效果常常大不一样，原因就在于此。
1．例题教学中要讲出自己的体会
每一道例题在讲之前老师都是先做过的，当然有自己的体会，讲例题时一定要把自己的这种做题体会讲出来。例题的示范性不仅是操作步骤或方法的示范，更应该是教师看到这道题后是如何想的，怎样将条件与结论联系起来并进行转化的，即在思维方向与思维方式上给学生做示范。同样地，教师也要将自己在做题时是因为什么受到了启发，看到什么产生了联想，等等，讲给学生，这样学生才能从中学会“受到启发”；教师将做题时如何总结的方法教给学生，学生才能学会总结。例题教学要充分地暴露和展示老师的思维及解题机智，要讲出自己的体会。
2．例题教学中要讲出自己的情感
例题教学中不仅要充分地暴露教师的思维，还应充分展示教师在解题过程中的情感体验。快乐是可以分享的。伴随着例题讲解的深入，教师将自己对数学美的感悟，对独特解法的赞叹，对创造性解法的神往，会给学生巨大的愉悦，从而激励他们自己去创造，去体验成功的喜悦。一个人毕业后，不大可能记得教师上课时讲了一个什么样的题目，但他一定不会忘记教师上课时的情感，这是最激励人前进的动力。
例题教学中自己所遇到的挫折或“解题愚蠢”，这也是宝贵的教学资源，也应该充分地暴露给学生，它不会影响教师的权威，学生从中学到的是科学的、理性的精神，感受到的是教师不屈不挠、顽强拼搏的勇气。
讲出自己的体会，讲出自己的感受，这或许比讲什么更重要。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、例题教学中的三个目标
教师在课堂上所讲授的例题随学习要求的不同可分为三个不同的目标：为了掌握新学习的概念及公式定理等而举的例题，在教学时要突出“示范性”目标；为了灵活应用概念及公式定理等而举的例题，在教学时要突出“模式化”、“启发性”目标；在进行了一定量的学习和训练后，为了整合知识与方法而举的例题，在教学时要突出“总结性”目标。
1．例题教学中的示范性
“一次成功是最大的效率。”当学生第一次接触新概念或运用新定理时，教师所举例题要在突出概念的理解或定理的运用上下功夫，让学生第一次接触就有清晰的印象。不能难或过分繁，综合性也不能强，以免冲淡主题。
如：在学习等比数列求和公式后，对推导公式所用的“错位相减法”，这是学生必须要掌握的方法。
首先和学生共同分析出等比数列相邻项an与an-1之间的关系，将Sn=a1+a2+……+an与qSn=qa1+qa2+……+qan错位排列好，引导同学们观察，注意到将两行式子错位后再相减，中间项将全部消去，由此得到等比数列的前n项和公式。对公式我只强调了成立的条件：公比q≠1，若公比q=1，则变成常数列Sn=na1，并举了一个公比为具体数字的例子。和同学们共同回顾公式的推导过程，发现它有趣的地方在于将和式乘上一个数后得到一个新式子，两式错位后相减就可消去中间项。举例：求和Sn= + + +……+ ，和学生共同分析它的构成：它的项是由一个等比数列与一个等差数列对应项相乘而得到的一个新数列，尝试着将和式乘上什么数呢？将等比数列的公比 乘上后错位相减一看，中间项没有消去，但同学们这时都发现了相减后的项是一个等比数列的n项和及- ，同学们自然可以直接利用刚学过的公式运算了。
2．例题教学中的启发性
为了培养同学们的能力，必然要对一些例题从不同方面进行分析，给出多种解法。要注意这样做的目的是启发学生思考。“不愤不启，不悱不发”，因此要选择合适例题，并尽力创造愤悱情境。
例：设f（x）= ，a＞b＞0，求证f（a）－f（b）＜a－b。
遇到根式相减的题目，分子有理化是常见策略。
解法1：要证f（a）－f（b）＜a－b，只需证 - ?仔a?鄄b,
即证明： ?仔a-b
∵a＞b＞0
∴a－b＞0
∴只需证a＋b＜ +
∵a＜ ，b＜ 成立，
∴原不等式成立。
首先和同学们共同得到基本解法，这既是打基础，也让知识较差的学生有出发点和一定收获。再请同学们分析题目特征，寻找其他解法。
由 、 容易联想到直角三角形的斜边,可构造以1和a及1和b为两直角边长的两个直角三角形，但又应该将a－b包括进去，当然是直角梯形较合适。（如图）
解法2：构造直角梯形ABCD，其中AB=a，CD=b，AD=1，作CH⊥AB于H，连DH，BH=a－b，BD= ，AC= =DH，△BDH中，BD－DH
解法3：A（a， ）、B（b， ）是函数f（x）= （x＞0）图像上两点，则AB的斜率k= ,由于y= （x＞0，y＞0）的图像是双曲线x2－y2=1的一部分，双曲线渐近线斜率为1，由图像可知kAB＜1，不等式得证。
