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一元二次方程根与系数的关系也称为韦达定理，韦达定理是代数中的一个重要定理。随着学生年龄的增长和思维能力的提高，他们的逻辑推理能力也有了明显的提高。因此在学习了一元二次方程概念和它的解法之后，让学生自主探究一元二次方程根与系数的关系就水到渠成。徐建国老师执教的“一元二次方程根与系数的关系”这节课，通过引导学生探究发现根与系数的关系，很好地激发了学生的学习积极性，创新的教学设计为定理教学起到了示范作用。整节课自然流畅、简约深刻，让数学核心素养在课堂上自然生成。下面对这节课中的几个教学片段进行赏析。
一、回顾旧知
师：同学们，我们学习了一元二次方程的哪些解法？
生：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
师：请你们说说解方程x2+4x-5=0可以用哪种方法。
生：配方法。
生：公式法。
生：因式分解法。
（教师在黑板上演示用三种方法解一元二次方程x2+4x-5=0）
师：你们觉得哪种解法最简便呢？
生：因式分解法。
师：我个人也觉得因式分解法最优。
师：（x+2）2-10（x+2）+25=0这道题怎么解方程的呢？
生：把x+2看成一个整体，用因式分解法。
生：先把一元二次方程化成一般形式，再用因式分解法。
师：那我们用这两个同学说的方法来试一试。
教师在黑板上演示用两种方法解方程（x+2）2-10（x+2）+25=0
师：第一个同学把x+2看成一个整体，这是数学里经常用到的整体思想。
【赏析】教学中，徐老师演示三种不同的解方程的方法，既达到了复习这三种方法的目的，又让学生直观地感受到因式分解法是最优的。两道题放在一起，让学生再一次感受到因式分解法的优越性。同时，突出了整体思想在解一元二次方程中的重要作用。
二、学习新知
师：同学们，因式分解法包括哪些方法？
生：提公因式法、公式法、十字相乘法。
师：请大家用十字相乘法解下面4个一元二次方程：
（1）x2+5x+6=0;（2）x2+5x-6=0;
（3）x2-5x+6=0;（4）x2-5x-6=0。
（教师先用十字相乘法演示第一个题目并且强调答案是x=-2而不是x=2，再请三个同学在黑板上进行演算）
师：请大家想一想，x2______6x______5=0横线上填“+”还是“-”，怎样填也能够用十字相乘法？
（学生展开讨论，最后教师指出可能的填法是x2+6x+5=0、x2+6x-5=0、x2-6x-5=0、x2-6x+5=0。但只有x2+6x+5=0和x2-6x+5=0能用十字相乘法）
师：观察x2+4x-5=0、x2+5x-6=0、x2-6x+5=0这3个方程，它们的解有什么共同特点？
生：它们都有一个解是x=1。
师：这3个一元二次方程的系数有什么关系呢？
（学生激烈地讨论起来，归纳得出一元二次方程的3个系数相加为0时，一定有一个解为1。即若a+b+c=0，则ax2+bx+c=0必有一根x=1。学生自行验证，教师再板书）
师：既然“若a+b+c=0，则ax2+bx+c=0必有一根x=1”，那另外一根是多少呢？
师：用公式法求得ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a。推导得出x1+x2=-ba，x1x2=ca。
所以如果一根为1，那么另外一根是ca。
【赏析】在教学中，徐老师把相似的4个一元二次方程放在一起，让学生带着“好玩”的心态解答这4道题，紧接着又给出一个承前启后的问题，让学生去思考如何填“+”或者“-”才能用十字相乘法来解答问题。徐老师指出在黑板上有3个方程都有一个根是1，再次把学生的注意力吸引过去，带着这个问题师生共同得出“若a+b+c=0，则ax2+bx+c=0必有一根x=1”的结论。既然知道一根为1，那么学生当然想揭开另外一根的神秘面纱。所以，就很自然地推導出了两根之和、两根之积的公式。
三、提出概念
师：我们称x1+x2=-ba、x1x2=ca为一元二次方程的根与系数的关系或者是韦达定理。韦达是法国16世纪颇有影响的数学家之一，他第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。
师：韦达是法国的业余数学家。我们很多定理都由发现该定理的人命名。如果我发现了一个定理那应该叫什么？
……
【赏析】“如果我发现了一个定理那应该叫什么”，徐老师的问题让课堂氛围再次活跃起来。徐老师从韦达的生平介绍中增添了数学本身的文化内涵，在探究韦达定理中让学生理解数学，彰显了数学学科的德育功能。
四、巩固练习
师：上述4个一元二次方程中两根之和、两根之积分别为多少？
……
师：4x2-5x+6=0的两根之和是多少？
生： 。
师：其实该方程并没有根。
生：为什么呢？
师：请大家计算下这个方程的根的判别式Δ。
师：韦达定理应该有个大前提Δ≥0。
……
【赏析】一开始学生还在质疑，前面4个一元二次方程的题目已经问了两根之和、两根之积分别是多少，再单独列个方程来问是不是有点多余，后来学生才发现，原来自己也进入了徐老师设计的“圈套”，由4x2-5x+6=0这道题来突出韦达定理的应用前提是Δ≥0，这样做令学生印象更加深刻。
