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[摘要]利用WVD（Wigner-Ville Distribution）这一最有效的非平稳信号分析工具，综合STFT(Short Time Fourier Transform)的线性变换特性，将同一输入信号的谱图和WVD变换后的时频图进行融合，充分发挥WVD对非平稳信号的分析能力的同时，能够有效抑制WVD的交叉项影响，该方法不需要信号的先验知识，试用范围广。仿真结果表明该方法有效。
[关键词]WVD STFT 交叉项
中图分类号：TN971文献标识码：A 文章编号：1671-7597(2008)1210009-01
一、引言
时频分析方法通过时间和频率的二维函数直观地反映信号频率随时间的变化关系，将信号处理扩展到二维平面，使得对信号的分析可以具体到信号的特定时间和特定频率，为非平稳信号分析和处理提供了非常重要的方法。时频分析方法可分为线性时频表示和非线性时频表示，线性时频表示只能提供信号粗略的时频分布，其优点是在对多信号进行分析时不会产生交叉项，其中以STFT方法应用最为广泛；非线性时频表示方法具有良好的性质，典型的方法为WVD。WVD方法在时频分析中有着非常高的分辨率，所以自其被提出以后就得到了广泛的关注，但由于用维格纳分布进行多信号分析时存在难于避免的交叉项干扰，这使其应用受到了一定的限制[1]。针对这一问题，众多学者提出多种办法进行解决，总体可概括为时频域方法和模糊预方法，都是利用干扰项的高频特性进行滤波。Cohen类方法为较早提出的，在时频域进行平滑，该方法消除干扰项的同时，也消弱了信号项，模糊域方法对信号的适应能力较差，为了提高对信号的适应性，有学者提出自适应的核函数滤波方法[2]，但自适应方法也需要信号的先验知识，另外还有图像处理方法[3]，统计滤波方法等。[4,5,6]
本文分析了STFT、WVD方法对信号进行时频分析时各自的优缺点，经过分析得出解决问题的如下思想和结论：结合STFT和WVD的优点，也就是能够利用STFT的线性特性对WVD的交叉项进行抑制。提出解决问题的方法简述如：以WVD为基础，充分利用其对非平稳信号分析时的时频聚焦性；结合STFT方法，利用其在对多信号分析时的线性特性，采用图像处理方法融合时频图和谱图，进行交叉项抑制的抑制。最终得到高时频聚焦的信号时频分布。
二、STFT与WVD基础理论
（一）STFT
为了获取信号的瞬时频率，最直观的想法就是将信号按时间分段做傅立叶变换，把各个时间段的傅立叶变换结果按时间-频率组合-叠加即可得到信号的时频分布情况，这实际上是一种加窗的傅立叶变换，称为STFT(短时傅立叶变换)。
令 是一个时间宽度很短的窗函数，它沿时间轴滑动，于是信号
的短时Fourier变换定义为，式中*代表复数共轭。由于信号乘一个相当短的窗函数等价于取出信号在分析时间点附近的一个切片，所以 可以理解为信号
在“分析时间”附近的Fourier变换(称之为局部频谱)。
尽管短时Fourier变换能有效描述非平稳信号的局部性能，但是当使用时频表示来描述非平稳信号的能量变化时，二次型的时频表示却是一类更加直观和合理的信号表示方法，谱图是一种二次型时频表示，定义为短时Fourier变换的模值的平 ，谱图能构直观的描绘信号的时频分布，而且在对信号分析时不会产生交叉项，但是比较粗略。
（二）WVD
为了正确描述信号的局部能量分布，要求时频分布具有时频聚焦性。Wigner-Ville分布是最早问世的时频分布，其他所有时频分布都可看作是Wigner-Ville分布的加窗形式。Wigner-Ville分布具有非常好的时频聚焦性，为描述信号的局部能量分布提供很好的支持。
单分量信号 的Wigner-Vill分布为：
