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方案一、运用“椭圆的定义”探讨轨迹
例1 设定点[F1]（0，－3）、[F2]（0，3），动点[P]满足条件[PF1+PF2=a+9a(a>0)]，则点[P]的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
解析 当[a=3]时，[PF1+PF2=F1F2]，点[P]的轨迹是线段[F1F2]；
当[a>0]且[a≠3]时，[PF1+PF2>F1F2]，点[P]的轨迹是以[F1]、[F2]为焦点的椭圆．
例2 下列命题是真命题的是（ ）
A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B．到定直线[x=a2c]和定点[F(c，0)]的距离之比为[ca]的点的轨迹是椭圆
C．到定点[F(－c，0)]和定直线[x=-a2c]距离之比为[ca(a>c>0)]的点的轨迹是左半个椭圆
D．到定直线[x=a2c]和定点[F(c，0)]的距离之比为[ca(a>c>0)]的点的轨迹是椭圆
解析 由教材第47页例6（特例）与第51页的（一般性）描述知：椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]也可以定义为“平面内到定点[F(c，0)]和定直线[x=a2c]的距离之比是常数[ca(a>c>0)]的点的轨迹．”故选D．
点拨 （1）椭圆的第一定义：椭圆是平面内与两定点[F1]、[F2]的距离的和等于常数(大于[F1F2])的点的轨迹．
（2）椭圆的第二定义：平面内到定点[F(c，0)]和定直线[x=a2c]的距离之比是常数[ca(a>c>0)]的点的轨迹是椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]．点[F(c，0)]为右焦点，直线[x=a2c]为右准线．
方案二、利用“椭圆的第二定义”推导椭圆的焦半径公式
例3 椭圆[x225+y92=1]上不同三点[Ax1，y1]、[B4，95]、[Cx2，y2]与焦点[F4，0]的距离成等差数列，求证[x1+x2=8]．
证明 由椭圆方程知[a=5]，[b=3]，[c=4]．
由椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的第二定义知[AFa2c-x1=ca]，
∴[AF=a-ex1=5-45x1]．
同理[CF=5-45x2]．
∵[AF+CF=2BF]，且[BF=95]，
∴[5-45x1+5-45x2=185]，
即[x1+x2=8]．
点拨 设[P(x0,y0)]为椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]椭圆上的任一点，[F1(-c,0)]、[F2(c,0)]分别为其左、右焦点，则有
左焦半径公式[PF1=a+ex0,]
右焦半径公式[PF2=a-ex0.]
方案三、运用“待定系数法”求椭圆的标准方程
例4 已知[B、C]是两个定点，[|BC|＝6]，且[△ABC]的周长等于16，求顶点[A]的轨迹方程.
解析 以[BC]所在直线为[x]轴、[BC]中垂线为[y]轴建立直角坐标系，设[A(x,y)]，根据已知条件得[|AB|+|AC|=10.]
再根据椭圆定义得[a=5,c=3,b=4]，
所以顶点[A]的轨迹方程为
[x225+y216=1] （[y]≠0）.
例5 已知椭圆经过两点（[-32,52)与(3,5)]，求椭圆的标准方程.
解析 设椭圆的方程为[mx2+ny2=1(m>0,][n>0,][m≠n)]
则有[m(-32)2+n(52)2=1m(3)2+n(5)2=1]，解得 [m=16,n=110.]
所求椭圆的标准方程为[x26+y210=1].
点拨 学习时，尤其要加深对椭圆的两种标准方程的比较：
[不同点&标准方程&[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]&[y2a2+x2b2=1(a>b>0)]&图形& & &焦点坐标&[F1(－c,0) ， F2(c,0)]&[F1(0,－c), F2(0,c)]&共同点&定义&第一定义与第二定义.&[a、b、c]的关系&[a2=b2+c2,a>b>0，b、c]大小不确定．&焦点的位置
的判定&[x2]、[y2]项中哪个分母大，焦点就在那一条轴上．&]
方案四、运用“离心率的定义”求椭圆的离心率
例6 已知[F1、F2]是椭圆的两个焦点，[P]是椭圆上一点，且[∠PF1F2=15°,∠PF2F1=75°]， 则椭圆的离心率为
解析 由椭圆离心率的定义，结合正弦定理，有
[e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sin90°sin75°+sin15°=sin90°sin(45∘+30°)+sin(45°-30°)=63.]
