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摘 要 通过运用数学分析方法，讨论了弱中子源引起一个稍超临界系统发生持续裂变反应的概率问题，从而介绍了近临界系统出现超临界的概率粗估方法。
关键词 近临界系统 临界安全 概率估计
0 引言
反应堆出现超临界的概率问题可以看作是在近临界条件下中子引发持续裂变链式反应的概率问题[1]。蒙特卡洛方法可以很好的模拟中子与物质相互作用时的每一种可能行为，但计算需要知道系统的准确模型以及众多的材料参数，且计算耗时长[2，3]。Hansen[4]最早提出用概率的方法来描述一个中子引发一条持续裂变链的情况。此后人们还进一步分析了近临界核系统中弱源中子的涨落行为[5，6]。在稍超临界情况下，该方法得到的近似解与随机中子输运方程数值解具有较好的一致性[7]。本文根据Hansen理论具体推导出了一个中子引发一条持续裂变链的概率表达式；对一个次临界模型掉入水中进而发生超临界的典型情况进行算例分析。本文为研究临界安全提供了方法和手段。
1 超临界系统简化模型
1.1 模型的数学描述
考虑一个简单的反应系统，系统中的中子是各向同性的。系统中，一个源中子的出现能引起一次裂变的概率为p，裂变放射出v个中子的概率为Ⅱv（过程一）。而一个裂变源中子，能在系统中引发一个持续裂变链的概率为Wf（过程二）。
下面考察系统中被引发持续裂变事件概率问题。用前面的参量定义可知，一个中子引发裂变，且能产生一个持续裂变链的概率为pWf；把一个源中子引发一条持续裂变链的概率记为W（以下简称概率）；那么，在不计时间变化的粗略近似下便有
W=pWf （过程一+过程二） （1）
再考察系统的不发生持续裂变的概率问题。一个裂变源中子，不能引发持续裂变链的概率为（1-Wf）；那么，（1-Wf）等于这个中子引起裂变后，发射的第二代所有中子都不引发持续裂变链的概率。即，一代源中子不能引发一个持续裂变链的概率，应等于所有二代中子都不引发持续裂变链的概率。
根据说明，针对前面两代的关系我们可以直观的写出：
■ （2）
将■按幂级数公式展开，并只取到二级项有（相当于假定W<<1是默认的）：
■ （3）
根据说明，我们还可以看到裂变发射出个中子的概率之和可以表示为
■ （4）
一个中子发生一次裂变，发射的平均中子数用（单位：个）表示，即定义
■ （5）
以及
■ （6）
（2）式可以改写成
■ （7）
我们把每次裂变代的平均增殖数称作再生系数k，有k=pv；亦令
■ （8）
考虑到（1）式，于是（3）式便可变形为
■ （9）
这是前面粗略近似导出的结果。下面讨论系统有时间行为时的结果。
当系统有时间行为时，W（t）看成在t时刻放出一个源中子将引起装置系统发生一个持续裂变链的几率。由于此时裂变概率与时间有关，前面粗略近似的（9）应修正为比较细致考虑的形式，即p应换成■对时间的某种平均，取系统内每单位时间内中子被吸收的概率密度函数为■，这里t'为时间变量，t为进入系统的时间（看成常数），即可写成
■ （10）
式中τ是系统里中子平均寿命，作为已知参量。我们将W对t求导，得到
■ （11）
再把（9）式代入上式中即得
■ （12）
这是一个Ricatti方程。
1.2 方程求解
对于具有边值或初值条件的一阶线性微分方程
■ （13）
它的解为
■ （14）
Ricatti方程的标准形式
■ （15）
经■变换，可以写成一阶线性微分方程的形式，形如
■ （16）
应用（14）式，则Ricatti方程的解为
■（17）
在（12）式中，令Δk=k-1；对于稍超临界的系统，k≌1。（12）式可以写成
■ （18）
对应Ricatti方程的标准形式，有：■，因此（18）式的解为：
■ （19）
积分可得
■ （20）
若x0=∞，即考虑到t→∞，如果有Δk>0，则（19）式的分母第二项变成