多分量信号的Wigner-Vill分布为：
可以看出，Wigner-Ville分布的信号项是沿着复谐波信号的多个分量频率直线上的带状冲激函数，表示在任意两个频率分量处还存在一个比较大的交叉项。
Wigner-Ville分布有着非常好的时频聚焦性，同时我们也能够看出，在对多信号进行时频分析时，Wigner-Ville分布有着非常严重的交叉项，这是我们所不希望的，也正是我们所要解决的问题。
三、本文所用方法描述
（一）模型
为了分析简单，将输入信号定义只有两个信号的合成。如图中所示，将
分别做WVD变换和STFT变换得到：
其中为WVD的交叉项，是我们要抑制的。由STFT获取谱图，谱图会描绘出两个信号，但是分辨率有限；由WVD变换获取时频图，时频图描绘的信号项有较高的分辨率，但却有交叉项的干扰。
将所获取的时频图进行滤波，阈值和二值化处理，将谱图进行二值化，再将两数字图像进行与运算，获取去掉交叉项的信号。
（二）方法
由以上模型和实验总结如下步骤：
1、原信号分别作WVD变换和STFT变换；2、WVD和STFT变换的结果转化为数字图像；3、对WVD进行滤波，阈值分割，二值化；4、将STFT二值化；5、做图像融合，得到去掉干扰项的时频分布图。
（三）关键问题
1．做短时傅立叶变换时关于频率分辨率的问题
做STFT变换时为了提高频率分辨率，一般选择较宽的滑动窗，如果直接对原时间序列做STFT变换会产生时间上损耗，如图2中所示，对N点序列做
STFT，选窗宽M，则会在序列开始和结束处分别损失了M/2的时间。为了补回时间的缺失，采用将序列两端补零延长的方法M/2，如图所示为补充前后的差异对比。
2．图像预处理
加性白噪声和交叉项表现为时频图像上具有较高频率的部分。考虑信号的自项，由于内部自相关性和时域窗口运算带来的信噪比改善作用，其时频表示结果更多的对应图像中的灰度值较高，且幅度恒定的低频部分。由于时频图像的背景主要由高频成分的加性白噪声和交叉项构成，因此图像的平滑滤波处理作为等效的空间域低通滤波器可以减弱其影响，对由噪声引起的信号真实时频分布位置处的幅度波动产生抑制。对图像的平滑滤波可以从空间域和频域两个角度进行设计，两种方法是等效的。本文利用大小为3×3的匹配模板(mask) 对图像中每个像素点的8邻域进行加权平均处理，同时为突出像素点本身并减小空间平滑带来的失真，模板中心的加权大于其邻域。利用匹配模板与图像卷积的低通滤波作用，时频图像中的噪声可得到初步抑制。
四、仿真结果
线性调频信号处理图中，图3中所示，（a）为WVD分布，可以看出又较为明显的交叉项；（b）为谱图，可以看出其时频分辨率不高；（c）为采用本文所述方法处理后的时频图，可以明显可以看出，在保持时频分辨率较高的条件下，交叉项得到了较好的抑制。
(a)WVD (b)谱图(c)综合时频分布图
参考文献：
[1]张贤达,现代信号处理[M],北京,清华大学出版社:2002.
[2]李亚安,王军,雷粉霞,自适应核时频分析在抑制交叉项中的应用,系统工程与电子技术，2004，26（11）:1567-1569.
[3]李滔,杨绍全,汤建龙,基于数字图像处理的信号时频分布精度改善方法[J],系统工程与电子技术,2004,26(10):1360-1517.
[4]Cohen L.Time2Frequency Distribution——A Review[J]. Proceedings of IEEE , 1989 , 77(7) : 941 - 981.
[5]Ram Bilas Pachori, Pradip Sircar ，A new technique to reduce cross terms in the Wigner distributionDigital Signal Processing 17 (2007) 466474.
