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一、引言
数学思维,犹如一把开启数学智慧之门的“金钥匙”,学生一旦具备数学思维,他们数学能力就会大大增强,就会运用数学思维的“武器”探索数学世界的奥秘,去解决现实生活中遇到的数学问题。因此,教给学生数学思维的方法,注重提高学生的数学思维能力,是在数学教育中实施素质教育最现实的目标和具体途径。但具体的,怎样培养学生的数学思维,多数学者都没有提出好的方法和建议,而本文拟对我几十年的教学经历作一点思考。
二、什么是数学思维
“数学思维是人脑和数学对象(空间形式、数量关系、结构关系)交互作用并按照一定思维规律认识数学内容的内在理性活动。”(任樟辉,《数学思维论》,18页)数学思维具有一般思维的根本特征,又有自己的个性。主要表现在思维活动是按照客观存在的数学规律的表现形式进行的,特别反映在数学形式的符号化、抽象化和结构化,以及数学语言的简练和严谨方面。
三、数学思维的基本形式
1.逻辑思维
逻辑思维是一种确定的、前后一贯的、有条理、有根据的思维,它依托于思维材料的抽象性。逻辑思维的主要形式是概念、判断和推理。
2.形象思维
形象思维是依托形象材料意会的思维,其主要形式是表象、直感和想像,表象是形象思维的“细胞”。
3.直觉思维。
直觉思维是一种整体的、高度简约的、跳跃的非逻辑思维。它依托于对事物的直接认识,从整体上把握对象,经过一段准备,一下子接触到问题的实质,找到答案。直觉思维的基本形式是直觉和灵感。
四、怎样培养学生的数学思维能力
1.重视数学思维能力培养的阶段性的连续性。
现代发展心理学家认为:就思维的起源来说,不管是种系发展还是个体发展,思维的发生和发展都是经历直观行动思维→具体形象思维→抽象逻辑思维这样三个阶段,并在儿童青少年的发展中,表现出一定的年龄特征。
为此,我们可以把学生初步数学思维能力分为低、中、高三个相互连续而又可区分的阶段进行培养,历来教材中出现的重要概念和规律都按螺旋上升逐步发展的原则编排,正是符合学生这一年龄特点,例如加法交换律、分数概念等的出现。教学中我们既不“操之过急”,又不能“止步不前”。当然,思维发展的阶段不是绝对的,而且个别差异也较明显,但是总的发展顺序和进展是稳定的。只要处理好阶段性和连续性、个别和一般的关系,学生初步数学思维就能得到正常而又持续的发展。
2.把培养数学思维能力贯穿于教学过程始终。
数学知识的掌握和数学思维的发展是两个不同但又是密切联系的系列,并在学生数学学习过程中统一起来的。但是,如果有人认为既然数学思维是以数学知识作为载体,那么学生的初步数学思维能力便可在学习过程中自然地形成,那就错了。每一个有素养的数学教师都要深入把握教材中的智力因素,有目的地、潜移默化地把培养数学思维贯穿于教学过程始终。数学思维寓于“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四大内容之中。但是,能力不是靠传授来形成的,而是在数学活动中,靠学生自己去“悟”、去“做”、去“经历”、去“体验”的。
3.为学生提供足够的思维材料和思维空间。
培养数学思维能力应该为学生提供足够的思维材料(包括感性的和理性的)。提供的感性材料要充分并由学生去选择,能引发多种感官的共同活动,以实现头脑中的思维活动;提供的理性材料要有挑战性的、有思维阶梯的。能不断地激起学生的认知冲突。同时,提供的材料还要尽可能地联系学生实际,对学生有吸引力。所有这些,就是要改善学生的学习方式,让他们应用动手实践、自主探索、合作交流的方式,在较大的思维空间中实现“再创造”。
4.教学中落实渗透好主要的几种数学思想方法
⑴符号思想。数学的世界是一个符号化的世界,数学符号在很大程度上决定了数学发展的进程,符号化思想方法也是数学中最基本、最原始、最重要和最根本的思想方法之一。符号思想的核心就是用“某事物代表某事物”。用字母表示数是由特殊到一般的抽象,是中学数学中重要的代数方式。代数学的发展首要的一步就是用符号代表数字,用符号代表文字叙述。正是因为这些符号的运用,才使得“代数”能够逐渐成为一门正式的学科而独立出来。
