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【摘要】本文分析了多元函数在不同的教材以及参考书中所表现出的不同方向导数定义形式，同时对不同方向导数描述的方式、定义以及相互之间的关系进行了分析与阐述，最后通过大量资料文献查阅，对多元微积分中的方向导数间不同的定义进行了深入探讨.旨在帮助其他人更好地、更全面地认识多元微积分中不同的方向导数定义.
【关键词】多元微积分；方向导数；不同定义
一、研究背景
在日常生活、学习与工作中均会涉及一定的方向导数方法研究、应用理论等.但因为各地区使用的方向导数教材、参考书等不同，且这些教材、参考书对于方向导数有着不同的描述方式与定义形式，因而，学生在具体的学习中很难快速、有效地将方向导数掌握到位.基于此，我们从课程教学实践出发，需针对教材、参考书关于方向导数不同的描述与定义形式，选择不同的角度进行分析，此外还应不断强化教学内容知识点同现实生活实际间的联系，只有满足生活实际需求，才能够让学生更准确、更积极地去学习相关知识与理论，也只有这样才能够引导他们更主动、更深入地去探讨相关问题，树立起学习自信心.
在探讨多元微积分中方向导数的不同定义之前，学生应对于多元微积分的相关含义、理论等有一定了解.诸如，单就一元函数而言，只要掌握了基本的Newton-Leibniz公式，便意味着已经掌握了全部的微积分概念.这是因为在这一公式中除了包含基本的微分、积分关系以外，还蕴藏着人们对这一公式基本的微积分定理.而从多元函数的角度出发，在多元函数中同样包含积分、微分等概念，学生只需要对这些概念有一个基本了解，便能够联系起其他有关联的公式.我们通过分析Newton-Leibniz这一公式便能够发现一些问题，如在Newton-Leibniz公式应用过程中，函数区间的便捷值实质上等同函数微分在同一区间内部上的积分.随后遵循这一分析原理便能够得出，在同一个平面上微积分基本的定理遵循着Green公式，并且从空间情形出发，遵循这一公式就显得非常有必要，即在曲面之上，微积分基本的定理应当是Stckes公式，通过实践验证也是如此，因而，在具体研究方向导数不同定义以前，必须对相关的多元微积分函数有一定了解.
二、分析不同定义
（一）定义一
设二元函数为f（x，y），在点（x0，y0）某领域内有专门定义，单位向量u=（a，b），此时定义方向导数则为以下公式：
fu（x0，y0）=limρ→0f（x0 ρa，y0 ρb）-f（x0，y0）ρ.
从上述公式定义中我们可以看出，此定义很容易推广并得到n元函数（n≥3）的方向导数定义.
（二）定义二
设二元函数为f（x，y），其在点（x0，y0）某邻域内有专门定义，即当向量u对应的是单位向量u={cosα，cosβ}，且α与β均是向量u的方向角.此时，定义函数f（x，y）是在点（x0，y0）沿着方向u，则得到的方向导数为以下公式：
Duf（x0，y0）=limρ→0f（x0 ρcosα，y0 ρcosβ）-f（x0，y0）ρ.
在这一公式中ρ可以是正也可以是负.当ρ>0时，即表示的是自变量从（x0，y0）方向沿着u方向移动的实际距离；当ρ<0时，即表示的是自变量沿着u的反方向移动的实际距离.
（三）定义三
同上述定义二的前提条件一样，所获得的定义方向导数为以下公式：
fu（x0，y0）=limρ→0 f（x0 ρcosα，y0 ρcosβ）-f（x0，y0）ρ.
从上述公式中可以看出，ρ所表示的是自变量沿着（x0，y0）方向向u方向移动的实际距离.
三、不同定义间的对比
本文研究与探讨多元微积分中方向导数最根本的目的在于从不同的角度分析与掌握多元函数变化的方向与变化率，即了解在不同变化因素下度量事物呈现出怎样一个发展趋势.通常情况下，单对二元函数来讲，若其所代表的曲面是简单的平滑曲面，那么通过对以上三个定义的利用便能够将相应的函数公式以及其是按照怎样的方向进行变化的信息获取到.