例7 若椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，则椭圆的离心率为
解析 依题意得 [(2c)2=(2a)⋅(2b)]，即[c2=ab]，
所以 [c4=a2b2⇒c4=a2(a2-c2)]．
两边同时除以[a4]，得 [e4=1-e2]．
解得 [e2=5-12]， 所以[e=5-12]．
点拨 求椭圆的离心率时，若不能直接求得[ca]的值，通常由已知条件寻求[a]、[b]、[c]的关系式，再与[a2=b2+c2]组成方程组，消去[b]，得到[a]、[c]的方程，再转化为[e]的方程求解．椭圆的离心率[e=ca∈(0,1)]，反应了椭圆的扁平程度，离心率越小椭圆越扁．
方案五、运用“整体思想”解决椭圆的中点弦问题
例8 已知椭圆[x22+y2=1]，求过点[P12，12]且被[P]平分的弦所在的直线方程．
分析一 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为[k]，利用条件求[k]．
解法一 设所求直线的斜率为[k]，则直线方程为[y-12=kx-12]．代入椭圆方程，并整理得
[1+2k2x2-2k2-2kx+12k2-k-32=0]．
由韦达定理得[x1+x2=2k2-2k1+2k2]．
∵[P]是弦中点，∴[x1+x2=1]，故得[k=-12]．
所求直线方程为[2x+4y-3=0]．
分析二 设弦两端坐标为[x1，y1]、[x2，y2]，列关于[x1]、[x2]、[y1]、[y2]的方程组，求斜率[y1-y2x1-x2].
解法二 设过[P12，12]的直线与椭圆交于[Ax1，y1]、[Bx2，y2]，则由题意得
[x212+y21=1，①x222+y22=1，②x1+x2=1，③y1+y2=1. ④]
①－②得[x21-x222+y21-y22=0]． ⑤
将③④代入⑤得[y1-y2x1-x2=-12]，即直线的斜率为[-12]．所求直线方程为[2x+4y-3=0]．
点拨 （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，用于解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是“应用韦达定理”及“点差法”．对其他二次曲线问题也适用．
方案六、利用“函数思想”解决椭圆中的范围或最值问题
例9 过椭圆[2x2+y2=2]的焦点的直线交椭圆[A、B]两点，求[△AOB]面积的最大值 ．
分析 由过椭圆焦点，写出直线[AB]方程为[y=kx+1]，与椭圆方程联立，消去[y]，得关于[x]的一元二次方程，巧妙地利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果．
解析 焦点[(0,±1)] ，设直线过焦点(0，1) ，直线方程为[y=kx+1]与[2x2+y2=2]联立 ，消去[y]， 得 [(2+k2)x2+2kx-1=0]，其两根[x1、x2]为点[A、B]的横坐标．将三角形[AOB]看作[△AOF]与[△BOF]组合而成，[OF]是公共边，它们在公共边上的高长为 [|x1-x2|]．
[∴SΔAOB=12|OF|⋅|x1-x2|]， 其中[OF=c=1]．
[∴SΔAOB=12|x1-x2|]=[12(x1+x2)2-4x1x2]
=[124k2+4(2+k2)(2+k2)2]=[2k2+1+1k2+1+2][≤22.]
当[k2+1=1k2+1]即[k=0]时取“=”，即当直线为[y=1]时，得到[△AOB]的面积最大值为[22] ．
点拨 先建立函数模型，再求函数的最值，是解决椭圆中的最值问题的最基本的方法．这里利用均值不等式求最值，关键的技巧是“配凑”．在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：①每一项要取正值；②不等式的一边为常数；③等号能够成立．其中正确应用 “等号成立”的条件是这种解法的关键．
方案七、利用“方程思想”解决直线与椭圆的综合题
例10 椭圆的两焦点坐标分别为[F1(-3,0)]和[F2(3,0)]，且椭圆过点[(1,-32)]．
（1）求椭圆方程；
（2）过点[(-65,0)]作不与[y]轴垂直的直线[l]交该椭圆于[M、N]两点，[A]为椭圆的左顶点，试判断[∠MAN]的大小是否为定值，并说明理由．
解析 （1）由题意，可求得椭圆方程为[x24+y2=1.]
(2)设直线[MN]的方程为[x=ky-65,]
联立直线[MN]和曲线[C]的方程[x=ky-65,x24+y2=1.]
