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一、 引言
由牛顿（Newton，1642-1727）和莱不尼兹（Lenbinz，1646-1716）所创立的微积分，是人类科学史上重大的发现，而微积分的产生与发展，和人们求解微分方程有密切关系。所谓微分方程，就是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程。在物理学、化学、生物学、工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程，这说明，微分方程的确有十分广泛的应用。
一般的微分方程不一定有初等解法，如曾Bessel方程就没有初等解法，对于形式上十分简单的Riccati方程
(1)
其中 、 、 ， 。法国数学家Liouville于1841年证明，除少数情况外，Riccati方程没有初等解法。当然，对于极端简单情况，例如，若 时，则方程(1)就成为Bernoulli方程，可直接进行求解；若已找到Riccati方程的一个特解 ，则取变换，代回方程(1)中得到方程
(2)
因 是(1)的一个特解，所以 满足方程(1)
故而由(2)式可得
这是Bernoulli方程，可求其解。从而可知，对Riccati方程的求解来讲，寻找其特解成为了关键，本文将探讨通过函数 、 、 的内在联系，寻找某些Riccati方程的初等解法。
二、 Riccati方程的解法探讨
1.可化为Bernoulli方程进行求解
1） 若(1)中 、 、 成比例，即有 ， ，则(1)式变为
再进行变量分离，则可得 。显然，两端积分即可求解。
2）若1）的条件不成立，则有下面三个定理
定理1若有函数 ，使 ，且 成立，则
方程（1）可化为Bernoulli方程。
证明令 ，则 ，将 与 代入（1），且 得
=
此为关于未知函数 的Bernoulli方程。此时Riccati方程显然可求解。
定理2若有函数 ，使 ，且 成立，则方程（1）可化为Bernoulli方程。此时Riccati方程显然可求解。
证明类似定理1的证明。
定理3若有函数 ，使 ，且 成立，则方程（1）可化为Bernoulli方程。此时Riccati方程显然可求解。
证明类似定理1的证明。
从上述定理还可以得到如下的推论
推论1若存在常数 ，使 ，即 ，则 ，即是方程（1）的一个特解。
证明因为满足定理1和满足推论1是等价的，又由定理1，方程（1）可化为
从而是其特解，又 ， ，故有 是（1）的特解。
推论2若存在常数 ，使 ，即 ，则 ，即是方程（1）的一个特解。
证明类似推论1的证明。
推论3若存在常数 ，使 ，即 ，则 是方程（1）的一个特解，其中 。
证明类似推论1的证明。
运用上述方法求解下面例题
例1 求方程 的特解
解此方程中 ， ， ，满足推论1的条件，故此方
程有特解 。
例2求方程 的特解
解此方程中 ， ， ，满足推论2的条件，故此方
程有特解 。
2.初等变换法
用初等变换求解Riccati方程时，是对满足不同条件的系数函数 、 、 作初等变换，引入参数 后，代入方程得到的含 的一元方程取各系数为0的公共解，即求出相应的参数 的值，再代回相应的变换式，从而求得此Riccati方程的特解。
第一类： （常数）的情形
1）当 时，如果 ，那么可作初等变换 ；如果，那么可作初等变换 。
2）当 时，如果，那么可作初等变换 或 ；如果，那么可作初等变换 或 。
第二类： 、 、 都是整式函数，并且满足
，则可作初等变换 ；如果 是整式函数， 是分式函数，则可作初等变换 。
第三类：当 、 、 都是分式函数时，则可作初等变换 。下面通过几个实际例子来说明此法的应用
例3 求方程 的特解
解此方程属第一类，作初等变换 ，代入原方程并整理得 ,解之得 ， ，所以原方程的特解为 ， 。
例4求方程 的特解
解此方程属第二类，作初等变换 ，代入原方程并整理得 , 解之得 , 所以原方程的特解为 。
例5求方程 的特解