从上文中提到的三個定义式中我们可以看出，无论是哪一个定义式的极限值均反映的是某一个函数是如何沿着u方向进行变化的及其相关变化率.虽然从数学理论的角度出发探讨定义一和定义二可以看出它们在形式上很容易便能够同偏导数定义间结合起来进行应用.而这一结合应用又可以看成是一种偏导数定义的推广形式，在此中偏导数更多的是沿着函数两个特定的方向移动并获得方向导数.然后，结合生活实际我们又会发现此中存在一些问题，如，当我们需要沿着某一个过渡不平整的地势方向或者存在断崖的地势进行研究与分析时，会发现定义一和定义二在应用过程中还存在一些问题是无法将这一生活实际问题妥善解决的，进而便需要应用到定义三，这是因为定义三从实际出发能够更好地解释上述问题.
∫（x，y）=x2 y2.（1）
当我们需要对表示上锥面二元函数进行探讨时，首先应探讨的是原点（0，0）是沿着怎样不同的方向进行变化及变化率.通过对定义一、定义二的利用我们能够发现二元函数f（x，y）无论是沿着怎样的方向，其中涉及的方向导数均不存在.然而，我们又围绕实际生活出发对相关问题进行探讨可以发现，当所面对的是一个连续曲面时，所得到的结论明显是错误的.但若按照定义三进行分析，那么问题便能够得到妥善处理.这是因为在原点（0，0）位置上，二元函数f（x，y）无论是沿着怎样的方向进行变化，其最终都可以得到准确的函数变化率，且得到的变化率均等于1.
但需要注意的是这一定义并不能够同偏导数的定义有效衔接到一起，这便是定义三主要的缺陷所在，但是其和偏导数都是沿着坐标轴的正方向位置进行变化的，且所得到的变化率与偏导数是一样的.显然这一结论对于解决生活实际中的问题意义重大.正因如此，在多元微积分教学中应当围绕生活实际开展教学活动，教学的重点也应当围绕实际问题进行.而通过对上述三个定义的观察与分析，最适合应用于解决生活实际问题的便是定义三，这是因为其更贴近学生生活实际，更契合学生基本的社会认知能力. 四、注意事项
针对不同教材及参考书中针对多元微积分方向导数所给出的定义不同，我们针对不同定义对方向导数在计算条件充分的情况下，如何快速进行计算以及相关的计算方式进行了分析与探讨.本文将要以二元函数为案例进行分析，若函数f（x，y）是在（x，y）所处的位置上，那么函数在（x，y）这一点上是朝着u的任意方向进行移动，并获得相关方向导数的，正如以下公式：
fu（x，y）=fx′（x，y）cosα fy′（x，y）cosβ.（2）
在以上公式中可以看出cosα与cosβ是向量u方向的余弦.但这一环节需要引起重视的便是：在应用以上公式进行函数方向导数计算时，其前提条件便是函数可微.但是，从教学实践出发，即便函数不是可微的，甚至其中涉及的两个偏导数均不存在，均不会影响到函数方向导数，即函数方向导数都有可能存在，而针对这一情况想要计算出函数方向导数，则需要利用专门的定义式来计算和分析.如，当二元函数（1）在原点（0，0）的位置上不可微，那么两个偏导数显然是不存在的，而此时应当按照定义三对这一函数有关的原点位置是否是朝着任意方向进行移动的进行验证，即相关的方向导数全部存在，且都为1.但是，函数只要是沿着某一个方向移动，且方向导数不存在，这便意味着函数不可微.一旦出现函数不可微的情况，在方向导数计算时便需要使用到（2）这一公式进行计算，并且其所获得的函数如下：
f（x，y）=ρsinθ，（x，y）∈D1，
1，（x，y）∈D1，
0，（x，y）∈D2.
