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[摘要]本文阐述了将数学建模思想融入高等数学教学的教育意义和重要性，并提出了高等数学教学中融入建模思想的途径和方法。
[关键词]高等数学 数学建模
自然科学中几乎所有的重大发现无不依赖于数学的发展与进步。数学作为一门重要的基础学科和一种精确的科学语言，是人类文明的一个重要组成部分，在社会各领域中发挥着愈来愈重要的作用，高科技的出现使得数学与工程技术之间，在更广阔的范围内和更深刻的程度上直接地相互作用，把我们的社会推进到数学工程技术的新时代，数学是各学科可以共同使用的语言。数学教育本身是一种素质教育，数学建模的教学与竞赛是实施素质教育的有效途径，它既增强了学生的数学应用意识，又提高了学生运用数学知识和计算机技术分析和解决问题的能力。
“数学模型”和“数学实验”课程的开设，使许多理科类的学生受益匪浅，而学其他专业类的学生却因为某些原因往往被忽视。部分学生是为了“学数学”而学数学，导致兴趣索然，对数学望而生畏;或者虽然对常规的数学题目“见题就会，一做就对”，但是对发生在身边的实际问题，却无法引进数学建模思想、思路以及基本方法，建立正确的数学模型。因此为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次的科技人才，在高等数学教学中将数学建模思想贯穿于整个过程，在大学教育中必须逐步开展。
大量的事实表明，掌握了数学知识只是应用数学解决实际问题的必要条件，在当前实现数学作为一种技术的职能的过程中使用数学解决实际问题的技能的培养也是非常重要和必需的。因此，在高等数学教学中应渗透数学建模的思想。
一、能力培养与数学建模
美国心理学家布鲁纳曾说过：学习最好的动力，是对学习材料的兴趣。而数学建模教学自始至终提供学生感兴趣的现实材料。数学建模是一种微小的科研活动，它对学生今后的学习和工作无疑会有深远的影响，同时它对学生的能力也提出了更高的要求。数学建模思想的普及及其竞赛活动，既能提高学生应用数学的能力，培养了学生的创造性思维能力和合作意识，也能促进高校课程建设和教学改革，激发了学生的创造欲和创新精神。数学建模教学和数学建模竞赛着眼于培养大学生如下之能力:
(一) 培养“翻译”的能力，即把经过一定抽象、简化的实际问题用数学的语言表达出来形成数学模型。
(二) 培养对已知的数学方法和思想进行综合应用的能力。
(三) 培养对实际问题的联想与归类能力。
(四) 逐渐发展形成一种洞察能力。就是能抓住(或部分抓住) 要点的能力。
(五) 培养熟练使用现代技术手段能力。
二、数学建模教学
建模课程指导思想是:以实验室为基础， 以学生为中心，以问题为主线，以培养能力为目的来组织教学工作。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程。提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题。数学建模的主要目标是要将初看起来杂乱无章的实际问题抽象为一个数学问题。在数学建模过程中，面对错综复杂的实际问题，要求建模者充分发挥主观能动性，对问题进行探索、发现，创造性地用形式推理或似真推理，综合运用观察、实验、类比、联想、归纳、直觉和审美等多种思维方式，以达到解决问题的目的。把数学与客观实际问题联系起来的纽带首先是数学建模，即用数学语言（由数字、字母、数学符号组成的公式、图表或程序）来描述和模仿实际问题中的数量关系、空间形式。它主要通过建立数学模型，解决各种实际问题来考察大学生的数学修养、应用能力和创新精神。数学模型就是对实际问题的一种数学表述。确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象，为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等(见数学建模过程流程图)。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好的问题，启发、引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索、努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神，形成一个生动活泼的环境和气氛。教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望，培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力。提高他们的数学素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。
三、注意数学建模嵌入的时机
数学建模在什么时机嵌入是最合适的? 当所学的内容与已有的经验联系起来时， 这样的学习才是最有效、最有意义、最有价值的， 才能最大限度地调动学习者的积极性。引进教学的模型时应借助已知的概念、定理， 在解决模型的过程中， 引出新的定义定理方法， 这个时候， 嵌入数学建模的时机是最合适的， 效果是最理想的。