解此方程属第三类，作初等变换 ，代入原方程并整理得 ，解之得 ， ，所以原方程的特解为 ， 。
3.行列式同解法
通过对上一方法的讨论，了解到变换的思想在Riccati方程的求解问题中所起到的作用，这里利用变换的思想来探讨其它的解法。
由变换 可将（1）化为
(3)
而（3）式又与
(4)
是等价的。由行列式的性质及方程的同解原理，只要求得满足行列式（4）的解也就求得（1）的解。
由
若 ，即 时，（4）有一特解 ，此时（1）的特解是 ，由此可得
命题如果（1）的系数满足
（*）
其中 是某一可微函数，则（1）有特解 。
由命题可知，如果能找到满足（*）的函数 ，则（1）有一个形式相当简单的特解，下面给出两种特殊情况：
1）当 （常数），即 时，（1）有特解 。
2）当 ，即 时，（1）有特解 。
例6求方程 的特解
解因为 ， ， ，取 ，满足（*）式，故原方程的特解为 。
前面已经提到变换的思想在求Riccati方程的不同解法中所起到的作用，下面也以变换作为解Riccati方程的主线来得到满足不同条件的Riccati方程的不同解法。
首先介绍几个引理及定理为下文做准备
引理1一阶微分方程
（5）
有特解 。
证明直接把 代入（5）式即可证明引理1。
引理2方程（1）通过初等变换可化为如下形式
（6）
证明方程（1）配方得
设 ，这是一个初等变换，那么，有 ，代入（1）得 ，其中
定理3方程（6）有特解 的充分必要条件是 ， 满足微分方程组
（7）
证明（充分性）如果（7）有解 ， ，则 得
（**）
两端同除以，那么（**）化为
即方程（6）存在特解 。
（必要性）根据引理1，有 , ，即得方程组（7）。
注1若方程（6）的特解不易求得时，可解方程组（7），有时求解方程组（7）的特解反而易求。
定理4方程组（7）的一个特解等价于二阶微分方程
（8）
的一个特解。
证明把（7）的解代入（8）有
满足（8）的等式，故（7）的解是（8）的解；下面证（8）的解是（7）的解，引入新变量函数 ，则有 ，代入（8）就有（7）中的<2>成立，故方程组（7）的一个特解等价于方程（8）的一个特解。
由牛顿（Newton，1642-1727）和莱不尼兹（Lenbinz，1646-1716）所创立的微积分，是人类科学史上重大的发现，而微积分的产生与发展，和人们求解微分方程有密切关系。所谓微分方程，就是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程。在物理学、化学、生物学、工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程，这说明，微分方程的确有十分广泛的应用。
一般的微分方程不一定有初等解法，如曾Bessel方程就没有初等解法，对于形式上十分简单的Riccati方程
(1)
其中 、 、 ， 。法国数学家Liouville于1841年证明，除少数情况外，Riccati方程没有初等解法。当然，对于极端简单情况，例如，若 时，则方程(1)就成为Bernoulli方程，可直接进行求解；若已找到Riccati方程的一个特解 ，则取变换，代回方程(1)中得到方程
(2)
因 是(1)的一个特解，所以 满足方程(1)
故而由(2)式可得
这是Bernoulli方程，可求其解。从而可知，对Riccati方程的求解来讲，寻找其特解成为了关键，本文将探讨通过函数 、 、 的内在联系，寻找某些Riccati方程的初等解法。
二、 Riccati方程的解法探讨
1.可化为Bernoulli方程进行求解
1） 若(1)中 、 、 成比例，即有 ， ，则(1)式变为
再进行变量分离，则可得 。显然，两端积分即可求解。
2）若1）的条件不成立，则有下面三个定理
定理1若有函数 ，使 ，且 成立，则
方程（1）可化为Bernoulli方程。
证明令 ，则 ，将 与 代入（1），且 得
=
此为关于未知函数 的Bernoulli方程。此时Riccati方程显然可求解。
定理2若有函数 ，使 ，且 成立，则方程（1）可化为Bernoulli方程。此时Riccati方程显然可求解。