解法4：根据不等式“若a＞b＞0，ｍ＞０，则有 ?准 ”，有： ＜ ?仔 ?仔1,由ａ＞ｂ＞０，原不等式得证。
解法５：原不等式等价于： －ａ＞ －ｂ，由于函数ｆ（ｘ）＝ －ｘ＝ 在（０，＋∞）上为减函数，当ａ＞ｂ＞０时， －ａ＞ －ｂ，所以原不等式得证。
对同学们的思维进行一定的点拨，使其有目标、有序、有效，并进行一定的激励，同学们将这样一道容易题做出了许多不容易的解法。虽然有些解法是学生共同完成或在教师指导下完成，但同学们学到了如何联想，如何根据题意构造图形，如何联想有关公式对式子进行变形，等等，思维受到了启发，产生了积极的情感体验。
3.例题教学中的总结性
某些知识或方法学到一定阶段后，要注意及时进行总结，上升到一定的模式，这样，既有助于学生将新知识、新方法纳入系统，又可以让学生在新系统下学习，提高学习效率。所选例题应能体现总结性、概括性，讲授时以上升到模式为主要着力点，不在技巧或运算上纠缠。
如在学完圆锥曲线后，圆锥曲线的范围问题的解法应该和学生共同总结。圆锥曲线的范围问题，是指确定某个变量的范围（如离心率、斜率、截距、点的坐标、题目中所含参数等），使得问题中所给出的几何图形具有某种性质或数量关系。根据建立不等式方法的不同，大致有四类：（1）圆锥曲线的定义和性质中有三处给出了范围：一是第一定义中的a、b、c之间的数量关系，二是第二定义中的离心率范围，三是圆锥曲线上点的坐标有其各自的范围，这些都是解决圆锥曲线中范围问题时建立不等式的依据；（2）利用直线和圆锥曲线相交时判别式△≥0建立不等式；（3）利用圆锥曲线弦的中点在圆锥曲线内部建立不等式；（4）将条件中的某个参数范围转化为所求参数的范围。
在学习这一章内容时，同学们已经做了一定数量的圆锥曲线的范围问题，所以本节课的任务是总结这些题的共性，概括解题规律。可以先举一到两个例子（学生以前没有做过的类型），再把学生以前做过的题拿出来让学生说解题步骤，特别是建立不等式的依据。最后和学生共同总结这类题目的特点和解决模式：问题中涉及一些基本量，它们或是圆锥曲线中的a、b、c、e；或是直线的斜率与截距k、b；或是某个点的坐标；或是某个参数。解题时一般先寻求问题中涉及到的基本量及其内在联系，进而化归为基本量的代数问题，列出混合组求解即可。明了这两个过程，一方面解题时可保持思路清晰，知道什么时候该干什么；另一方面也可在运算的过程中增强信心，知道只有几步就可达到目标了，将解题进行到底。这样多题一法或一理多题，学生学得轻松，掌握得牢靠。
二、例题教学的四个境界
在进行例题教学时，有四个不同的境界：就题论题，学生能听懂，此为第一境界；就题论题，适度总结，学生听懂并（照模式）初步会做，此为第二境界；注重启发，培养学生能力，此为第三境界；注重启发，培养学生能力，同时注意揭示题目中及解题过程中的数学美，让学生受到美的熏陶，同时得到意志的磨练，此为第四境界。知道如何选择例题及对例题如何处理，但讲到哪一层境界，应该是我们更值得关注的一个问题。同一道题，不同的人讲出来效果常常大不一样，原因就在于此。
1．例题教学中要讲出自己的体会
每一道例题在讲之前老师都是先做过的，当然有自己的体会，讲例题时一定要把自己的这种做题体会讲出来。例题的示范性不仅是操作步骤或方法的示范，更应该是教师看到这道题后是如何想的，怎样将条件与结论联系起来并进行转化的，即在思维方向与思维方式上给学生做示范。同样地，教师也要将自己在做题时是因为什么受到了启发，看到什么产生了联想，等等，讲给学生，这样学生才能从中学会“受到启发”；教师将做题时如何总结的方法教给学生，学生才能学会总结。例题教学要充分地暴露和展示老师的思维及解题机智，要讲出自己的体会。
2．例题教学中要讲出自己的情感
例题教学中不仅要充分地暴露教师的思维，还应充分展示教师在解题过程中的情感体验。快乐是可以分享的。伴随着例题讲解的深入，教师将自己对数学美的感悟，对独特解法的赞叹，对创造性解法的神往，会给学生巨大的愉悦，从而激励他们自己去创造，去体验成功的喜悦。一个人毕业后，不大可能记得教师上课时讲了一个什么样的题目，但他一定不会忘记教师上课时的情感，这是最激励人前进的动力。
例题教学中自己所遇到的挫折或“解题愚蠢”，这也是宝贵的教学资源，也应该充分地暴露给学生，它不会影响教师的权威，学生从中学到的是科学的、理性的精神，感受到的是教师不屈不挠、顽强拼搏的勇气。
讲出自己的体会，讲出自己的感受，这或许比讲什么更重要。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”