徐老师的这节课让我们收获很多，看似漫不经心的一个概念、一个问题、一道题目，其实都是精心设计好的，所有的教学过程都按照他所预设的情节发展。一堂课下来，知识容量很大，但学生并不觉得累，整节课跌宕起伏、扣人心弦。
（作者单位：江西省南昌市实验中学 江西省南昌市盲校）
一、回顾旧知
师：同学们，我们学习了一元二次方程的哪些解法？
生：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
师：请你们说说解方程x2+4x-5=0可以用哪种方法。
生：配方法。
生：公式法。
生：因式分解法。
（教师在黑板上演示用三种方法解一元二次方程x2+4x-5=0）
师：你们觉得哪种解法最简便呢？
生：因式分解法。
师：我个人也觉得因式分解法最优。
师：（x+2）2-10（x+2）+25=0这道题怎么解方程的呢？
生：把x+2看成一个整体，用因式分解法。
生：先把一元二次方程化成一般形式，再用因式分解法。
师：那我们用这两个同学说的方法来试一试。
教师在黑板上演示用两种方法解方程（x+2）2-10（x+2）+25=0
师：第一个同学把x+2看成一个整体，这是数学里经常用到的整体思想。
【赏析】教学中，徐老师演示三种不同的解方程的方法，既达到了复习这三种方法的目的，又让学生直观地感受到因式分解法是最优的。两道题放在一起，让学生再一次感受到因式分解法的优越性。同时，突出了整体思想在解一元二次方程中的重要作用。
二、学习新知
师：同学们，因式分解法包括哪些方法？
生：提公因式法、公式法、十字相乘法。
师：请大家用十字相乘法解下面4个一元二次方程：
（1）x2+5x+6=0;（2）x2+5x-6=0;
（3）x2-5x+6=0;（4）x2-5x-6=0。
（教师先用十字相乘法演示第一个题目并且强调答案是x=-2而不是x=2，再请三个同学在黑板上进行演算）
师：请大家想一想，x2______6x______5=0横线上填“+”还是“-”，怎样填也能够用十字相乘法？
（学生展开讨论，最后教师指出可能的填法是x2+6x+5=0、x2+6x-5=0、x2-6x-5=0、x2-6x+5=0。但只有x2+6x+5=0和x2-6x+5=0能用十字相乘法）
师：观察x2+4x-5=0、x2+5x-6=0、x2-6x+5=0这3个方程，它们的解有什么共同特点？
生：它们都有一个解是x=1。
师：这3个一元二次方程的系数有什么关系呢？
（学生激烈地讨论起来，归纳得出一元二次方程的3个系数相加为0时，一定有一个解为1。即若a+b+c=0，则ax2+bx+c=0必有一根x=1。学生自行验证，教师再板书）
师：既然“若a+b+c=0，则ax2+bx+c=0必有一根x=1”，那另外一根是多少呢？
师：用公式法求得ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a。推导得出x1+x2=-ba，x1x2=ca。
所以如果一根为1，那么另外一根是ca。
【赏析】在教学中，徐老师把相似的4个一元二次方程放在一起，让学生带着“好玩”的心态解答这4道题，紧接着又给出一个承前启后的问题，让学生去思考如何填“+”或者“-”才能用十字相乘法来解答问题。徐老师指出在黑板上有3个方程都有一个根是1，再次把学生的注意力吸引过去，带着这个问题师生共同得出“若a+b+c=0，则ax2+bx+c=0必有一根x=1”的结论。既然知道一根为1，那么学生当然想揭开另外一根的神秘面纱。所以，就很自然地推導出了两根之和、两根之积的公式。
三、提出概念
师：我们称x1+x2=-ba、x1x2=ca为一元二次方程的根与系数的关系或者是韦达定理。韦达是法国16世纪颇有影响的数学家之一，他第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。
师：韦达是法国的业余数学家。我们很多定理都由发现该定理的人命名。如果我发现了一个定理那应该叫什么？
……
【赏析】“如果我发现了一个定理那应该叫什么”，徐老师的问题让课堂氛围再次活跃起来。徐老师从韦达的生平介绍中增添了数学本身的文化内涵，在探究韦达定理中让学生理解数学，彰显了数学学科的德育功能。
四、巩固练习
师：上述4个一元二次方程中两根之和、两根之积分别为多少？
……
师：4x2-5x+6=0的两根之和是多少？
生： 。
师：其实该方程并没有根。
生：为什么呢？
师：请大家计算下这个方程的根的判别式Δ。
师：韦达定理应该有个大前提Δ≥0。
……
【赏析】一开始学生还在质疑，前面4个一元二次方程的题目已经问了两根之和、两根之积分别是多少，再单独列个方程来问是不是有点多余，后来学生才发现，原来自己也进入了徐老师设计的“圈套”，由4x2-5x+6=0这道题来突出韦达定理的应用前提是Δ≥0，这样做令学生印象更加深刻。
徐老师的这节课让我们收获很多，看似漫不经心的一个概念、一个问题、一道题目，其实都是精心设计好的，所有的教学过程都按照他所预设的情节发展。一堂课下来，知识容量很大，但学生并不觉得累，整节课跌宕起伏、扣人心弦。
（作者单位：江西省南昌市实验中学 江西省南昌市盲校）