例如， 在引入无穷级数这一个概念时， 可以介绍古希腊哲学家芝诺所提出的“阿基里斯追龟悖论”。芝诺的悖论在于他把阿基里斯追乌龟时， 乌龟向前爬的距离分成无限段， 然后一段一段加以叙述。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟， 实质就是在无限次追赶中， 乌龟向前爬的距离之和为无穷大。在此提出了无限项求和的未知问题， 此前， 学生熟知的是有限项求和的概念，如何将有限转为无限? 很自然地就用到了学生已知的极限这一概念。此处可以建立簡单的模型来解释: 设乌龟在阿基里斯前 处出发， 其速度为， 若阿基里斯速度为乌龟的k 倍， 即，则第一次追赶时乌龟向前爬的距离为， 第二次追赶时乌龟向前爬的距离为， 第n 次追赶时乌龟向前爬的距离为， 此时， 乌龟向前爬的距离为， 在无限次追赶中， 乌龟向前爬的距离为一有限数， 并非无穷大， 从而就反驳了芝诺的悖论。在本例中， 提出了无限项求和的未知概念， 利用已知的有限项求和概念， 结合已知的极限方法， 给出了无项限求和的可能性及基本方法， 不但能更好地引进无穷级数的概念， 也能极大地激发学生的兴趣。
又如，在导出定积分的概念时，设计如下教学过程：
实际问题：（1）如何求变速直线运动的路程？（2）如何求不规则图形的面积？
问题提出后引导学生建立模型。
先看问题（1），如果速度是不变的，那么，路程=速度×时间。
问题是这里的速度不是一个常数，所以上述公式不能用。我们可以这样考虑：把时间段分为许多小区间，当时间段分割的足够小时，由于速度的变化是连续的，可以认为各小区间段内的速度是匀速的，即小区间内的速度看作是一个常数，用这一小段的时间乘速度就是这一小段的近似路程，把所有小段时间的路程加起来就得到路程的近似值，要想得到精确的值，就要把分割无限地加细，使每个小区间段的长度都趋于零，这时所有小区间段上的路程之和的极限就是所求的路程。
再看问题（2），求不规则图形的面积，归结为求曲边梯形的面积的问题，类似问题（1）的分析，通过分割、近似、求和、取极限转化为一个和式的极限。若该极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分记作，从而抽象出定积分的概念。
四、结语
本文阐述了在高等数学教学中渗透建模思想不但能够激发大学生数学学习的兴趣，体会数学的实用价值，而且能够发展大学生的辩证逻辑思维、创造性思维以及元认知能力。 然后用实例说明了如何在高等数学概念引入教学中渗透数学建模思想的方法。同时还指出了高等数学教学中渗透数学建模思想需要注意的几个问题。
[关键词]高等数学 数学建模
自然科学中几乎所有的重大发现无不依赖于数学的发展与进步。数学作为一门重要的基础学科和一种精确的科学语言，是人类文明的一个重要组成部分，在社会各领域中发挥着愈来愈重要的作用，高科技的出现使得数学与工程技术之间，在更广阔的范围内和更深刻的程度上直接地相互作用，把我们的社会推进到数学工程技术的新时代，数学是各学科可以共同使用的语言。数学教育本身是一种素质教育，数学建模的教学与竞赛是实施素质教育的有效途径，它既增强了学生的数学应用意识，又提高了学生运用数学知识和计算机技术分析和解决问题的能力。
“数学模型”和“数学实验”课程的开设，使许多理科类的学生受益匪浅，而学其他专业类的学生却因为某些原因往往被忽视。部分学生是为了“学数学”而学数学，导致兴趣索然，对数学望而生畏;或者虽然对常规的数学题目“见题就会，一做就对”，但是对发生在身边的实际问题，却无法引进数学建模思想、思路以及基本方法，建立正确的数学模型。因此为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次的科技人才，在高等数学教学中将数学建模思想贯穿于整个过程，在大学教育中必须逐步开展。
大量的事实表明，掌握了数学知识只是应用数学解决实际问题的必要条件，在当前实现数学作为一种技术的职能的过程中使用数学解决实际问题的技能的培养也是非常重要和必需的。因此，在高等数学教学中应渗透数学建模的思想。
一、能力培养与数学建模
美国心理学家布鲁纳曾说过：学习最好的动力，是对学习材料的兴趣。而数学建模教学自始至终提供学生感兴趣的现实材料。数学建模是一种微小的科研活动，它对学生今后的学习和工作无疑会有深远的影响，同时它对学生的能力也提出了更高的要求。数学建模思想的普及及其竞赛活动，既能提高学生应用数学的能力，培养了学生的创造性思维能力和合作意识，也能促进高校课程建设和教学改革，激发了学生的创造欲和创新精神。数学建模教学和数学建模竞赛着眼于培养大学生如下之能力:
(一) 培养“翻译”的能力，即把经过一定抽象、简化的实际问题用数学的语言表达出来形成数学模型。
(二) 培养对已知的数学方法和思想进行综合应用的能力。
(三) 培养对实际问题的联想与归类能力。
(四) 逐渐发展形成一种洞察能力。就是能抓住(或部分抓住) 要点的能力。
(五) 培养熟练使用现代技术手段能力。
二、数学建模教学
