论文部分内容阅读
2012年湖南省湘潭市中考数学试题中有这样一道题：
图1如图1，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.
其一般思路是：根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，AB=xm，则BC=（50-2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可.
于是得到如下解法（这也是参考答案中给出的解法）：
解 设AB=xm，则BC=（50-2x）m.根据题意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50-10-10=30>25，故x1=10（不合题意舍去）.
答：砌法为：围成AB的长为15m，BC为20m的矩形.
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据.应该说，这种解法是无可非议的.但问题是，题目要求的是“设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2”，那么使“矩形花园的面积为300m2”的砌法是不是唯一的？如果不唯一，砌法有多少种？研究设计方案的解法是否唯一？有没有其他解法可以探索出所有的方案？
为此，笔者查阅了现行的几种初中数学义务教育课程标准实验教科书，发现这些教科书中都出现了利用一面墙，根据给出的材料长度来围成一个指定面积的矩形场地问题，且都是利用一元二次方程来求解的，如：
图21.人教版数学课本九年级上册第58页第7题：如图2，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地？
教师教学用书的解法是：设与墙垂直的边长为xm，则与墙平行的一边长为（20-2x）m，根据题意得x（20-2x）=20，解得x1=5+15，x2=5-15.当x1=5+15时，20-2x=10-215；当x2=5-15时，20-2x=10+215.即可以围成边长为5+15m和10-215m的矩形或边长为5-15m和10+215m的矩形.
2.北师大版数学课本九年级上册第62页：某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m.
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2？
（2）鸡场的面积能达到250m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
教师教学用书的解法是：（1）设与墙垂直的边长为xm，则与墙平行的一边长为（40-2x）m.当x（40-2x）=180时，解得x1=10+10，x2=10-10.所以鸡场的面积能达到180m2，方案为长方形鸡场的两邻边分别为（10+10）m和（20-210）m或（10-10）m和（20+210）m；当x（40-2x）=200时，解得x1=x2=10.所以鸡场的面积能达到200m2，方案为长方形鸡场的两邻边都为10m；（2）当x（40-2x）=250时，整理得：x2-20x+125=0，其判别式b2-4ac=-100<0，方程为实数解，所以鸡场的面积不能达到250m2.
3.苏科版数学课本九年级上册第102页第9题：学校生物课外活动小组要在兔舍外面开辟一个面积为20m2的长方形活动场地.它的一边靠墙，其余三边利用长13m的旧围栏.已知兔舍墙面宽6m.问围成长方形的长和宽各是多少？
教师教学用书的解法是：设围成长方形的宽是xm，根据题意得x（13-2x）=20，解得x1=4，x2=52.而当x1=4时，13-2x=5<6；当x2=52时，13-2x=8>6（舍去）.
答：围成长方形的长和宽各是5m和4m.
（顺便指出：苏科版教师教学用书中的这种设未知数的叙述方法容易引起学生的误解，因为由“百度百科”可知，“长方形长与宽的定义：第一种意见：长方形长的那条边叫长，短的那条边叫宽；第二种意见：和水平面同方向的叫做长，反之就叫做宽.长方形的长和宽是相对的，不能绝对的说‘长比宽长’，但习惯地讲，长的为长，短的为宽.”因此，在没有确定设出的未知数x值时，说围成长方形的宽是xm，不如说成“设与墙垂直的边长为xm”更好.）
这就使人产生一种错觉：解决这类问题的唯一方法就是列一元二次方程来处理.其实，我们也可以用不等式的知识来解决这类问题，且可以得到这类问题的许多答案：
如图1，设AB=xm，BC=300xm，根据题意得：0<300x≤25且0<2x+300x≤50，从而有12≤x≤15.在12≤x≤15的条件下，取一个x的值代入300x得到一个值，它们就可以作为长方形的两邻边而得到一种设计方案.
具体砌法设计：
方案1：若x取15m，则300x=20m，即砌法为围成AB的长为15m，BC为20m的矩形；
方案2：若x取12m，则300x=25m，砌法为围成AB的长为12m，BC为25m的矩形；
方案3：若x取125m，则300x=24m，砌法为围成AB的长为12.5m，BC为24m的矩形；….
可见本题的砌法方案有无数种.
在方案2和3中，砌墙所需要的材料只需要49m，比方案1节约了1m，在全社会掀起厉行节约，反对浪费的高潮的今天，方案2和方案3更是我们应该首选的.其实，从函数的角度来思考，就可以发现有比较节约的方案：设AB=xm，矩形花园的面积为ym2，则BC=（50-2x）m，y=x（50-2x），配方得y=-2（x-252）2+6252，6252>300，可见当充分利用已备足可以砌50m长的墙的材料时可以围成面积为6252m2矩形花园，因此完全可以在节约的前提下得到围成面积为300m2矩形花园的方案.
至此，我们才深刻领会命题者的意图：“已备足可以砌50m长的墙的材料”的言下之意是不一定要全部使用掉，“试设计一种砌法”的言下之意是砌法有很多，因此解决本题的方法不唯一，得到的砌法不唯一，这正是本题的精妙之处.
作者简介 陈德前，男，1957年生，教研室副主任，泰州市教育局教研室兼职教研员，中学高级教师，中学数学特级教师，泰州市有突出贡献的中青年专家，泰州市初中数学名师工作室领衔人，发表文章百余篇，出版书籍20多本.