证明类似定理1的证明。
定理3若有函数 ，使 ，且 成立，则方程（1）可化为Bernoulli方程。此时Riccati方程显然可求解。
证明类似定理1的证明。
从上述定理还可以得到如下的推论
推论1若存在常数 ，使 ，即 ，则 ，即是方程（1）的一个特解。
证明因为满足定理1和满足推论1是等价的，又由定理1，方程（1）可化为
从而是其特解，又 ， ，故有 是（1）的特解。
推论2若存在常数 ，使 ，即 ，则 ，即是方程（1）的一个特解。
证明类似推论1的证明。
推论3若存在常数 ，使 ，即 ，则 是方程（1）的一个特解，其中 。
证明类似推论1的证明。
运用上述方法求解下面例题
例1 求方程 的特解
解此方程中 ， ， ，满足推论1的条件，故此方
程有特解 。
例2求方程 的特解
解此方程中 ， ， ，满足推论2的条件，故此方
程有特解 。
2.初等变换法
用初等变换求解Riccati方程时，是对满足不同条件的系数函数 、 、 作初等变换，引入参数 后，代入方程得到的含 的一元方程取各系数为0的公共解，即求出相应的参数 的值，再代回相应的变换式，从而求得此Riccati方程的特解。
第一类： （常数）的情形
1）当 时，如果 ，那么可作初等变换 ；如果，那么可作初等变换 。
2）当 时，如果，那么可作初等变换 或 ；如果，那么可作初等变换 或 。
第二类： 、 、 都是整式函数，并且满足
，则可作初等变换 ；如果 是整式函数， 是分式函数，则可作初等变换 。
第三类：当 、 、 都是分式函数时，则可作初等变换 。下面通过几个实际例子来说明此法的应用
例3 求方程 的特解
解此方程属第一类，作初等变换 ，代入原方程并整理得 ,解之得 ， ，所以原方程的特解为 ， 。
例4求方程 的特解
解此方程属第二类，作初等变换 ，代入原方程并整理得 , 解之得 , 所以原方程的特解为 。
例5求方程 的特解
解此方程属第三类，作初等变换 ，代入原方程并整理得 ，解之得 ， ，所以原方程的特解为 ， 。
3.行列式同解法
通过对上一方法的讨论，了解到变换的思想在Riccati方程的求解问题中所起到的作用，这里利用变换的思想来探讨其它的解法。
由变换 可将（1）化为
(3)
而（3）式又与
(4)
是等价的。由行列式的性质及方程的同解原理，只要求得满足行列式（4）的解也就求得（1）的解。
由
若 ，即 时，（4）有一特解 ，此时（1）的特解是 ，由此可得
命题如果（1）的系数满足
（*）
其中 是某一可微函数，则（1）有特解 。
由命题可知，如果能找到满足（*）的函数 ，则（1）有一个形式相当简单的特解，下面给出两种特殊情况：
1）当 （常数），即 时，（1）有特解 。
2）当 ，即 时，（1）有特解 。
例6求方程 的特解
解因为 ， ， ，取 ，满足（*）式，故原方程的特解为 。
前面已经提到变换的思想在求Riccati方程的不同解法中所起到的作用，下面也以变换作为解Riccati方程的主线来得到满足不同条件的Riccati方程的不同解法。
首先介绍几个引理及定理为下文做准备
引理1一阶微分方程
（5）
有特解 。
证明直接把 代入（5）式即可证明引理1。
引理2方程（1）通过初等变换可化为如下形式
（6）
证明方程（1）配方得
设 ，这是一个初等变换，那么，有 ，代入（1）得 ，其中
定理3方程（6）有特解 的充分必要条件是 ， 满足微分方程组
（7）
证明（充分性）如果（7）有解 ， ，则 得
（**）
两端同除以，那么（**）化为
即方程（6）存在特解 。
（必要性）根据引理1，有 , ，即得方程组（7）。
注1若方程（6）的特解不易求得时，可解方程组（7），有时求解方程组（7）的特解反而易求。
定理4方程组（7）的一个特解等价于二阶微分方程
（8）
的一个特解。
证明把（7）的解代入（8）有
满足（8）的等式，故（7）的解是（8）的解；下面证（8）的解是（7）的解，引入新变量函数 ，则有 ，代入（8）就有（7）中的<2>成立，故方程组（7）的一个特解等价于方程（8）的一个特解。