■ （21）
因此（19）式可以简化为
■ （22）
易见，Δk若作常数可近似直接求出公式中的积分[4]，可以得到：
■ （23）
其中，Δk=k-1，k为中子增殖因子；v为一次裂变发射的平均中子数。
1.3 解的比对
当Δk>0时，取边界条件：x0=0时，W（x0）=1；参考普通核数据手册[8]，有v=2.5，Γ2≌0.8，（20）式和（23）式分别可以化成
■ （24） 式中，■。
■ （25）
对于热中子反应堆，■；中能中子反应堆和快中子反应堆的中子平均一代的时间要更短，分别约为■、■ [8]。以热中子反应堆为例，当进入系统的时间t≥0.1s时，就有M≥100，此时，（24）式与（25）式的结果有比较好的一致性（见图1），两曲线基本重合了。可以看出t越大，M就越大，近似解（25）式与精确解（24）式的一致性越好。
在评估模型的安全性时，我们更关心模型状态的改变与否，即模型是否在某种特定条件下发生了超临界。因此，取t≥0.1s是完全满足使用需求的，选用（23）式就可以很好的估计模型的超临界概率。
2 算例
假设一个次临界程度比较高的组件浸入到某种具有反射层作用的材料中，如该组件掉入水中，该组件由次临界状态转变为超临界，此时如果有中子进入，那么很可能形成持续裂变链式反应。
模型1：裸铀球（无反射层的），■，球半径 R=8cm。
模型2：带反射层（水）的铀球，铀球半径、密度同模型1；反射层厚度R=12.0 cm（见图2）。
模型1本身为次临界状态。参考普通核数据手册[8]取Γ2=0.8。使用LANL的ENDF66c数据库中铀-235、62c数据库中氢-1和氧-16的数据进行计算，结果见图3和表1。
从图3中可以看出，概率W与模型的半径呈线性关系，概率W的值随半径的增大而增大。事实上模型的半径是与k值有关的。不同模型的略有差别，但对于一个既定模型，v可以近似为一常数。因此W就可以看作一常系数与Δk相乘，如图4所示。
可见，概率W与k呈线性关系，既是与Δk呈线性关系。因此通过k或Δk，就可以很快地估计出概率W。当然，我们考虑的是t≥0.1s以后的情况。
3 结论
本文应用概率理论和数学方法，推导出一个中子引发一条持续裂变链的概率表达式。与传统的蒙特卡罗模拟方法相比，计算涉及参数少，能够迅速地对一个稍超临界模型进行粗估，得到结论：（1）方程的近似解在t≥0.1s条件下与精确解有很好的一致性；（2）一个中子引发一条持续裂变链的概率W与系统的超临界程度Δk成正比，比例系数对于一个既定的系统来说是一定的。本文计算结果仅供参考。
参 考 文 献
[1] 格拉斯登，爱德伦.原子核反应堆理论纲要[M].北京：科学出版社，1958：31-36.
[2] Geoge I Bell. On the Stochastic Theory of Neutron Transport[J]. Nuclear Science and Engineering，1965，21：390-401.
[3] 谢仲生，邓力.中子输运理论数值计算方法[M].西北工业大学出版社，2005：12-25.
[4] G.E.HANSEN.Assembly of Fissionable Material in the Presence of a Weak Neutron Source [J]. Neuclear Science and Engineering，1960，8：709-719.
[5] 刘建军，张本爱.近临界核系统中弱源中子的涨落行为[J].原子能科学技术，2006，40（3）：316-321.
[6] 刘建军，王喆，张本爱.关于引发持续裂变链概率的理论分析[J].核科学与工程，2005，25（4）：307-312.
[7] 刘建军.随机中子输运方程数值解与近似解的对比分析[J].王喆，张本爱.核科学与工程， 2006，26（2）：118-122.