图1如图1，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.
其一般思路是：根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，AB=xm，则BC=（50-2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可.
于是得到如下解法（这也是参考答案中给出的解法）：
解 设AB=xm，则BC=（50-2x）m.根据题意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50-10-10=30>25，故x1=10（不合题意舍去）.
答：砌法为：围成AB的长为15m，BC为20m的矩形.
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据.应该说，这种解法是无可非议的.但问题是，题目要求的是“设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2”，那么使“矩形花园的面积为300m2”的砌法是不是唯一的？如果不唯一，砌法有多少种？研究设计方案的解法是否唯一？有没有其他解法可以探索出所有的方案？
为此，笔者查阅了现行的几种初中数学义务教育课程标准实验教科书，发现这些教科书中都出现了利用一面墙，根据给出的材料长度来围成一个指定面积的矩形场地问题，且都是利用一元二次方程来求解的，如：
图21.人教版数学课本九年级上册第58页第7题：如图2，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地？
教师教学用书的解法是：设与墙垂直的边长为xm，则与墙平行的一边长为（20-2x）m，根据题意得x（20-2x）=20，解得x1=5+15，x2=5-15.当x1=5+15时，20-2x=10-215；当x2=5-15时，20-2x=10+215.即可以围成边长为5+15m和10-215m的矩形或边长为5-15m和10+215m的矩形.
2.北师大版数学课本九年级上册第62页：某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m.
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2？
（2）鸡场的面积能达到250m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
教师教学用书的解法是：（1）设与墙垂直的边长为xm，则与墙平行的一边长为（40-2x）m.当x（40-2x）=180时，解得x1=10+10，x2=10-10.所以鸡场的面积能达到180m2，方案为长方形鸡场的两邻边分别为（10+10）m和（20-210）m或（10-10）m和（20+210）m；当x（40-2x）=200时，解得x1=x2=10.所以鸡场的面积能达到200m2，方案为长方形鸡场的两邻边都为10m；（2）当x（40-2x）=250时，整理得：x2-20x+125=0，其判别式b2-4ac=-100<0，方程为实数解，所以鸡场的面积不能达到250m2.
3.苏科版数学课本九年级上册第102页第9题：学校生物课外活动小组要在兔舍外面开辟一个面积为20m2的长方形活动场地.它的一边靠墙，其余三边利用长13m的旧围栏.已知兔舍墙面宽6m.问围成长方形的长和宽各是多少？
教师教学用书的解法是：设围成长方形的宽是xm，根据题意得x（13-2x）=20，解得x1=4，x2=52.而当x1=4时，13-2x=5<6；当x2=52时，13-2x=8>6（舍去）.
答：围成长方形的长和宽各是5m和4m.
（顺便指出：苏科版教师教学用书中的这种设未知数的叙述方法容易引起学生的误解，因为由“百度百科”可知，“长方形长与宽的定义：第一种意见：长方形长的那条边叫长，短的那条边叫宽；第二种意见：和水平面同方向的叫做长，反之就叫做宽.长方形的长和宽是相对的，不能绝对的说‘长比宽长’，但习惯地讲，长的为长，短的为宽.”因此，在没有确定设出的未知数x值时，说围成长方形的宽是xm，不如说成“设与墙垂直的边长为xm”更好.）
这就使人产生一种错觉：解决这类问题的唯一方法就是列一元二次方程来处理.其实，我们也可以用不等式的知识来解决这类问题，且可以得到这类问题的许多答案：
如图1，设AB=xm，BC=300xm，根据题意得：0<300x≤25且0<2x+300x≤50，从而有12≤x≤15.在12≤x≤15的条件下，取一个x的值代入300x得到一个值，它们就可以作为长方形的两邻边而得到一种设计方案.
具体砌法设计：
方案1：若x取15m，则300x=20m，即砌法为围成AB的长为15m，BC为20m的矩形；
方案2：若x取12m，则300x=25m，砌法为围成AB的长为12m，BC为25m的矩形；
方案3：若x取125m，则300x=24m，砌法为围成AB的长为12.5m，BC为24m的矩形；….
可见本题的砌法方案有无数种.
在方案2和3中，砌墙所需要的材料只需要49m，比方案1节约了1m，在全社会掀起厉行节约，反对浪费的高潮的今天，方案2和方案3更是我们应该首选的.其实，从函数的角度来思考，就可以发现有比较节约的方案：设AB=xm，矩形花园的面积为ym2，则BC=（50-2x）m，y=x（50-2x），配方得y=-2（x-252）2+6252，6252>300，可见当充分利用已备足可以砌50m长的墙的材料时可以围成面积为6252m2矩形花园，因此完全可以在节约的前提下得到围成面积为300m2矩形花园的方案.
至此，我们才深刻领会命题者的意图：“已备足可以砌50m长的墙的材料”的言下之意是不一定要全部使用掉，“试设计一种砌法”的言下之意是砌法有很多，因此解决本题的方法不唯一，得到的砌法不唯一，这正是本题的精妙之处.
作者简介 陈德前，男，1957年生，教研室副主任，泰州市教育局教研室兼职教研员，中学高级教师，中学数学特级教师，泰州市有突出贡献的中青年专家，泰州市初中数学名师工作室领衔人，发表文章百余篇，出版书籍20多本.