[6]S. Chandra Sekhar, T.V. Sreenivas ，Adaptive spectrogram vs. adaptive pseudo-WignerVilledistribution for instantaneous frequency estimationSignal Processing 83 (2003) 15291543.
[关键词]WVD STFT 交叉项
中图分类号：TN971文献标识码：A 文章编号：1671-7597(2008)1210009-01
一、引言
时频分析方法通过时间和频率的二维函数直观地反映信号频率随时间的变化关系，将信号处理扩展到二维平面，使得对信号的分析可以具体到信号的特定时间和特定频率，为非平稳信号分析和处理提供了非常重要的方法。时频分析方法可分为线性时频表示和非线性时频表示，线性时频表示只能提供信号粗略的时频分布，其优点是在对多信号进行分析时不会产生交叉项，其中以STFT方法应用最为广泛；非线性时频表示方法具有良好的性质，典型的方法为WVD。WVD方法在时频分析中有着非常高的分辨率，所以自其被提出以后就得到了广泛的关注，但由于用维格纳分布进行多信号分析时存在难于避免的交叉项干扰，这使其应用受到了一定的限制[1]。针对这一问题，众多学者提出多种办法进行解决，总体可概括为时频域方法和模糊预方法，都是利用干扰项的高频特性进行滤波。Cohen类方法为较早提出的，在时频域进行平滑，该方法消除干扰项的同时，也消弱了信号项，模糊域方法对信号的适应能力较差，为了提高对信号的适应性，有学者提出自适应的核函数滤波方法[2]，但自适应方法也需要信号的先验知识，另外还有图像处理方法[3]，统计滤波方法等。[4,5,6]
本文分析了STFT、WVD方法对信号进行时频分析时各自的优缺点，经过分析得出解决问题的如下思想和结论：结合STFT和WVD的优点，也就是能够利用STFT的线性特性对WVD的交叉项进行抑制。提出解决问题的方法简述如：以WVD为基础，充分利用其对非平稳信号分析时的时频聚焦性；结合STFT方法，利用其在对多信号分析时的线性特性，采用图像处理方法融合时频图和谱图，进行交叉项抑制的抑制。最终得到高时频聚焦的信号时频分布。
二、STFT与WVD基础理论
（一）STFT
为了获取信号的瞬时频率，最直观的想法就是将信号按时间分段做傅立叶变换，把各个时间段的傅立叶变换结果按时间-频率组合-叠加即可得到信号的时频分布情况，这实际上是一种加窗的傅立叶变换，称为STFT(短时傅立叶变换)。
令 是一个时间宽度很短的窗函数，它沿时间轴滑动，于是信号
的短时Fourier变换定义为，式中*代表复数共轭。由于信号乘一个相当短的窗函数等价于取出信号在分析时间点附近的一个切片，所以 可以理解为信号
在“分析时间”附近的Fourier变换(称之为局部频谱)。
尽管短时Fourier变换能有效描述非平稳信号的局部性能，但是当使用时频表示来描述非平稳信号的能量变化时，二次型的时频表示却是一类更加直观和合理的信号表示方法，谱图是一种二次型时频表示，定义为短时Fourier变换的模值的平 ，谱图能构直观的描绘信号的时频分布，而且在对信号分析时不会产生交叉项，但是比较粗略。
（二）WVD
为了正确描述信号的局部能量分布，要求时频分布具有时频聚焦性。Wigner-Ville分布是最早问世的时频分布，其他所有时频分布都可看作是Wigner-Ville分布的加窗形式。Wigner-Ville分布具有非常好的时频聚焦性，为描述信号的局部能量分布提供很好的支持。
单分量信号 的Wigner-Vill分布为：
多分量信号的Wigner-Vill分布为：
可以看出，Wigner-Ville分布的信号项是沿着复谐波信号的多个分量频率直线上的带状冲激函数，表示在任意两个频率分量处还存在一个比较大的交叉项。