⑵数形结合思想。所谓数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化,使抽象思维和形象思维相互作用,将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。将一个代数问题用图形来表示,或把一个几何问题记为代数的形式,通过数与形的结合,可使问题转化为易于解决的情形。初一教材第二章的数轴就体现数形结合的思想,借助数轴使抽象的数及其运算方法变得简简单单,让人们易于理解和接受。
⑶方程、函数思想。所谓方程的思想,就是把数量关系、图形性质转化为方程来研究的数学思想。把一些求解未知的问题,通过设未知数建立方程,从而化未知为已知。这是数学大厦的基石,是沟通已知和未知的桥梁。一些有关线段的长度、角的度数的几何计算等,都可以让我们体会到它的妙处。通过方程思想的教学,学生对用字母表示数及代数解法的优越性得到深刻的认识,激发他们学好方程知识,运用方程思想去解决问题。由此,学生用代数方法解决问题和建立数学模型的能力得到了培养。
⑷而函数的基本思想是变量与变量之间的对应,掌握了函数思想就可以对中学数学的很多内容有更深刻的理解。这是由于函数是中数学中很重要的部分,它的重要性一方面是它的实用性,另一方面是它的统摄性。中学数学中的大部分知识都可以统一在函数的观点下,如数、式、方程、不等式、数列等,对于这些内容,如果能够用函数的观点去进一步认识和体会,则对这些知识和函数本身将有更深入的理解。
5.注重直觉思维的开发培养
爱因斯坦说:“真正可贵的思维是直觉思维。”直觉思维是指思维对感性经验和已知知识进行思考时,不受某种逻辑规则约束而直接领悟事物的一种思维方式。也就是说,直觉思维是对事物的直观感受,或是对事物的本质和规律的直接估断。直觉思维的要素是想象,它是一种非严格逻辑思维,依靠想象,猜测,洞察力去把握对象,在探索性的归纳、类比和直觉思维中,直觉思维是最少逻辑因素,最多想象因素的一种,因而有着最广大的创造空间,许多科学家都强调直觉在创造活动中的作用。爱因斯坦指出:“单凭传统的逻辑思维而想有所发现是困难的甚至是不可能的。”笛卡尔说:“逻辑不过是把已经明白的东西告诉人家而已”。他们从正反两个方面说明了直觉思维在创造性思维中的作用。直觉可分为理性直觉和神秘直觉。由于神秘直觉的机制尚不清楚,所以,我们这里提到的直觉,是指前者。在数学教学中,我们要注重直觉思维的开发,我们认为它是创新思维的导火线。如,计算:(12+32+52+……+922)-(22+42+62+……+1002)。本题是数的运算题,如果按照常规解法,数值较大,运算较繁,学生难以完成。教师引导注意数值间的关系,从而产生直觉预见。去掉括号重新组和后构成相邻两个自然数的平方差,用公式变形化简,最后变成求自然数1到100和的相反数,结果就是-5050。
6.重视创造性思维的培养
培养学生的创新意识,在数学学科中就要把创造性思维的培养置于重要的地位。回溯我国数学教育的历史,比较重视有条理、有根据的逻辑思维,不重视创造性思维,此乃一大弊端。培养创造性思维首先可从两方面着手。
⑴培养学生质疑、独立思考的习惯。
学起于思,思始于疑。教师要满腔热情地鼓励学生质疑问难,任何发明创造都是从发现问题、提出问题开始的。要使学生多思善思、先要让他们敢问善问。教师要培养学生独立思考的习惯,不人云亦云,既能认真听别人的意见,也不轻易放弃自己正确的主张。在教学中,要鼓励学生敢于“标新立异”,解决问题策略多样,并能多中择优。
⑵鼓励学生合理猜想
数学猜想是运用非逻辑手段所得到的一种数学假设,它是人在探索数学规律时的一种策略。数学猜想不是胡思乱想,而是合理猜想,著名的哥德巴赫猜想就是经过合理猜想而获得的。既是猜想,不可能都是正确的,但是毕竟向真理逼近了一步。
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收稿日期:2010-06-04