消去[x]，得[(k2+4)y2-125ky-6425=0]
[Δ=(125k)2-4×(k2+4)×(-6425)=(125k)2+4×(k2+4)×6425>0,]
设[M(x1,y1), N(x2,y2), A(-2,0)]，
则[y1+y2=12k5(k2+4),][y1y2=-6425(k2+4),]
则[AM⋅AN=(x1+2,y1)⋅(x2+2,y2)]
[=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0,]
所以 [∠MAN=π2]．
点拨 （1）研究直线与椭圆的位置关系时，通过联立直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程．
①△>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；
②△=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；
③△<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．
（2）有关定值问题的探讨是近几年高考中的热点题型，常要引进参数（如上面的[k]），再通过演算推理，证明运算结果与参数无关．
例1 设定点[F1]（0，－3）、[F2]（0，3），动点[P]满足条件[PF1+PF2=a+9a(a>0)]，则点[P]的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
解析 当[a=3]时，[PF1+PF2=F1F2]，点[P]的轨迹是线段[F1F2]；
当[a>0]且[a≠3]时，[PF1+PF2>F1F2]，点[P]的轨迹是以[F1]、[F2]为焦点的椭圆．
例2 下列命题是真命题的是（ ）
A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B．到定直线[x=a2c]和定点[F(c，0)]的距离之比为[ca]的点的轨迹是椭圆
C．到定点[F(－c，0)]和定直线[x=-a2c]距离之比为[ca(a>c>0)]的点的轨迹是左半个椭圆
D．到定直线[x=a2c]和定点[F(c，0)]的距离之比为[ca(a>c>0)]的点的轨迹是椭圆
解析 由教材第47页例6（特例）与第51页的（一般性）描述知：椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]也可以定义为“平面内到定点[F(c，0)]和定直线[x=a2c]的距离之比是常数[ca(a>c>0)]的点的轨迹．”故选D．
点拨 （1）椭圆的第一定义：椭圆是平面内与两定点[F1]、[F2]的距离的和等于常数(大于[F1F2])的点的轨迹．
（2）椭圆的第二定义：平面内到定点[F(c，0)]和定直线[x=a2c]的距离之比是常数[ca(a>c>0)]的点的轨迹是椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]．点[F(c，0)]为右焦点，直线[x=a2c]为右准线．
方案二、利用“椭圆的第二定义”推导椭圆的焦半径公式
例3 椭圆[x225+y92=1]上不同三点[Ax1，y1]、[B4，95]、[Cx2，y2]与焦点[F4，0]的距离成等差数列，求证[x1+x2=8]．
证明 由椭圆方程知[a=5]，[b=3]，[c=4]．
由椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的第二定义知[AFa2c-x1=ca]，
∴[AF=a-ex1=5-45x1]．
同理[CF=5-45x2]．
∵[AF+CF=2BF]，且[BF=95]，
∴[5-45x1+5-45x2=185]，
即[x1+x2=8]．
点拨 设[P(x0,y0)]为椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]椭圆上的任一点，[F1(-c,0)]、[F2(c,0)]分别为其左、右焦点，则有
左焦半径公式[PF1=a+ex0,]
右焦半径公式[PF2=a-ex0.]
方案三、运用“待定系数法”求椭圆的标准方程
例4 已知[B、C]是两个定点，[|BC|＝6]，且[△ABC]的周长等于16，求顶点[A]的轨迹方程.
解析 以[BC]所在直线为[x]轴、[BC]中垂线为[y]轴建立直角坐标系，设[A(x,y)]，根据已知条件得[|AB|+|AC|=10.]
再根据椭圆定义得[a=5,c=3,b=4]，
所以顶点[A]的轨迹方程为
[x225+y216=1] （[y]≠0）.
例5 已知椭圆经过两点（[-32,52)与(3,5)]，求椭圆的标准方程.
解析 设椭圆的方程为[mx2+ny2=1(m>0,][n>0,][m≠n)]
则有[m(-32)2+n(52)2=1m(3)2+n(5)2=1]，解得 [m=16,n=110.]
所求椭圆的标准方程为[x26+y210=1].
点拨 学习时，尤其要加深对椭圆的两种标准方程的比较：
[不同点&标准方程&[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]&[y2a2+x2b2=1(a>b>0)]&图形& & &焦点坐标&[F1(－c,0) ， F2(c,0)]&[F1(0,－c), F2(0,c)]&共同点&定义&第一定义与第二定义.&[a、b、c]的关系&[a2=b2+c2,a>b>0，b、c]大小不确定．&焦点的位置
的判定&[x2]、[y2]项中哪个分母大，焦点就在那一条轴上．&]
方案四、运用“离心率的定义”求椭圆的离心率
例6 已知[F1、F2]是椭圆的两个焦点，[P]是椭圆上一点，且[∠PF1F2=15°,∠PF2F1=75°]， 则椭圆的离心率为
解析 由椭圆离心率的定义，结合正弦定理，有
[e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sin90°sin75°+sin15°=sin90°sin(45∘+30°)+sin(45°-30°)=63.]
