【摘 要】本文引入了格蕴涵代数的强LI -理想､素强LI-理想的概念,并研究了它们的一些相关性质.
　　 【关键词】 格蕴涵代数 强LI-理想 素强LI-理想
　　
　　 1. 引 言
　　 在计算机科学和模糊信息论的研究中,非经典逻辑学有着广泛的应用,并引起了很多学者的关注.在[1]中,概括地介绍了非经典逻辑学,并在格上给出了很多有价值的逻辑系统.在[2]中,研究了格蕴涵代数的LI-理想的定义及一些相关的性质.在[3]中, 定义了格蕴涵代数的素LI-理想,并做了进一步的探讨.本文在此基础上,引入格蕴涵代数的强LI-理想和素强LI-理想,同时也研究了它们的一些性质.
　　 2. 预备知识
　　 定义1 设(L,∨,∧,0,1)是一个有界格.→和 ′是 L上的二元代数,如果?坌x,y,z∈L,满足:
　　 (I1) x → (y→z) = y → (x → z),
　　 (I2) x → x = 1,
　　 (I3) x → y = y′ → x′,
　　 (I4) x → y = y → x = 1 ?圯 x = y,
　　 (I5) (x → y) → y = (y → x) → x,
　　 (L6) (x∨y) → z = (x → z)∧(y → z),
　　 (L6) (x∧y) → z = (x → z)∨(y → z),
　　 则称(L,∨,∧,0,1)是格蕴涵代数.
　　 在(L,∨,∧,0,1)中,规定x≤y,等价于x → y = 1,因此,下面的结论是成立的:
　　 (1) 0 → x = 1,x → 0 = x′,1 → x = x和x → 1 = 1,
　　 (2) 由x≤y,得到y → z≤x→z和z→x≤ z → y,
　　 (3) x → y ≤ (y → z) → (x → z),
　　 (4) x ≤ (x → y) → y,
　　 (5) ((x → y) → y) → y = x → y,
　　 (6) x∨y = (x → y) → y和x∧y = ((x′→ y′) → y′)′
　　 在(L,∨,∧,0,1)中,下面的结论是等价的:
　　 (7) x → (x → y) = x → y,
　　 (8) x → (y → z) = (x → y) → (x → z),
　　 (9) x → (y → z) = (x∧y) → z,
　　 (10) (x → y) → x = x,
　　 (11) x∨y∨((x∧y) → z) = 1.
　　 定义2 设(L,∨,∧,0,1)是一个格蕴涵代数,若存在一个非空子集合I?哿L,满足:
　　 (I1) 0∈I,
　　 (I2) 若(x → y)′∈I和y∈I,则x∈I,
　　 则称I是L的LI-理想.
　　 定理1 设I是格蕴涵代数L的LI-理想, 且x≤y和y∈I,则x∈I.
　　 定理2 设I是格蕴涵代数L的一个非空子集合, ?坌x,y∈I,z∈I,则I 是格蕴涵代数L的LI-理想等价于(z→x)′≤ y可以推导出z∈I.
　　 3. 强LI-理想
　　 定义3 设(L,∨,∧,0,1)是一个格蕴涵代数,若存在一个非空子集合I?哿L,满足:
　　 (LI1) 0∈I,
　　 (SL1) 若(x → y)′∩I = ?准和y∈I,则x∈I,
　　 则称I是格蕴涵代数L的强LI-理想.
　　
　　 例1 设L = {0,a,b,1}是一个集合,如果?坌x,y∈L,运算率满足下表
　　
　　
　　 且规定∨和∧的运算率为:
　　 x∨y = (x → y) → y,x∧y = ((x′→y′)→y)′.
　　 显然,(L,∨,∧,→,′)是一个格蕴涵代数,而I1={0},I2 = {0,a},I3 = {0,b}是LI-理想, 同时,容易验证I2 = {0,a},I3 = {0,b},I4 = {0,1}是强LI-理想.
　　 定理3 如果{Iλ|λ∈A}是格蕴涵代数L的一个强 LI-理想族, 那么,该族是 Iλ.
　　 证明 显然,0∈ Iλ.
　　 令x,y∈L,满足(x→y)′I Iλ≠ ?准,且y∈ Iλ,则?坌λ∈A,(x→y)′I(Iλ)≠ ?准,且y∈Iλ,
　　 由(SL1),对于?坌λ∈A,得x∈Iλ. 所以λ∈ Iλ.
　　 定理4 如果{Iλ|λ∈A}是格蕴涵代数L的一个强 LI-理想族, 那么
　　 (1) I是格蕴涵代数L的子蕴涵格.
　　 (2) I是格蕴涵代数L的强LI-理想.
　　 证明 (1)令x,y∈L,a∈(x→y)′∈L根据定理2,得(x→y)′≤ x,由定理1,又可知a≤x,依次类推.
　　 (2)令x,y∈L,使(x→y)′≤ I且y∈I.任取a∈(x→y)′,存在b∈I,满足a ≤ b,依次类推,0∈(a→b)′.由(SL1)可得:
　　 若a∈I,(a→b)′I,I≠ ?准成立.
　　 因此,(x→y)′∈I. 所以(x→y)′I,I≠ ?准.由(SL1),我们显然得到x∈I.即I是格蕴涵代数 L的强LI-理想.
　　 定义4 设I是格蕴涵代数L的一个强LI-理想,如果I是正交的,且对于?坌x,y∈L,x∧y∈I ,可以推出 x∈I或者y∈I.则称I是一个素的强LI-理想.
　　 在格蕴涵代数L中,我们来研究素的强LI-理想的一些特征.
　　 定理 5 设I是格蕴涵代数L的一个素的强LI-理想,如果任取两个强LI-理想I1,I2∈L,I1,I2?哿I,可以推出I1?哿I,或者I2?哿I.
　　 证明 假设结论不成立,那么存在强LI-理想I1,I2∈L,I1 , I2?哿I,可以推出I1?哿I和I2?哿I. 因此,存在a∈I1\I和b∈I1\ I . 由于,a∧b ≤ a和a∧b ≤ b.根据定理2,得到a∧b ∈I1和a∧b ∈I2.因此, a∧b ∈I1 I I2?哿I. 这与假设发生矛盾,所以,结论成立.
　　
　　 【参考文献】
　　 [1] D.W.Borns,J.M.Mack.An Algebraic Introduction to M athematical Logic.Springer,Berlin,1975.
　　 [2]Y.B.Jun,E.H.Roh,Y.Xu.LI- ideals in lattice implication algebras.Bull.Korean Math.Soc.35(1998) 13-24.
　　 [3]Y.B.Jun.On LI-ideals and prime LI-ideals of lattice implicationalgebras.J.Korean Math.soc.36(2)(1999)369-380.
　　 [4] 盛德成.抽象代数.北京:科学出版社,2000.
　　 [5] 中山正(董克诚译).格论[M].上海:上海科技出版社,1964.
　　
　　注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”