从上式中可以看出，D1所代表的是心形线ρ=1-cosθ内部，D2所代表的是心形线ρ=1-cosθ外部，并且最终获得结果并不在x轴之上，D3所代表的是x轴，此中ρ所表示的是（x，y）点到原点间的距离.这一函数是从沿着原点位置的任意方向移动的，且u0=（cosα，cosβ）点位上的偏导数以及方向导数均是存在的，此外当α=θ，β=π2-θ时，所得到的公式如下：
fx′（0，0）cosα fy′cosβ=0·cosθ 1·sinθ=sinθ.
然而，这一函数在原点的位置不可微.当函数是朝着某一点位置向任意方向移动，且方向导数均存在，那么函数在这一点位上能否连续进行，一时间难以确定，正如以下函数：
f（x，y）=y3x，x≠0，0，x=0.
针对原点（0，0）的位置应当是沿着任意方向移动，且方向导数均存在，但是我们通过截取两条不同的路径进行分析，如，当x=y3，y=0时，便可以判定出当这一函数f（x，y）移动到（0，0）的位置时，不存在极限，由此可见这一函数所处的原点并不连续.此外，即便函数是连续且沿着任意方向移动，但最终得到的方向导数也不一定存在，如以下函数：
f（x，y）=（x y）sin1（x2 y2），（x，y）≠（0，0），0，（x，y）≠（0，0），
如果函数在原点（0，0）的位置上保持连续，但在原点位置上除了y=-x以外，其沿着任何一个方向移动，方向导数均不存在.
即便是偏导数存在也只能够大体获悉函数是沿着坐标轴的方向在移动，如，正方向涉及的方向导数实质上所对应的是偏导数，负方向则对应的是偏导数的相反数，此时存在方向导数，但也仅能够得到这些条件，并不能够将其他的方向导数推导出来，如以下函数：
f（x，y）=xy（x2 y2）2，（x，y）≠（0，0），0，（x，y）=（0，0）.
除了存在基本的坐标轴方向及其方向导数以外，沿着其他方向移动的过程中便不存在任何一个方向导数.由此可知，函数在某一点位置上的两个方向导数均是存在的，这便无法使用到公式（2）将其他方向移动的方向导数计算出来.另外，还应当明白全微分与方向导数间的关系，从我们了解到的高等数学教材（同济版）中可以看出，当函数z=f（x，y）时，其在（x，y）点上可微，此时当函数是沿着任意一个方向移动时，存在方向导数，反之亦反.本文结合二元函数在（x，y）点上的任意一个方向前行所获得的方向导数均存在，但这并不意味着能够确保函数在这一点上的全微分是存在的.针对这一情况，只要教师在课堂上简单讲述一下，学生便能够快速理解到.
五、总 结
综上所示，首先，本文结合生活学习实践，针对不同多元微积分教材与参考书中所给出的方向导数不同的定义进行了研究，从三种定义出发探讨了其应用在实际解题中的状况以及其中存在的一些问题.然后，对三种定义进行了一系列对比分析.最后，結合工作实践阐述了一些需要注意的内容与事项，主要目的是为了让学生更加全面且充分地掌握不同形式的多元微积分方向导数的解题方式，但准确掌握方向导数不同定义的前提在于学生能够充分了解多元微积分的相关含义和理论.
【参考文献】
[1]刘雄伟.多元微积分中方向导数不同定义的分析与探讨[J].湖南人文科技学院学报，2013（2）：36-38.
[2]张千祥，陈佩树，李海燕.方向导数与三个常用概念关系的研究[J].池州学院学报，2015（3）：40-41.
[3]王文武.新的差分方法及其应用[D].济南：山东大学，2016.
[4]殷炜栋.微积分教学中的反例[J].浙江科技学院学报，2014（3）：232-235.
[5]王京新.在教授多元微积分中如何开发学生的智能[J].内江科技，2011（12）：73.