例7 若椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，则椭圆的离心率为
解析 依题意得 [(2c)2=(2a)⋅(2b)]，即[c2=ab]，
所以 [c4=a2b2⇒c4=a2(a2-c2)]．
两边同时除以[a4]，得 [e4=1-e2]．
解得 [e2=5-12]， 所以[e=5-12]．
点拨 求椭圆的离心率时，若不能直接求得[ca]的值，通常由已知条件寻求[a]、[b]、[c]的关系式，再与[a2=b2+c2]组成方程组，消去[b]，得到[a]、[c]的方程，再转化为[e]的方程求解．椭圆的离心率[e=ca∈(0,1)]，反应了椭圆的扁平程度，离心率越小椭圆越扁．
方案五、运用“整体思想”解决椭圆的中点弦问题
例8 已知椭圆[x22+y2=1]，求过点[P12，12]且被[P]平分的弦所在的直线方程．
分析一 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为[k]，利用条件求[k]．
解法一 设所求直线的斜率为[k]，则直线方程为[y-12=kx-12]．代入椭圆方程，并整理得
[1+2k2x2-2k2-2kx+12k2-k-32=0]．
由韦达定理得[x1+x2=2k2-2k1+2k2]．
∵[P]是弦中点，∴[x1+x2=1]，故得[k=-12]．
所求直线方程为[2x+4y-3=0]．
分析二 设弦两端坐标为[x1，y1]、[x2，y2]，列关于[x1]、[x2]、[y1]、[y2]的方程组，求斜率[y1-y2x1-x2].
解法二 设过[P12，12]的直线与椭圆交于[Ax1，y1]、[Bx2，y2]，则由题意得
[x212+y21=1，①x222+y22=1，②x1+x2=1，③y1+y2=1. ④]
①－②得[x21-x222+y21-y22=0]． ⑤
将③④代入⑤得[y1-y2x1-x2=-12]，即直线的斜率为[-12]．所求直线方程为[2x+4y-3=0]．
点拨 （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，用于解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是“应用韦达定理”及“点差法”．对其他二次曲线问题也适用．
方案六、利用“函数思想”解决椭圆中的范围或最值问题
例9 过椭圆[2x2+y2=2]的焦点的直线交椭圆[A、B]两点，求[△AOB]面积的最大值 ．
分析 由过椭圆焦点，写出直线[AB]方程为[y=kx+1]，与椭圆方程联立，消去[y]，得关于[x]的一元二次方程，巧妙地利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果．
解析 焦点[(0,±1)] ，设直线过焦点(0，1) ，直线方程为[y=kx+1]与[2x2+y2=2]联立 ，消去[y]， 得 [(2+k2)x2+2kx-1=0]，其两根[x1、x2]为点[A、B]的横坐标．将三角形[AOB]看作[△AOF]与[△BOF]组合而成，[OF]是公共边，它们在公共边上的高长为 [|x1-x2|]．
[∴SΔAOB=12|OF|⋅|x1-x2|]， 其中[OF=c=1]．
[∴SΔAOB=12|x1-x2|]=[12(x1+x2)2-4x1x2]
=[124k2+4(2+k2)(2+k2)2]=[2k2+1+1k2+1+2][≤22.]
当[k2+1=1k2+1]即[k=0]时取“=”，即当直线为[y=1]时，得到[△AOB]的面积最大值为[22] ．
点拨 先建立函数模型，再求函数的最值，是解决椭圆中的最值问题的最基本的方法．这里利用均值不等式求最值，关键的技巧是“配凑”．在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：①每一项要取正值；②不等式的一边为常数；③等号能够成立．其中正确应用 “等号成立”的条件是这种解法的关键．
方案七、利用“方程思想”解决直线与椭圆的综合题
例10 椭圆的两焦点坐标分别为[F1(-3,0)]和[F2(3,0)]，且椭圆过点[(1,-32)]．
（1）求椭圆方程；
（2）过点[(-65,0)]作不与[y]轴垂直的直线[l]交该椭圆于[M、N]两点，[A]为椭圆的左顶点，试判断[∠MAN]的大小是否为定值，并说明理由．
解析 （1）由题意，可求得椭圆方程为[x24+y2=1.]
(2)设直线[MN]的方程为[x=ky-65,]
联立直线[MN]和曲线[C]的方程[x=ky-65,x24+y2=1.]
消去[x]，得[(k2+4)y2-125ky-6425=0]
[Δ=(125k)2-4×(k2+4)×(-6425)=(125k)2+4×(k2+4)×6425>0,]
设[M(x1,y1), N(x2,y2), A(-2,0)]，
则[y1+y2=12k5(k2+4),][y1y2=-6425(k2+4),]
则[AM⋅AN=(x1+2,y1)⋅(x2+2,y2)]
[=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0,]
所以 [∠MAN=π2]．
点拨 （1）研究直线与椭圆的位置关系时，通过联立直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程．
①△>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；
②△=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；
③△<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．
（2）有关定值问题的探讨是近几年高考中的热点题型，常要引进参数（如上面的[k]），再通过演算推理，证明运算结果与参数无关．