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华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。此语告诉人们“数”和“形”有各自的特点和不足，从而强调了数形结合的重要性。高考命题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的解析几何大题中，其解答过程都蕴含着重要的数形结合思想方法。大家要有意识地应用数形结合思想方法去分析问题，解决问题，形成能力，提高数学素质。解析几何的本质就是用代数方法研究图形的几何性质，它沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的优势。
以形助数，让“数”直观
“数缺形时少直观”，如何让“数”变得直观？代数运算几何化，借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的。
例1.（2011年高考数学广东卷理科第19题）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;
（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时P的坐标。
分析：如果你不能让“数”直观，那么这是一道非常复杂的题目。但是把“圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。”转化为，得出圆心C的轨迹是以、为焦点的双曲线，方程为。再结合图形得到，仅当时，取“=”。
解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，
两圆心为、，
由题意得或，
，
可知圆心C的轨迹是以、为焦点的双曲线，设方程为，
则，所以轨迹L的方程为。
（2）∵，仅当时，取“=”，
由知直线，联立并整理得
解得或（舍去），此时
所以最大值等于2，此时。通过这样的转化、以形助数，把一道很复杂的计算问题转化为了一个非常简单的几何问题。
以数解形，让“形”入微
“形少数时难入微”，如何让“形”入微？几何条件代数化，借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，通过数理论证，数量刻画，以获得结论，即以数为手段，形为目的。
例2.（2013年高考数学广东卷理科第20题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线
：的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点。
（1） 求抛物线的方程;
（2） 当点为直线上的定点时，求直线的方程;
（3） 当点在直线上移动时，求的最小值。
分析：如果只是用“形”去求解 “当点在直线上移动时，求的最小值”， 根本得不到任何精确的结论，但是与“数”结合：
由抛物线定义可知，，
所以;
再根据直线与抛物线相交，联立方程，消去整理得，
由一元二次方程根与系数的关系可得， ，
所以 ，
又点在直线上，所以，
。
将几何图形的性质用“数”的形式表示出来，便可以将求的最小值转化为求二次函数的最小值。
解：（1） 依题意，设抛物线的方程为，
由结合，解得，所以抛物线的方程为。
（2）抛物线的方程为，即，求导得 ，
设，（其中），则切线的斜率分别为，，
所以切线的方程为，
即，即 ，同理可得切线的方程为 ，
因为切线均过点，所以， ，
为方程的两组解.
所以直线的方程为。
（3）由抛物线定义可知，，
所以 ，
联立方程，消去整理得 ，
由一元二次方程根与系数的关系可得， ，
所以 ，
又点在直线上，所以，
所以 ，
所以当时， 取得最小值，且最小值为.
借助数的精确性和规范严密性来求的最小值，通过数理论证，数量刻画可让“形”入微，得到精确的数量关系。
“数”与“形”和谐交融，由数思形、以形想数
数形结合思想方法把代数式的精确计算与几何图形的直观描述结合起来，相互渗透，互相转化，实现形象思维与抽象思维的优势互补，巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。
例3.（2014年高考数学广东卷理科第20题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
分析：由数“焦点为，离心率为 ” 思形可求椭圆C的标准方程。由形“点P到椭圆C的两条切线相互垂直”想数：切线与椭圆C的联立方程只有一个解，△=0，可得到方程及，根据一元二次方程根与系数的关系可得，就可求出点P的轨迹方程，再由数思形可知为一个圆。
数形转化，化难为易、化繁为简
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;然后恰当设参、合理用参，建立关系，做好数形转化，化难为易、化繁为简;最后还要结合几何图形正确确定参数的取值范围。
例4.（2012年高考数学广东卷理科第20题）在平面直角坐标系xOy中，
已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3。
（1）求椭圆C的方程;
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在，请说明理由。
题目中的条件“椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3”，问题“在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？”的几何意义是什么？又有什么代数意义？如何转化？
分析：（1）设椭圆C上任一点P（x，y），则，即，再利用两点间距离公式，
转化为关于y的二次函数在区间（-b，b）上的最大值为9，从而可求得，椭圆C的方程为。
（2）若点M（m，n）在椭圆C上，则有，
△OAB的面积可表示为，
其中圆心到直线l的距离为，弦长
“直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，”转化为：，
即，所以 ，再用基本不等式进行求解。
解：（1）由得，椭圆方程为，
椭圆上的点到点Q的距离，
①当，即时，得，
②当，即时，得（不合舍去），
∴ ，
∴ 椭圆方程为