数学思维,犹如一把开启数学智慧之门的“金钥匙”,学生一旦具备数学思维,他们数学能力就会大大增强,就会运用数学思维的“武器”探索数学世界的奥秘,去解决现实生活中遇到的数学问题。因此,教给学生数学思维的方法,注重提高学生的数学思维能力,是在数学教育中实施素质教育最现实的目标和具体途径。但具体的,怎样培养学生的数学思维,多数学者都没有提出好的方法和建议,而本文拟对我几十年的教学经历作一点思考。
二、什么是数学思维
“数学思维是人脑和数学对象(空间形式、数量关系、结构关系)交互作用并按照一定思维规律认识数学内容的内在理性活动。”(任樟辉,《数学思维论》,18页)数学思维具有一般思维的根本特征,又有自己的个性。主要表现在思维活动是按照客观存在的数学规律的表现形式进行的,特别反映在数学形式的符号化、抽象化和结构化,以及数学语言的简练和严谨方面。
三、数学思维的基本形式
1.逻辑思维
逻辑思维是一种确定的、前后一贯的、有条理、有根据的思维,它依托于思维材料的抽象性。逻辑思维的主要形式是概念、判断和推理。
2.形象思维
形象思维是依托形象材料意会的思维,其主要形式是表象、直感和想像,表象是形象思维的“细胞”。
3.直觉思维。
直觉思维是一种整体的、高度简约的、跳跃的非逻辑思维。它依托于对事物的直接认识,从整体上把握对象,经过一段准备,一下子接触到问题的实质,找到答案。直觉思维的基本形式是直觉和灵感。
四、怎样培养学生的数学思维能力
1.重视数学思维能力培养的阶段性的连续性。
现代发展心理学家认为:就思维的起源来说,不管是种系发展还是个体发展,思维的发生和发展都是经历直观行动思维→具体形象思维→抽象逻辑思维这样三个阶段,并在儿童青少年的发展中,表现出一定的年龄特征。
为此,我们可以把学生初步数学思维能力分为低、中、高三个相互连续而又可区分的阶段进行培养,历来教材中出现的重要概念和规律都按螺旋上升逐步发展的原则编排,正是符合学生这一年龄特点,例如加法交换律、分数概念等的出现。教学中我们既不“操之过急”,又不能“止步不前”。当然,思维发展的阶段不是绝对的,而且个别差异也较明显,但是总的发展顺序和进展是稳定的。只要处理好阶段性和连续性、个别和一般的关系,学生初步数学思维就能得到正常而又持续的发展。
2.把培养数学思维能力贯穿于教学过程始终。
数学知识的掌握和数学思维的发展是两个不同但又是密切联系的系列,并在学生数学学习过程中统一起来的。但是,如果有人认为既然数学思维是以数学知识作为载体,那么学生的初步数学思维能力便可在学习过程中自然地形成,那就错了。每一个有素养的数学教师都要深入把握教材中的智力因素,有目的地、潜移默化地把培养数学思维贯穿于教学过程始终。数学思维寓于“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四大内容之中。但是,能力不是靠传授来形成的,而是在数学活动中,靠学生自己去“悟”、去“做”、去“经历”、去“体验”的。
3.为学生提供足够的思维材料和思维空间。
培养数学思维能力应该为学生提供足够的思维材料(包括感性的和理性的)。提供的感性材料要充分并由学生去选择,能引发多种感官的共同活动,以实现头脑中的思维活动;提供的理性材料要有挑战性的、有思维阶梯的。能不断地激起学生的认知冲突。同时,提供的材料还要尽可能地联系学生实际,对学生有吸引力。所有这些,就是要改善学生的学习方式,让他们应用动手实践、自主探索、合作交流的方式,在较大的思维空间中实现“再创造”。
4.教学中落实渗透好主要的几种数学思想方法
⑴符号思想。数学的世界是一个符号化的世界,数学符号在很大程度上决定了数学发展的进程,符号化思想方法也是数学中最基本、最原始、最重要和最根本的思想方法之一。符号思想的核心就是用“某事物代表某事物”。用字母表示数是由特殊到一般的抽象,是中学数学中重要的代数方式。代数学的发展首要的一步就是用符号代表数字,用符号代表文字叙述。正是因为这些符号的运用,才使得“代数”能够逐渐成为一门正式的学科而独立出来。