[6]王琳倩.分数阶微积分在图像处理中的研究[D].华北电力大学，2014.
[7]赵建彬，朱华.研究性教学方法在微积分课程教学中的应用[J].高等函授学报（自然科学版），2012（1）：11-12.
【关键词】多元微积分；方向导数；不同定义
一、研究背景
在日常生活、学习与工作中均会涉及一定的方向导数方法研究、应用理论等.但因为各地区使用的方向导数教材、参考书等不同，且这些教材、参考书对于方向导数有着不同的描述方式与定义形式，因而，学生在具体的学习中很难快速、有效地将方向导数掌握到位.基于此，我们从课程教学实践出发，需针对教材、参考书关于方向导数不同的描述与定义形式，选择不同的角度进行分析，此外还应不断强化教学内容知识点同现实生活实际间的联系，只有满足生活实际需求，才能够让学生更准确、更积极地去学习相关知识与理论，也只有这样才能够引导他们更主动、更深入地去探讨相关问题，树立起学习自信心.
在探讨多元微积分中方向导数的不同定义之前，学生应对于多元微积分的相关含义、理论等有一定了解.诸如，单就一元函数而言，只要掌握了基本的Newton-Leibniz公式，便意味着已经掌握了全部的微积分概念.这是因为在这一公式中除了包含基本的微分、积分关系以外，还蕴藏着人们对这一公式基本的微积分定理.而从多元函数的角度出发，在多元函数中同样包含积分、微分等概念，学生只需要对这些概念有一个基本了解，便能够联系起其他有关联的公式.我们通过分析Newton-Leibniz这一公式便能够发现一些问题，如在Newton-Leibniz公式应用过程中，函数区间的便捷值实质上等同函数微分在同一区间内部上的积分.随后遵循这一分析原理便能够得出，在同一个平面上微积分基本的定理遵循着Green公式，并且从空间情形出发，遵循这一公式就显得非常有必要，即在曲面之上，微积分基本的定理应当是Stckes公式，通过实践验证也是如此，因而，在具体研究方向导数不同定义以前，必须对相关的多元微积分函数有一定了解.
二、分析不同定义
（一）定义一
设二元函数为f（x，y），在点（x0，y0）某领域内有专门定义，单位向量u=（a，b），此时定义方向导数则为以下公式：
fu（x0，y0）=limρ→0f（x0 ρa，y0 ρb）-f（x0，y0）ρ.
从上述公式定义中我们可以看出，此定义很容易推广并得到n元函数（n≥3）的方向导数定义.
（二）定义二
设二元函数为f（x，y），其在点（x0，y0）某邻域内有专门定义，即当向量u对应的是单位向量u={cosα，cosβ}，且α与β均是向量u的方向角.此时，定义函数f（x，y）是在点（x0，y0）沿着方向u，则得到的方向导数为以下公式：
Duf（x0，y0）=limρ→0f（x0 ρcosα，y0 ρcosβ）-f（x0，y0）ρ.
在这一公式中ρ可以是正也可以是负.当ρ>0时，即表示的是自变量从（x0，y0）方向沿着u方向移动的实际距离；当ρ<0时，即表示的是自变量沿着u的反方向移动的实际距离.
（三）定义三
同上述定义二的前提条件一样，所获得的定义方向导数为以下公式：
fu（x0，y0）=limρ→0 f（x0 ρcosα，y0 ρcosβ）-f（x0，y0）ρ.
从上述公式中可以看出，ρ所表示的是自变量沿着（x0，y0）方向向u方向移动的实际距离.
三、不同定义间的对比
本文研究与探讨多元微积分中方向导数最根本的目的在于从不同的角度分析与掌握多元函数变化的方向与变化率，即了解在不同变化因素下度量事物呈现出怎样一个发展趋势.通常情况下，单对二元函数来讲，若其所代表的曲面是简单的平滑曲面，那么通过对以上三个定义的利用便能够将相应的函数公式以及其是按照怎样的方向进行变化的信息获取到.
