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在学习等腰三角形时经常会遇到这样一个命题：“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.”下面让我们一起来对此命题进行探索.
一、命题的证明
已知：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，求证： r1+r2=h.
思路分析：由题目已知可以发现：图中有三条高，有高即可联想面积，故本题可利用面积法进行证明.
证明：连接AP，则
S△ABP+S△ACP=S△ABC
，
所以12 AB·r1+
12AC·r2=
12AB·h.因为AB=AC.
所以r1+r2=h.
同理，如图2、图3，当∠BAC为直角、钝角时，命题同样成立，我们把此命题的结论称为基本结论.
二、命题的应用
例1如图4，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=EC，F为CE上一点，CE于M，FM⊥BC于N，求FM+FN的长.
分析与解：由题意可知：△
BCE是顶角为锐角的等腰三角形，F为底边CE上的一点，过点E作 ，垂足为G，运用基本结论可得：FM+FN=EG.
在等腰直角三角形BGE中： BE=BC=3
所以EG=32
=322，
即：
FM+FN=32
2.
例2如图5，在正方形ABCD中，边长为1，P为BC边上一点，PF⊥AC于点F，PE⊥BD于点E，求PE+PF的值.
分析与解：由正方形ABCD可知： 为等腰直角三角形，点P为底边BC上的一点，运用基本结论可得：
因为BC=1，所以OB=22 ，
即：PE+PF=22 .
例3如图6，已知，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为BC边上任意一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，E、F分别为垂足，则PE+PF的值为（ ）
（A） 125（B） 2（C） 52（D） 135
分析与解：由矩形的性质可知：
△OBC是顶角为钝角的等腰三角形，点P为底边BC上的一点，过点B作
BH⊥CA，垂足为H，运用基本结论可得：PE+PF=BH，
在Rt△ABC中，运用面积法可得：
S△ABC=12
AB·BC=12AC·BH，
即： 12
×3×4=12
×5×BH，
所以BH=125.
故选（A）.
三、命题的类比
类比1： 在基本结论中，如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，点P的位置由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”（如图7），即：已知等边 内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明
r1+r2+r3=h（定值）.
思路分析：类比原命题的证明思路和“高不离积”：（有高即想面积）的原则，可连接PA、PB、PC，把 分成三个部分，这三个三角形的面积之和即为
△ABC的面积.
即：
12AB·r3+
12BC·r1+
12AC·r2=
12
BC·h，
因为AB=BC=AC，
所以r1+r2+r3=h.
类比2：
若正边形A1，A2，…，An内部任意一点P到各边的距离为
r1r2…rn，
则r1+r2+…+rn是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值.
思路分析：当正n边形为等边三角形时，
r1+r2+r3为其内切圆半径的3倍；当正n边形为正方形时，
r1+r2+r3+r4
的值为其内切圆半径的4倍；……，故猜想
r1+r2+…+rn的值为其内切圆半径的n倍.
四、命题的推广
推广1：
如图8，如果把“等腰三角形底边上的任意一点”改为“等腰三角形底边延长线上的任意一点”那么点P到两腰的距离r1、r2与一腰上的高h又有何关系呢？
思路分析：同样的，我们可以考虑运用面积法进行探究，如图，连接AP，把r1、r2、h分别视为
△PAB、△PAC、△CAB的高，则：
因为S△PAB=S△CAB+S△PAC
因为12AB·r1=
12AB·h+
12
AC·r2.
因为 AB=AC，
所以r1=h+r2，即： h=r1-r2.
推广2：
如图9，如果把类比中“等边三角形内的任意一点”改为“等边三角形外的任意一点”那么点P到各边的距离分别为
r1，r2，r3与等边△ABC一边上的高h之间有何关系呢？
思路分析：分别连接
PA、PB、PC则：
S△PAB+S△PABC
=S△ABC+S△PAC=S四边形PABC.
即：12AB·r1+
12BC·r2
=12BC·h+
12AC·r3.
因为AB=BC=AC
所以 r1+r2=h+r3，
所以 h=r1+r2-r3.
从等腰三角形中一个命题的证明——应用——推广——类比可以发现：学习的过程实际上就是一个探索的过程，通过对熟悉命题的不断深入的探究，不仅能增强我们对命题的应用意识，而且能提升我们研究问题、解决问题的能力，常此以往，对我们的学习一定会有帮助.