Wigner-Ville分布有着非常好的时频聚焦性，同时我们也能够看出，在对多信号进行时频分析时，Wigner-Ville分布有着非常严重的交叉项，这是我们所不希望的，也正是我们所要解决的问题。
三、本文所用方法描述
（一）模型
为了分析简单，将输入信号定义只有两个信号的合成。如图中所示，将
分别做WVD变换和STFT变换得到：
其中为WVD的交叉项，是我们要抑制的。由STFT获取谱图，谱图会描绘出两个信号，但是分辨率有限；由WVD变换获取时频图，时频图描绘的信号项有较高的分辨率，但却有交叉项的干扰。
将所获取的时频图进行滤波，阈值和二值化处理，将谱图进行二值化，再将两数字图像进行与运算，获取去掉交叉项的信号。
（二）方法
由以上模型和实验总结如下步骤：
1、原信号分别作WVD变换和STFT变换；2、WVD和STFT变换的结果转化为数字图像；3、对WVD进行滤波，阈值分割，二值化；4、将STFT二值化；5、做图像融合，得到去掉干扰项的时频分布图。
（三）关键问题
1．做短时傅立叶变换时关于频率分辨率的问题
做STFT变换时为了提高频率分辨率，一般选择较宽的滑动窗，如果直接对原时间序列做STFT变换会产生时间上损耗，如图2中所示，对N点序列做
STFT，选窗宽M，则会在序列开始和结束处分别损失了M/2的时间。为了补回时间的缺失，采用将序列两端补零延长的方法M/2，如图所示为补充前后的差异对比。
2．图像预处理
加性白噪声和交叉项表现为时频图像上具有较高频率的部分。考虑信号的自项，由于内部自相关性和时域窗口运算带来的信噪比改善作用，其时频表示结果更多的对应图像中的灰度值较高，且幅度恒定的低频部分。由于时频图像的背景主要由高频成分的加性白噪声和交叉项构成，因此图像的平滑滤波处理作为等效的空间域低通滤波器可以减弱其影响，对由噪声引起的信号真实时频分布位置处的幅度波动产生抑制。对图像的平滑滤波可以从空间域和频域两个角度进行设计，两种方法是等效的。本文利用大小为3×3的匹配模板(mask) 对图像中每个像素点的8邻域进行加权平均处理，同时为突出像素点本身并减小空间平滑带来的失真，模板中心的加权大于其邻域。利用匹配模板与图像卷积的低通滤波作用，时频图像中的噪声可得到初步抑制。
四、仿真结果
线性调频信号处理图中，图3中所示，（a）为WVD分布，可以看出又较为明显的交叉项；（b）为谱图，可以看出其时频分辨率不高；（c）为采用本文所述方法处理后的时频图，可以明显可以看出，在保持时频分辨率较高的条件下，交叉项得到了较好的抑制。
(a)WVD (b)谱图(c)综合时频分布图
参考文献：
[1]张贤达,现代信号处理[M],北京,清华大学出版社:2002.
[2]李亚安,王军,雷粉霞,自适应核时频分析在抑制交叉项中的应用,系统工程与电子技术，2004，26（11）:1567-1569.
[3]李滔,杨绍全,汤建龙,基于数字图像处理的信号时频分布精度改善方法[J],系统工程与电子技术,2004,26(10):1360-1517.
[4]Cohen L.Time2Frequency Distribution——A Review[J]. Proceedings of IEEE , 1989 , 77(7) : 941 - 981.
[5]Ram Bilas Pachori, Pradip Sircar ，A new technique to reduce cross terms in the Wigner distributionDigital Signal Processing 17 (2007) 466474.
[6]S. Chandra Sekhar, T.V. Sreenivas ，Adaptive spectrogram vs. adaptive pseudo-WignerVilledistribution for instantaneous frequency estimationSignal Processing 83 (2003) 15291543.