从上文中提到的三個定义式中我们可以看出，无论是哪一个定义式的极限值均反映的是某一个函数是如何沿着u方向进行变化的及其相关变化率.虽然从数学理论的角度出发探讨定义一和定义二可以看出它们在形式上很容易便能够同偏导数定义间结合起来进行应用.而这一结合应用又可以看成是一种偏导数定义的推广形式，在此中偏导数更多的是沿着函数两个特定的方向移动并获得方向导数.然后，结合生活实际我们又会发现此中存在一些问题，如，当我们需要沿着某一个过渡不平整的地势方向或者存在断崖的地势进行研究与分析时，会发现定义一和定义二在应用过程中还存在一些问题是无法将这一生活实际问题妥善解决的，进而便需要应用到定义三，这是因为定义三从实际出发能够更好地解释上述问题.
∫（x，y）=x2 y2.（1）
当我们需要对表示上锥面二元函数进行探讨时，首先应探讨的是原点（0，0）是沿着怎样不同的方向进行变化及变化率.通过对定义一、定义二的利用我们能够发现二元函数f（x，y）无论是沿着怎样的方向，其中涉及的方向导数均不存在.然而，我们又围绕实际生活出发对相关问题进行探讨可以发现，当所面对的是一个连续曲面时，所得到的结论明显是错误的.但若按照定义三进行分析，那么问题便能够得到妥善处理.这是因为在原点（0，0）位置上，二元函数f（x，y）无论是沿着怎样的方向进行变化，其最终都可以得到准确的函数变化率，且得到的变化率均等于1.
但需要注意的是这一定义并不能够同偏导数的定义有效衔接到一起，这便是定义三主要的缺陷所在，但是其和偏导数都是沿着坐标轴的正方向位置进行变化的，且所得到的变化率与偏导数是一样的.显然这一结论对于解决生活实际中的问题意义重大.正因如此，在多元微积分教学中应当围绕生活实际开展教学活动，教学的重点也应当围绕实际问题进行.而通过对上述三个定义的观察与分析，最适合应用于解决生活实际问题的便是定义三，这是因为其更贴近学生生活实际，更契合学生基本的社会认知能力. 四、注意事项
针对不同教材及参考书中针对多元微积分方向导数所给出的定义不同，我们针对不同定义对方向导数在计算条件充分的情况下，如何快速进行计算以及相关的计算方式进行了分析与探讨.本文将要以二元函数为案例进行分析，若函数f（x，y）是在（x，y）所处的位置上，那么函数在（x，y）这一点上是朝着u的任意方向进行移动，并获得相关方向导数的，正如以下公式：
fu（x，y）=fx′（x，y）cosα fy′（x，y）cosβ.（2）
在以上公式中可以看出cosα与cosβ是向量u方向的余弦.但这一环节需要引起重视的便是：在应用以上公式进行函数方向导数计算时，其前提条件便是函数可微.但是，从教学实践出发，即便函数不是可微的，甚至其中涉及的两个偏导数均不存在，均不会影响到函数方向导数，即函数方向导数都有可能存在，而针对这一情况想要计算出函数方向导数，则需要利用专门的定义式来计算和分析.如，当二元函数（1）在原点（0，0）的位置上不可微，那么两个偏导数显然是不存在的，而此时应当按照定义三对这一函数有关的原点位置是否是朝着任意方向进行移动的进行验证，即相关的方向导数全部存在，且都为1.但是，函数只要是沿着某一个方向移动，且方向导数不存在，这便意味着函数不可微.一旦出现函数不可微的情况，在方向导数计算时便需要使用到（2）这一公式进行计算，并且其所获得的函数如下：
f（x，y）=ρsinθ，（x，y）∈D1，
1，（x，y）∈D1，
0，（x，y）∈D2.