一、命题的证明
已知：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，求证： r1+r2=h.
思路分析：由题目已知可以发现：图中有三条高，有高即可联想面积，故本题可利用面积法进行证明.
证明：连接AP，则
S△ABP+S△ACP=S△ABC
，
所以12 AB·r1+
12AC·r2=
12AB·h.因为AB=AC.
所以r1+r2=h.
同理，如图2、图3，当∠BAC为直角、钝角时，命题同样成立，我们把此命题的结论称为基本结论.
二、命题的应用
例1如图4，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=EC，F为CE上一点，CE于M，FM⊥BC于N，求FM+FN的长.
分析与解：由题意可知：△
BCE是顶角为锐角的等腰三角形，F为底边CE上的一点，过点E作 ，垂足为G，运用基本结论可得：FM+FN=EG.
在等腰直角三角形BGE中： BE=BC=3
所以EG=32
=322，
即：
FM+FN=32
2.
例2如图5，在正方形ABCD中，边长为1，P为BC边上一点，PF⊥AC于点F，PE⊥BD于点E，求PE+PF的值.
分析与解：由正方形ABCD可知： 为等腰直角三角形，点P为底边BC上的一点，运用基本结论可得：
因为BC=1，所以OB=22 ，
即：PE+PF=22 .
例3如图6，已知，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为BC边上任意一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，E、F分别为垂足，则PE+PF的值为（ ）
（A） 125（B） 2（C） 52（D） 135
分析与解：由矩形的性质可知：
△OBC是顶角为钝角的等腰三角形，点P为底边BC上的一点，过点B作
BH⊥CA，垂足为H，运用基本结论可得：PE+PF=BH，
在Rt△ABC中，运用面积法可得：
S△ABC=12
AB·BC=12AC·BH，
即： 12
×3×4=12
×5×BH，
所以BH=125.
故选（A）.
三、命题的类比
类比1： 在基本结论中，如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，点P的位置由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”（如图7），即：已知等边 内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明
r1+r2+r3=h（定值）.
思路分析：类比原命题的证明思路和“高不离积”：（有高即想面积）的原则，可连接PA、PB、PC，把 分成三个部分，这三个三角形的面积之和即为
△ABC的面积.
即：
12AB·r3+
12BC·r1+
12AC·r2=
12
BC·h，
因为AB=BC=AC，
所以r1+r2+r3=h.
类比2：
若正边形A1，A2，…，An内部任意一点P到各边的距离为
r1r2…rn，
则r1+r2+…+rn是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值.
思路分析：当正n边形为等边三角形时，
r1+r2+r3为其内切圆半径的3倍；当正n边形为正方形时，
r1+r2+r3+r4
的值为其内切圆半径的4倍；……，故猜想
r1+r2+…+rn的值为其内切圆半径的n倍.
四、命题的推广
推广1：
如图8，如果把“等腰三角形底边上的任意一点”改为“等腰三角形底边延长线上的任意一点”那么点P到两腰的距离r1、r2与一腰上的高h又有何关系呢？
思路分析：同样的，我们可以考虑运用面积法进行探究，如图，连接AP，把r1、r2、h分别视为
△PAB、△PAC、△CAB的高，则：
因为S△PAB=S△CAB+S△PAC
因为12AB·r1=
12AB·h+
12
AC·r2.
因为 AB=AC，
所以r1=h+r2，即： h=r1-r2.
推广2：
如图9，如果把类比中“等边三角形内的任意一点”改为“等边三角形外的任意一点”那么点P到各边的距离分别为
r1，r2，r3与等边△ABC一边上的高h之间有何关系呢？
思路分析：分别连接
PA、PB、PC则：
S△PAB+S△PABC
=S△ABC+S△PAC=S四边形PABC.
即：12AB·r1+
12BC·r2
=12BC·h+
12AC·r3.
因为AB=BC=AC
所以 r1+r2=h+r3，
所以 h=r1+r2-r3.
从等腰三角形中一个命题的证明——应用——推广——类比可以发现：学习的过程实际上就是一个探索的过程，通过对熟悉命题的不断深入的探究，不仅能增强我们对命题的应用意识，而且能提升我们研究问题、解决问题的能力，常此以往，对我们的学习一定会有帮助.