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王莹玉
在高中，我们经常研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及零点等问题.课本上仅介绍了基本的初等函数，由它们构造出纷繁复杂的函数，这里面很多都是复合函数，什么是复合函数？复合函数的性质如何判别？又如何应用？
一、概念
复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量.例如y=sin2x与y=sinx不同，它不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数.
在复合函数的定义中，对复合的步骤和方式有特殊的约定.把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f（x）+b·g（x）或a·f（x）·g（x）的函数不是复合函数.复合函数是指把几个映射依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构造一个复合映射所确定的函数.自变量像被加工的零件依次通过第一个映射、第二个映射，直到通过全部映射.例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘以2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数y=sin2x.
为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数.从外向内看函数y=f[g（x）]，称函数y=f（u）为外层函数（外函数），称函数u=g（x）为内层函数（内函数），且称函数y=f[g（x）]为函数f和g复合一次得到.
二、定义域
1.已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域
思路：设函数f（x）的定义域为D，即x∈D，所以f的作用范围为D，又f对g（x）的作用范围不变，所以g（x）∈D，解得x∈E，E为y=f[g（x）]的定义域.
例1设函数f（u）的定义域为（0，1），则函数f（lnx）的定义域为.
解：函数f（u）的定义域为（0，1）即u∈（0，1），所以f的作用范围为（0，1）.又f对lnx的作用范围不变，所以0 2.已知f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域
思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，所以f的作用范围为E；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈E，E为f（x）的定义域.
例2已知f（3-2x）的定义域为x∈[-1，2]，则函数f（x）的定义域为.
解：f（3-2x）的定义域为[-1，2]，即x∈[-1，2]，由此得3-2x∈[-1，5].所以f的作用范围为[-1，5]；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈[-1，5]，即函数f（x）的定义域为[-1，5].
3.已知f[g（x）]的定义域，求f[h（x）]的定义域
思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，f的作用范围为E；在f[h（x）]中f对h（x）的作用范围不变，所以h（x）∈E，解得x∈F，F为f[h（x）]的定义域.
例3若函数f（2x）的定义域为[-1，1]，则f（log2x）的定义域为.
解：f（2x）的定义域为[-1，1]，即x∈[-1，1]，由此得2x∈[12，2]，所以f的作用范围为[12，2].在f（log2x）中f对log2x的作用范围不变，所以log2x∈[12，2]，解得x∈[2，4]，即f（log2x）的定义域为[2，4].
评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）.f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f作用对象可以变，但f的作用范围不会变.
三、值域
1.可以化归为二次函数的复合函数求值域
例4求函数y=2x+41-x的值域.
分析：含根式的函数关键是去根号，可以利用换元法转化为一元二次函数求值域问题.
解：令t=1-x（x≤1），则x=1-t2，其中t≥0，原函数可以看成由y=-2t2+4t+2与t=1-x复合而成，∵x≤1，∴t≥0，∴y=-2（t-1）2+4（t≥0）∈（-∞，4]，即原函数的值域是（-∞，4].
2.可以化归为一次函数的复合函数求值域
例5求函数y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域.
解：令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2-12，原函数可以看成由函数y=t2-12（1+t）=12（t-1）（t≠-1）与t=sinx+cosx复合而成.
因为t=sinx+cosx=2sin（x+π4），
所以t∈[-2，-1）∪（-1，2].
结合一次函数图像可知函数值域为
[-2-12，-1）∪（-1，2-12].
评注：求函数值域要注意函数定义域，本题很容易遗漏t≠-1的限制，导致求值域出错，产生错误的原因是忽视了转化的等价性，所以解题过程中必须紧扣定义域.
3.可以化归为反比例函数的复合函数求值域
例6求函数y=2x2+2x+3x2+x+1的值域.
解：函数y=2x2+2x+3x2+x+1=2+1x2+x+1，令t=x2+x+1，则原函数可以看成由函数y=2+1t和t=x2+x+1复合而成.
因为x∈R，所以t=x2+x+1=（x+12）2+34≥34，结合反比例函数图像可知y=2+1t∈（2，103]，所以原函数的值域为（2，103].
4.可以化归为y=ax+bx（a，b∈R*）型函数的复合函数求值域 例7求函数y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.
解：令t=2-sinx，则原函数可以看成由函数y=-（t+4t）+2和t=2-sinx复合而成.
∵sinx∈[-1，1]，∴t=2-sinx∈[1，3]，由u=t+4t的图像可知u∈[4，5]，故y=-（t+4t）+2∈[-3，-2]，所以原函数的值域为[-3，-2].