[8] J.Terrel. Distribution of fission neutron numbers[J]. Physics Review，1957，783：108.
关键词 近临界系统 临界安全 概率估计
0 引言
反应堆出现超临界的概率问题可以看作是在近临界条件下中子引发持续裂变链式反应的概率问题[1]。蒙特卡洛方法可以很好的模拟中子与物质相互作用时的每一种可能行为，但计算需要知道系统的准确模型以及众多的材料参数，且计算耗时长[2，3]。Hansen[4]最早提出用概率的方法来描述一个中子引发一条持续裂变链的情况。此后人们还进一步分析了近临界核系统中弱源中子的涨落行为[5，6]。在稍超临界情况下，该方法得到的近似解与随机中子输运方程数值解具有较好的一致性[7]。本文根据Hansen理论具体推导出了一个中子引发一条持续裂变链的概率表达式；对一个次临界模型掉入水中进而发生超临界的典型情况进行算例分析。本文为研究临界安全提供了方法和手段。
1 超临界系统简化模型
1.1 模型的数学描述
考虑一个简单的反应系统，系统中的中子是各向同性的。系统中，一个源中子的出现能引起一次裂变的概率为p，裂变放射出v个中子的概率为Ⅱv（过程一）。而一个裂变源中子，能在系统中引发一个持续裂变链的概率为Wf（过程二）。
下面考察系统中被引发持续裂变事件概率问题。用前面的参量定义可知，一个中子引发裂变，且能产生一个持续裂变链的概率为pWf；把一个源中子引发一条持续裂变链的概率记为W（以下简称概率）；那么，在不计时间变化的粗略近似下便有
W=pWf （过程一+过程二） （1）
再考察系统的不发生持续裂变的概率问题。一个裂变源中子，不能引发持续裂变链的概率为（1-Wf）；那么，（1-Wf）等于这个中子引起裂变后，发射的第二代所有中子都不引发持续裂变链的概率。即，一代源中子不能引发一个持续裂变链的概率，应等于所有二代中子都不引发持续裂变链的概率。
根据说明，针对前面两代的关系我们可以直观的写出：
■ （2）
将■按幂级数公式展开，并只取到二级项有（相当于假定W<<1是默认的）：
■ （3）
根据说明，我们还可以看到裂变发射出个中子的概率之和可以表示为
■ （4）
一个中子发生一次裂变，发射的平均中子数用（单位：个）表示，即定义
■ （5）
以及
■ （6）
（2）式可以改写成
■ （7）
我们把每次裂变代的平均增殖数称作再生系数k，有k=pv；亦令
■ （8）
考虑到（1）式，于是（3）式便可变形为
■ （9）
这是前面粗略近似导出的结果。下面讨论系统有时间行为时的结果。
当系统有时间行为时，W（t）看成在t时刻放出一个源中子将引起装置系统发生一个持续裂变链的几率。由于此时裂变概率与时间有关，前面粗略近似的（9）应修正为比较细致考虑的形式，即p应换成■对时间的某种平均，取系统内每单位时间内中子被吸收的概率密度函数为■，这里t'为时间变量，t为进入系统的时间（看成常数），即可写成
■ （10）
式中τ是系统里中子平均寿命，作为已知参量。我们将W对t求导，得到
■ （11）
再把（9）式代入上式中即得
■ （12）
这是一个Ricatti方程。
1.2 方程求解
对于具有边值或初值条件的一阶线性微分方程
■ （13）
它的解为
■ （14）
Ricatti方程的标准形式
■ （15）
经■变换，可以写成一阶线性微分方程的形式，形如
■ （16）
应用（14）式，则Ricatti方程的解为
■（17）
在（12）式中，令Δk=k-1；对于稍超临界的系统，k≌1。（12）式可以写成
■ （18）
对应Ricatti方程的标准形式，有：■，因此（18）式的解为：
■ （19）
积分可得
■ （20）
若x0=∞，即考虑到t→∞，如果有Δk>0，则（19）式的分母第二项变成
■ （21）
因此（19）式可以简化为
■ （22）
易见，Δk若作常数可近似直接求出公式中的积分[4]，可以得到：