⑵数形结合思想。所谓数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化,使抽象思维和形象思维相互作用,将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。将一个代数问题用图形来表示,或把一个几何问题记为代数的形式,通过数与形的结合,可使问题转化为易于解决的情形。初一教材第二章的数轴就体现数形结合的思想,借助数轴使抽象的数及其运算方法变得简简单单,让人们易于理解和接受。
⑶方程、函数思想。所谓方程的思想,就是把数量关系、图形性质转化为方程来研究的数学思想。把一些求解未知的问题,通过设未知数建立方程,从而化未知为已知。这是数学大厦的基石,是沟通已知和未知的桥梁。一些有关线段的长度、角的度数的几何计算等,都可以让我们体会到它的妙处。通过方程思想的教学,学生对用字母表示数及代数解法的优越性得到深刻的认识,激发他们学好方程知识,运用方程思想去解决问题。由此,学生用代数方法解决问题和建立数学模型的能力得到了培养。
⑷而函数的基本思想是变量与变量之间的对应,掌握了函数思想就可以对中学数学的很多内容有更深刻的理解。这是由于函数是中数学中很重要的部分,它的重要性一方面是它的实用性,另一方面是它的统摄性。中学数学中的大部分知识都可以统一在函数的观点下,如数、式、方程、不等式、数列等,对于这些内容,如果能够用函数的观点去进一步认识和体会,则对这些知识和函数本身将有更深入的理解。
5.注重直觉思维的开发培养
爱因斯坦说:“真正可贵的思维是直觉思维。”直觉思维是指思维对感性经验和已知知识进行思考时,不受某种逻辑规则约束而直接领悟事物的一种思维方式。也就是说,直觉思维是对事物的直观感受,或是对事物的本质和规律的直接估断。直觉思维的要素是想象,它是一种非严格逻辑思维,依靠想象,猜测,洞察力去把握对象,在探索性的归纳、类比和直觉思维中,直觉思维是最少逻辑因素,最多想象因素的一种,因而有着最广大的创造空间,许多科学家都强调直觉在创造活动中的作用。爱因斯坦指出:“单凭传统的逻辑思维而想有所发现是困难的甚至是不可能的。”笛卡尔说:“逻辑不过是把已经明白的东西告诉人家而已”。他们从正反两个方面说明了直觉思维在创造性思维中的作用。直觉可分为理性直觉和神秘直觉。由于神秘直觉的机制尚不清楚,所以,我们这里提到的直觉,是指前者。在数学教学中,我们要注重直觉思维的开发,我们认为它是创新思维的导火线。如,计算:(12+32+52+……+922)-(22+42+62+……+1002)。本题是数的运算题,如果按照常规解法,数值较大,运算较繁,学生难以完成。教师引导注意数值间的关系,从而产生直觉预见。去掉括号重新组和后构成相邻两个自然数的平方差,用公式变形化简,最后变成求自然数1到100和的相反数,结果就是-5050。
6.重视创造性思维的培养
培养学生的创新意识,在数学学科中就要把创造性思维的培养置于重要的地位。回溯我国数学教育的历史,比较重视有条理、有根据的逻辑思维,不重视创造性思维,此乃一大弊端。培养创造性思维首先可从两方面着手。
⑴培养学生质疑、独立思考的习惯。
学起于思,思始于疑。教师要满腔热情地鼓励学生质疑问难,任何发明创造都是从发现问题、提出问题开始的。要使学生多思善思、先要让他们敢问善问。教师要培养学生独立思考的习惯,不人云亦云,既能认真听别人的意见,也不轻易放弃自己正确的主张。在教学中,要鼓励学生敢于“标新立异”,解决问题策略多样,并能多中择优。
⑵鼓励学生合理猜想
数学猜想是运用非逻辑手段所得到的一种数学假设,它是人在探索数学规律时的一种策略。数学猜想不是胡思乱想,而是合理猜想,著名的哥德巴赫猜想就是经过合理猜想而获得的。既是猜想,不可能都是正确的,但是毕竟向真理逼近了一步。
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收稿日期:2010-06-04