评注：求复合函数值域的关键是把复杂的函数通过换元转化为由简单函数y=f（t）和t=g（x）复合而成，其中t是中间变量，具有双重身份：在函数y=f（t）中，t是自变量；在函数t=g（x）中，t是函数值.要求原函数的值域，必先求出中间变量t的取值范围，而求t的范围，就是求函数t=g（x）的值域，从而将求原函数的值域化归为求两个简单函数的值域，使得问题得到解决.
四、单调性
复合函数的单调性是由两个函数共同决定，我们把其规律归纳如下表：
y=f（u）增↗减↘
u=g（x）增↗减↘增↗减↘
y=f（g（x））增↗减↘减↘增↗
以上规律还可描述为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
例8已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a>0且a≠1，
（1）若a>1，
内函数t=2-ax是减函数，外函数y=logat是增函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；
又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a1>0，解得a<2，
∴1 （2）若0 内函数t=2-ax是增函数，外函数y=logat是减函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；
又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a0>0，恒成立，
∴0 综上所述，0 评注：复合函数y=f（g（x））的单调性判断步骤：
①确定函数的定义域；
②将复合函数分解成两个简单函数：y=f（t）与t=g（x）；
③分别确定分解成的两个函数的单调性；
④若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为减函数.
当然复合函数的单调性还可以用求导的方式来研究，同学们一定要熟练掌握复合函数的求导法则.
五、考题回顾
复合函数问题是高考中的一个热点问题，具有关系复杂、综合性强、难度大等特点，往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和转化化归等重要数学思想，对同学们的思维能力、运算能力、耐心细致处变不惊的心理品质等都有较高的要求.
例9（2013年江苏省）平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=1x（x>0）图像上一动点，若点P，A之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为.
解：由题意设P（x0，1x0），（x0>0）
则有PA2=（x0-a）2+（1x0-a）2=x20+1x20-2a（x0+1x0）+2a2=（x0+1x0）2-2a（x0+1x0）+2a2-2.
令x0+1x0=t（t≥2），则PA2=f（t）=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2（t≥2）.
当a≤2时，PA2min=f（2）=2a2-4a+2，∴2a2-4a+2=8，
∴a=-1，a=3（舍去）.
当a>2时，PA2min=f（a）=a2-2，∴a2-2=8
∴a=10，a=-10（舍去）.
∴综上所述：a=-1或a=10.
评注：此题的最值若用求导的方法来研究，过程会过于繁琐，而用复合函数的观点来研究则相对简单.
例10（2012年江苏省）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；
（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数.
解：（1）a=0，b=-3.
（2）略.
（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c.
先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况：d∈[-2，2].
当|d|=2时，f（x）=-2的两个不同的根为1和-2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为-1和2.
当|d|<2时，∵f（-1）-d=f（2）-d=2-d>0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d<0，
∴-2，-1，1，2都不是f（x）=d的根.
由（1）知f′（x）=3（x+1）（x-1）.
①当x∈（2，+∞）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）>f（2）=2，此时f（x）=d在（2，+∞）无实根.
②当x∈（1，2）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数.
又∵f（1）-d<0，f（2）-d>0，y=f（x）-d的图像不间断，
∴f（x）=d在（1，2）内有唯一实根.
同理，f（x）=d在（-2，-1）内有唯一实根.
③当x∈（-1，1）时，f′（x）<0，于是f（x）是单调减函数.
又∵f（-1）-d>0，f（1）-d<0，y=f（x）-d的图像不间断，
∴f（x）=d在（-1，1）内有唯一实根.
因此，当|d|=2时，f（x）=d有两个不同的根x1，x2满足|x1|=1，|x2|=2；
当|d|<2时，f（x）=d有三个不同的根x3，t4，t5，满足|xi|<2，i=3，4，5.
现在考虑函数y=h（x）的零点：
（ⅰ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2.
而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点.
（ⅱ）当|c|<2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|ti|<2，t=3，4，5.
而f（x）=ti（i=3，4，5）有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点.
综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|<2时，函数y=h（x）有9个零点.
评注：解决本题的关键还是通过换元的方法把复合函数分解为两个简单函数，而这两个简单函数是我们熟悉的三次函数.当然也可通过研究复合函数h（x）=f（f（x））-c的单调性来解决此题.
复合函数往往是由简单函数“组合”而成的，解决其有关问题时，常用“逐步分解术”，“化整为零”，各个击破，最后解决问题.