建模课程指导思想是:以实验室为基础， 以学生为中心，以问题为主线，以培养能力为目的来组织教学工作。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程。提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题。数学建模的主要目标是要将初看起来杂乱无章的实际问题抽象为一个数学问题。在数学建模过程中，面对错综复杂的实际问题，要求建模者充分发挥主观能动性，对问题进行探索、发现，创造性地用形式推理或似真推理，综合运用观察、实验、类比、联想、归纳、直觉和审美等多种思维方式，以达到解决问题的目的。把数学与客观实际问题联系起来的纽带首先是数学建模，即用数学语言（由数字、字母、数学符号组成的公式、图表或程序）来描述和模仿实际问题中的数量关系、空间形式。它主要通过建立数学模型，解决各种实际问题来考察大学生的数学修养、应用能力和创新精神。数学模型就是对实际问题的一种数学表述。确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象，为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等(见数学建模过程流程图)。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好的问题，启发、引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索、努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神，形成一个生动活泼的环境和气氛。教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望，培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力。提高他们的数学素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。
三、注意数学建模嵌入的时机
数学建模在什么时机嵌入是最合适的? 当所学的内容与已有的经验联系起来时， 这样的学习才是最有效、最有意义、最有价值的， 才能最大限度地调动学习者的积极性。引进教学的模型时应借助已知的概念、定理， 在解决模型的过程中， 引出新的定义定理方法， 这个时候， 嵌入数学建模的时机是最合适的， 效果是最理想的。
例如， 在引入无穷级数这一个概念时， 可以介绍古希腊哲学家芝诺所提出的“阿基里斯追龟悖论”。芝诺的悖论在于他把阿基里斯追乌龟时， 乌龟向前爬的距离分成无限段， 然后一段一段加以叙述。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟， 实质就是在无限次追赶中， 乌龟向前爬的距离之和为无穷大。在此提出了无限项求和的未知问题， 此前， 学生熟知的是有限项求和的概念，如何将有限转为无限? 很自然地就用到了学生已知的极限这一概念。此处可以建立簡单的模型来解释: 设乌龟在阿基里斯前 处出发， 其速度为， 若阿基里斯速度为乌龟的k 倍， 即，则第一次追赶时乌龟向前爬的距离为， 第二次追赶时乌龟向前爬的距离为， 第n 次追赶时乌龟向前爬的距离为， 此时， 乌龟向前爬的距离为， 在无限次追赶中， 乌龟向前爬的距离为一有限数， 并非无穷大， 从而就反驳了芝诺的悖论。在本例中， 提出了无限项求和的未知概念， 利用已知的有限项求和概念， 结合已知的极限方法， 给出了无项限求和的可能性及基本方法， 不但能更好地引进无穷级数的概念， 也能极大地激发学生的兴趣。
又如，在导出定积分的概念时，设计如下教学过程：
实际问题：（1）如何求变速直线运动的路程？（2）如何求不规则图形的面积？
问题提出后引导学生建立模型。
先看问题（1），如果速度是不变的，那么，路程=速度×时间。
问题是这里的速度不是一个常数，所以上述公式不能用。我们可以这样考虑：把时间段分为许多小区间，当时间段分割的足够小时，由于速度的变化是连续的，可以认为各小区间段内的速度是匀速的，即小区间内的速度看作是一个常数，用这一小段的时间乘速度就是这一小段的近似路程，把所有小段时间的路程加起来就得到路程的近似值，要想得到精确的值，就要把分割无限地加细，使每个小区间段的长度都趋于零，这时所有小区间段上的路程之和的极限就是所求的路程。
再看问题（2），求不规则图形的面积，归结为求曲边梯形的面积的问题，类似问题（1）的分析，通过分割、近似、求和、取极限转化为一个和式的极限。若该极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分记作，从而抽象出定积分的概念。
四、结语
本文阐述了在高等数学教学中渗透建模思想不但能够激发大学生数学学习的兴趣，体会数学的实用价值，而且能够发展大学生的辩证逻辑思维、创造性思维以及元认知能力。 然后用实例说明了如何在高等数学概念引入教学中渗透数学建模思想的方法。同时还指出了高等数学教学中渗透数学建模思想需要注意的几个问题。