从上式中可以看出，D1所代表的是心形线ρ=1-cosθ内部，D2所代表的是心形线ρ=1-cosθ外部，并且最终获得结果并不在x轴之上，D3所代表的是x轴，此中ρ所表示的是（x，y）点到原点间的距离.这一函数是从沿着原点位置的任意方向移动的，且u0=（cosα，cosβ）点位上的偏导数以及方向导数均是存在的，此外当α=θ，β=π2-θ时，所得到的公式如下：
fx′（0，0）cosα fy′cosβ=0·cosθ 1·sinθ=sinθ.
然而，这一函数在原点的位置不可微.当函数是朝着某一点位置向任意方向移动，且方向导数均存在，那么函数在这一点位上能否连续进行，一时间难以确定，正如以下函数：
f（x，y）=y3x，x≠0，0，x=0.
针对原点（0，0）的位置应当是沿着任意方向移动，且方向导数均存在，但是我们通过截取两条不同的路径进行分析，如，当x=y3，y=0时，便可以判定出当这一函数f（x，y）移动到（0，0）的位置时，不存在极限，由此可见这一函数所处的原点并不连续.此外，即便函数是连续且沿着任意方向移动，但最终得到的方向导数也不一定存在，如以下函数：
f（x，y）=（x y）sin1（x2 y2），（x，y）≠（0，0），0，（x，y）≠（0，0），
如果函数在原点（0，0）的位置上保持连续，但在原点位置上除了y=-x以外，其沿着任何一个方向移动，方向导数均不存在.
即便是偏导数存在也只能够大体获悉函数是沿着坐标轴的方向在移动，如，正方向涉及的方向导数实质上所对应的是偏导数，负方向则对应的是偏导数的相反数，此时存在方向导数，但也仅能够得到这些条件，并不能够将其他的方向导数推导出来，如以下函数：
f（x，y）=xy（x2 y2）2，（x，y）≠（0，0），0，（x，y）=（0，0）.
除了存在基本的坐标轴方向及其方向导数以外，沿着其他方向移动的过程中便不存在任何一个方向导数.由此可知，函数在某一点位置上的两个方向导数均是存在的，这便无法使用到公式（2）将其他方向移动的方向导数计算出来.另外，还应当明白全微分与方向导数间的关系，从我们了解到的高等数学教材（同济版）中可以看出，当函数z=f（x，y）时，其在（x，y）点上可微，此时当函数是沿着任意一个方向移动时，存在方向导数，反之亦反.本文结合二元函数在（x，y）点上的任意一个方向前行所获得的方向导数均存在，但这并不意味着能够确保函数在这一点上的全微分是存在的.针对这一情况，只要教师在课堂上简单讲述一下，学生便能够快速理解到.
五、总 结
综上所示，首先，本文结合生活学习实践，针对不同多元微积分教材与参考书中所给出的方向导数不同的定义进行了研究，从三种定义出发探讨了其应用在实际解题中的状况以及其中存在的一些问题.然后，对三种定义进行了一系列对比分析.最后，結合工作实践阐述了一些需要注意的内容与事项，主要目的是为了让学生更加全面且充分地掌握不同形式的多元微积分方向导数的解题方式，但准确掌握方向导数不同定义的前提在于学生能够充分了解多元微积分的相关含义和理论.
【参考文献】
[1]刘雄伟.多元微积分中方向导数不同定义的分析与探讨[J].湖南人文科技学院学报，2013（2）：36-38.
[2]张千祥，陈佩树，李海燕.方向导数与三个常用概念关系的研究[J].池州学院学报，2015（3）：40-41.
[3]王文武.新的差分方法及其应用[D].济南：山东大学，2016.
[4]殷炜栋.微积分教学中的反例[J].浙江科技学院学报，2014（3）：232-235.
[5]王京新.在教授多元微积分中如何开发学生的智能[J].内江科技，2011（12）：73.
[6]王琳倩.分数阶微积分在图像处理中的研究[D].华北电力大学，2014.
[7]赵建彬，朱华.研究性教学方法在微积分课程教学中的应用[J].高等函授学报（自然科学版），2012（1）：11-12.