■ （23）
其中，Δk=k-1，k为中子增殖因子；v为一次裂变发射的平均中子数。
1.3 解的比对
当Δk>0时，取边界条件：x0=0时，W（x0）=1；参考普通核数据手册[8]，有v=2.5，Γ2≌0.8，（20）式和（23）式分别可以化成
■ （24） 式中，■。
■ （25）
对于热中子反应堆，■；中能中子反应堆和快中子反应堆的中子平均一代的时间要更短，分别约为■、■ [8]。以热中子反应堆为例，当进入系统的时间t≥0.1s时，就有M≥100，此时，（24）式与（25）式的结果有比较好的一致性（见图1），两曲线基本重合了。可以看出t越大，M就越大，近似解（25）式与精确解（24）式的一致性越好。
在评估模型的安全性时，我们更关心模型状态的改变与否，即模型是否在某种特定条件下发生了超临界。因此，取t≥0.1s是完全满足使用需求的，选用（23）式就可以很好的估计模型的超临界概率。
2 算例
假设一个次临界程度比较高的组件浸入到某种具有反射层作用的材料中，如该组件掉入水中，该组件由次临界状态转变为超临界，此时如果有中子进入，那么很可能形成持续裂变链式反应。
模型1：裸铀球（无反射层的），■，球半径 R=8cm。
模型2：带反射层（水）的铀球，铀球半径、密度同模型1；反射层厚度R=12.0 cm（见图2）。
模型1本身为次临界状态。参考普通核数据手册[8]取Γ2=0.8。使用LANL的ENDF66c数据库中铀-235、62c数据库中氢-1和氧-16的数据进行计算，结果见图3和表1。
从图3中可以看出，概率W与模型的半径呈线性关系，概率W的值随半径的增大而增大。事实上模型的半径是与k值有关的。不同模型的略有差别，但对于一个既定模型，v可以近似为一常数。因此W就可以看作一常系数与Δk相乘，如图4所示。
可见，概率W与k呈线性关系，既是与Δk呈线性关系。因此通过k或Δk，就可以很快地估计出概率W。当然，我们考虑的是t≥0.1s以后的情况。
3 结论
本文应用概率理论和数学方法，推导出一个中子引发一条持续裂变链的概率表达式。与传统的蒙特卡罗模拟方法相比，计算涉及参数少，能够迅速地对一个稍超临界模型进行粗估，得到结论：（1）方程的近似解在t≥0.1s条件下与精确解有很好的一致性；（2）一个中子引发一条持续裂变链的概率W与系统的超临界程度Δk成正比，比例系数对于一个既定的系统来说是一定的。本文计算结果仅供参考。
参 考 文 献
[1] 格拉斯登，爱德伦.原子核反应堆理论纲要[M].北京：科学出版社，1958：31-36.
[2] Geoge I Bell. On the Stochastic Theory of Neutron Transport[J]. Nuclear Science and Engineering，1965，21：390-401.
[3] 谢仲生，邓力.中子输运理论数值计算方法[M].西北工业大学出版社，2005：12-25.
[4] G.E.HANSEN.Assembly of Fissionable Material in the Presence of a Weak Neutron Source [J]. Neuclear Science and Engineering，1960，8：709-719.
[5] 刘建军，张本爱.近临界核系统中弱源中子的涨落行为[J].原子能科学技术，2006，40（3）：316-321.
[6] 刘建军，王喆，张本爱.关于引发持续裂变链概率的理论分析[J].核科学与工程，2005，25（4）：307-312.
[7] 刘建军.随机中子输运方程数值解与近似解的对比分析[J].王喆，张本爱.核科学与工程， 2006，26（2）：118-122.
[8] J.Terrel. Distribution of fission neutron numbers[J]. Physics Review，1957，783：108.