（作者：王莹玉，苏州大学附属中学）
在高中，我们经常研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及零点等问题.课本上仅介绍了基本的初等函数，由它们构造出纷繁复杂的函数，这里面很多都是复合函数，什么是复合函数？复合函数的性质如何判别？又如何应用？
一、概念
复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量.例如y=sin2x与y=sinx不同，它不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数.
在复合函数的定义中，对复合的步骤和方式有特殊的约定.把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f（x）+b·g（x）或a·f（x）·g（x）的函数不是复合函数.复合函数是指把几个映射依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构造一个复合映射所确定的函数.自变量像被加工的零件依次通过第一个映射、第二个映射，直到通过全部映射.例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘以2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数y=sin2x.
为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数.从外向内看函数y=f[g（x）]，称函数y=f（u）为外层函数（外函数），称函数u=g（x）为内层函数（内函数），且称函数y=f[g（x）]为函数f和g复合一次得到.
二、定义域
1.已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域
思路：设函数f（x）的定义域为D，即x∈D，所以f的作用范围为D，又f对g（x）的作用范围不变，所以g（x）∈D，解得x∈E，E为y=f[g（x）]的定义域.
例1设函数f（u）的定义域为（0，1），则函数f（lnx）的定义域为.
解：函数f（u）的定义域为（0，1）即u∈（0，1），所以f的作用范围为（0，1）.又f对lnx的作用范围不变，所以0
思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，所以f的作用范围为E；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈E，E为f（x）的定义域.
例2已知f（3-2x）的定义域为x∈[-1，2]，则函数f（x）的定义域为.
解：f（3-2x）的定义域为[-1，2]，即x∈[-1，2]，由此得3-2x∈[-1，5].所以f的作用范围为[-1，5]；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈[-1，5]，即函数f（x）的定义域为[-1，5].
3.已知f[g（x）]的定义域，求f[h（x）]的定义域
思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，f的作用范围为E；在f[h（x）]中f对h（x）的作用范围不变，所以h（x）∈E，解得x∈F，F为f[h（x）]的定义域.
例3若函数f（2x）的定义域为[-1，1]，则f（log2x）的定义域为.
解：f（2x）的定义域为[-1，1]，即x∈[-1，1]，由此得2x∈[12，2]，所以f的作用范围为[12，2].在f（log2x）中f对log2x的作用范围不变，所以log2x∈[12，2]，解得x∈[2，4]，即f（log2x）的定义域为[2，4].
评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）.f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f作用对象可以变，但f的作用范围不会变.
三、值域
1.可以化归为二次函数的复合函数求值域
例4求函数y=2x+41-x的值域.
分析：含根式的函数关键是去根号，可以利用换元法转化为一元二次函数求值域问题.
解：令t=1-x（x≤1），则x=1-t2，其中t≥0，原函数可以看成由y=-2t2+4t+2与t=1-x复合而成，∵x≤1，∴t≥0，∴y=-2（t-1）2+4（t≥0）∈（-∞，4]，即原函数的值域是（-∞，4].
2.可以化归为一次函数的复合函数求值域
例5求函数y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域.
解：令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2-12，原函数可以看成由函数y=t2-12（1+t）=12（t-1）（t≠-1）与t=sinx+cosx复合而成.
因为t=sinx+cosx=2sin（x+π4），
所以t∈[-2，-1）∪（-1，2].
结合一次函数图像可知函数值域为
[-2-12，-1）∪（-1，2-12].
评注：求函数值域要注意函数定义域，本题很容易遗漏t≠-1的限制，导致求值域出错，产生错误的原因是忽视了转化的等价性，所以解题过程中必须紧扣定义域.
3.可以化归为反比例函数的复合函数求值域
例6求函数y=2x2+2x+3x2+x+1的值域.
解：函数y=2x2+2x+3x2+x+1=2+1x2+x+1，令t=x2+x+1，则原函数可以看成由函数y=2+1t和t=x2+x+1复合而成.
因为x∈R，所以t=x2+x+1=（x+12）2+34≥34，结合反比例函数图像可知y=2+1t∈（2，103]，所以原函数的值域为（2，103].
4.可以化归为y=ax+bx（a，b∈R*）型函数的复合函数求值域 例7求函数y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.
解：令t=2-sinx，则原函数可以看成由函数y=-（t+4t）+2和t=2-sinx复合而成.