美国著名数学教育家波利亚说过：掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。数形结合根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量间的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，化抽象为具体。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用。
（作者单位：广东省高州市第四中学）
以形助数，让“数”直观
“数缺形时少直观”，如何让“数”变得直观？代数运算几何化，借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的。
例1.（2011年高考数学广东卷理科第19题）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;
（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时P的坐标。
分析：如果你不能让“数”直观，那么这是一道非常复杂的题目。但是把“圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。”转化为，得出圆心C的轨迹是以、为焦点的双曲线，方程为。再结合图形得到，仅当时，取“=”。
解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，
两圆心为、，
由题意得或，
，
可知圆心C的轨迹是以、为焦点的双曲线，设方程为，
则，所以轨迹L的方程为。
（2）∵，仅当时，取“=”，
由知直线，联立并整理得
解得或（舍去），此时
所以最大值等于2，此时。通过这样的转化、以形助数，把一道很复杂的计算问题转化为了一个非常简单的几何问题。
以数解形，让“形”入微
“形少数时难入微”，如何让“形”入微？几何条件代数化，借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，通过数理论证，数量刻画，以获得结论，即以数为手段，形为目的。
例2.（2013年高考数学广东卷理科第20题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线
：的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点。
（1） 求抛物线的方程;
（2） 当点为直线上的定点时，求直线的方程;
（3） 当点在直线上移动时，求的最小值。
分析：如果只是用“形”去求解 “当点在直线上移动时，求的最小值”， 根本得不到任何精确的结论，但是与“数”结合：
由抛物线定义可知，，
所以;
再根据直线与抛物线相交，联立方程，消去整理得，
由一元二次方程根与系数的关系可得， ，
所以 ，
又点在直线上，所以，
。
将几何图形的性质用“数”的形式表示出来，便可以将求的最小值转化为求二次函数的最小值。
解：（1） 依题意，设抛物线的方程为，
由结合，解得，所以抛物线的方程为。
（2）抛物线的方程为，即，求导得 ，
设，（其中），则切线的斜率分别为，，
所以切线的方程为，
即，即 ，同理可得切线的方程为 ，
因为切线均过点，所以， ，
为方程的两组解.
所以直线的方程为。
（3）由抛物线定义可知，，
所以 ，
联立方程，消去整理得 ，
由一元二次方程根与系数的关系可得， ，
所以 ，
又点在直线上，所以，
所以 ，
所以当时， 取得最小值，且最小值为.
借助数的精确性和规范严密性来求的最小值，通过数理论证，数量刻画可让“形”入微，得到精确的数量关系。
“数”与“形”和谐交融，由数思形、以形想数
数形结合思想方法把代数式的精确计算与几何图形的直观描述结合起来，相互渗透，互相转化，实现形象思维与抽象思维的优势互补，巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。
例3.（2014年高考数学广东卷理科第20题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
分析：由数“焦点为，离心率为 ” 思形可求椭圆C的标准方程。由形“点P到椭圆C的两条切线相互垂直”想数：切线与椭圆C的联立方程只有一个解，△=0，可得到方程及，根据一元二次方程根与系数的关系可得，就可求出点P的轨迹方程，再由数思形可知为一个圆。
数形转化，化难为易、化繁为简
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;然后恰当设参、合理用参，建立关系，做好数形转化，化难为易、化繁为简;最后还要结合几何图形正确确定参数的取值范围。
例4.（2012年高考数学广东卷理科第20题）在平面直角坐标系xOy中，
已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3。
（1）求椭圆C的方程;
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在，请说明理由。
题目中的条件“椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3”，问题“在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？”的几何意义是什么？又有什么代数意义？如何转化？
分析：（1）设椭圆C上任一点P（x，y），则，即，再利用两点间距离公式，
转化为关于y的二次函数在区间（-b，b）上的最大值为9，从而可求得，椭圆C的方程为。
（2）若点M（m，n）在椭圆C上，则有，
△OAB的面积可表示为，
其中圆心到直线l的距离为，弦长
“直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，”转化为：，
即，所以 ，再用基本不等式进行求解。
解：（1）由得，椭圆方程为，
椭圆上的点到点Q的距离，
①当，即时，得，
②当，即时，得（不合舍去），
∴ ，
∴ 椭圆方程为
美国著名数学教育家波利亚说过：掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。数形结合根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量间的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，化抽象为具体。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用。
（作者单位：广东省高州市第四中学）