∵sinx∈[-1，1]，∴t=2-sinx∈[1，3]，由u=t+4t的图像可知u∈[4，5]，故y=-（t+4t）+2∈[-3，-2]，所以原函数的值域为[-3，-2].
评注：求复合函数值域的关键是把复杂的函数通过换元转化为由简单函数y=f（t）和t=g（x）复合而成，其中t是中间变量，具有双重身份：在函数y=f（t）中，t是自变量；在函数t=g（x）中，t是函数值.要求原函数的值域，必先求出中间变量t的取值范围，而求t的范围，就是求函数t=g（x）的值域，从而将求原函数的值域化归为求两个简单函数的值域，使得问题得到解决.
四、单调性
复合函数的单调性是由两个函数共同决定，我们把其规律归纳如下表：
y=f（u）增↗减↘
u=g（x）增↗减↘增↗减↘
y=f（g（x））增↗减↘减↘增↗
以上规律还可描述为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
例8已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a>0且a≠1，
（1）若a>1，
内函数t=2-ax是减函数，外函数y=logat是增函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；
又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a1>0，解得a<2，
∴1
又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a0>0，恒成立，
∴0
①确定函数的定义域；
②将复合函数分解成两个简单函数：y=f（t）与t=g（x）；
③分别确定分解成的两个函数的单调性；
④若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为减函数.
当然复合函数的单调性还可以用求导的方式来研究，同学们一定要熟练掌握复合函数的求导法则.
五、考题回顾
复合函数问题是高考中的一个热点问题，具有关系复杂、综合性强、难度大等特点，往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和转化化归等重要数学思想，对同学们的思维能力、运算能力、耐心细致处变不惊的心理品质等都有较高的要求.
例9（2013年江苏省）平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=1x（x>0）图像上一动点，若点P，A之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为.
解：由题意设P（x0，1x0），（x0>0）
则有PA2=（x0-a）2+（1x0-a）2=x20+1x20-2a（x0+1x0）+2a2=（x0+1x0）2-2a（x0+1x0）+2a2-2.
令x0+1x0=t（t≥2），则PA2=f（t）=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2（t≥2）.
当a≤2时，PA2min=f（2）=2a2-4a+2，∴2a2-4a+2=8，
∴a=-1，a=3（舍去）.
当a>2时，PA2min=f（a）=a2-2，∴a2-2=8
∴a=10，a=-10（舍去）.
∴综上所述：a=-1或a=10.
评注：此题的最值若用求导的方法来研究，过程会过于繁琐，而用复合函数的观点来研究则相对简单.
例10（2012年江苏省）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；
（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数.
解：（1）a=0，b=-3.
（2）略.
（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c.
先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况：d∈[-2，2].
当|d|=2时，f（x）=-2的两个不同的根为1和-2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为-1和2.
当|d|<2时，∵f（-1）-d=f（2）-d=2-d>0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d<0，
∴-2，-1，1，2都不是f（x）=d的根.
由（1）知f′（x）=3（x+1）（x-1）.
①当x∈（2，+∞）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）>f（2）=2，此时f（x）=d在（2，+∞）无实根.
②当x∈（1，2）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数.
又∵f（1）-d<0，f（2）-d>0，y=f（x）-d的图像不间断，
∴f（x）=d在（1，2）内有唯一实根.
同理，f（x）=d在（-2，-1）内有唯一实根.
③当x∈（-1，1）时，f′（x）<0，于是f（x）是单调减函数.
又∵f（-1）-d>0，f（1）-d<0，y=f（x）-d的图像不间断，
∴f（x）=d在（-1，1）内有唯一实根.
因此，当|d|=2时，f（x）=d有两个不同的根x1，x2满足|x1|=1，|x2|=2；
当|d|<2时，f（x）=d有三个不同的根x3，t4，t5，满足|xi|<2，i=3，4，5.
现在考虑函数y=h（x）的零点：
（ⅰ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2.
而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点.
（ⅱ）当|c|<2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|ti|<2，t=3，4，5.
而f（x）=ti（i=3，4，5）有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点.
综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|<2时，函数y=h（x）有9个零点.
评注：解决本题的关键还是通过换元的方法把复合函数分解为两个简单函数，而这两个简单函数是我们熟悉的三次函数.当然也可通过研究复合函数h（x）=f（f（x））-c的单调性来解决此题.
复合函数往往是由简单函数“组合”而成的，解决其有关问题时，常用“逐步分解术”，“化整为零”，各个击破，最后解决问题.
（作者：王莹玉，苏州大学附属中学）