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编前语：教材是教学内容的文本载体，读懂教材是实施有效教学的前提。昆明市盘龙区周佳泉小学数学名师工作室历时三年，对《深度研读小学数学教材》课题开展深入研究，提炼出“还原数学知识的本质原理”“再现数学知识的形成过程”“丰富数学知识的表现形式”“探寻数学知识的实用价值”等四个深度研读小学数学教材的策略。现撷取该工作室在研究过程中的部分优秀案例呈现给大家，希望在借鉴交流中引发大家对深度研读教材更加深入的思考。
【导读】
“植树问题”是人教版五年级数学上册第七单元数学广角的教学内容。数学广角的教学目标之一，就是要让学生感悟重要的思想方法。本课所蕴含的数学思想是在“一一对应”的基础上，根据实际情况进行变化。数学模型虽然简单，表现形式却千变万化。如何帮助学生在变化中找到不变的数学本质原理，是这节课需要思考的核心问题。
来自昆明市盘龙区金康园小学的李祖飞老师，巧妙创设活动情境，把“植树问题”的三种情况全部蕴含在一个问题情境中，既提高了课堂教学的效率，也让学生对植树问题的本质理解更加深入。
【案例】
教学实录：
一、创设植树情境，初步理解题意
（PPT出示问题）：学校门口有一条60米长的小路，要在小路一边每隔5米栽一棵树，一共要栽多少棵？
师：会解决吗？怎样解答？
生：60÷5=12（棵）。
……
师：如果按照距离把植树任务平均分给三个班，每班栽几棵？
……
二、模拟植树操作，呈现不同情况
（用磁性黑板贴代表小路，并画上线段图，用磁钉等代表小树进行模拟植树）
师：下面我们动手“植一植”吧。（请三名学生模拟三个班的“植树”情况）
……
（老师按3个班的植树距离，分别剪开，展示每班的劳动成果）
三、暴露认知冲突，初步建立模型
师：仔细观察上图，你们发现了什么？
生1：每个班植的棵数都不一样！
生2：一班植了5棵，二班植了4棵，三班植了3棵，依次少了1棵。
生3：虽然距离相等，但植的棵数不同。
师追问：明明我们计算的是平均每班植4棵，为什么会不一样呢？
生：二班左端没有栽，比一班就少了1棵，三班两端都没有栽，所以又比二班少1棵。
师：那么在实际的植树过程中，会出现几种不同的情况呢？
生：两端都栽;一端栽，一端不栽;两端都不栽。
师小结：原来是由于植树情况不同，导致每班植树棵数不同。
师：这条小路确实共种了12棵树，每个班植树的数量却不同，那到底我们平均分的是什么？
生：是树与树之间的距离。
师肯定：对，我们并不是直接算出树的棵数，而是把小路按距离进行了平均分。
师讲解：树与树的距离，我们一般称为“间隔”，也是两个点间的一段，我们也可以简单地叫它“空”或“段”。
师：20÷5=4，到底求的是什么？
生：求的是每一“段”的长度。
根据学生的讨论交流将单位名称“棵”改为“段”。
四、引导对比强化，抽象植树模型
师：哪一种植树情况最费树苗？为什么？哪一种植树最省树苗？为什么？
……
师再问：根据不同的植树情况，“点”和“段”存在怎样的对应关系？
生：两端都栽，棵数比段数多1;两端都不栽的话，棵数就比段数少1;一端栽，一端不栽，棵数和段数相等。
教师根据学生回答补充完成板书。
师：咱们再回到开头例题，我们怎么就能直接正确计算出一共植12棵树呢？
生1：我们算出的是有12“段”。
生2：例题是一端栽一端不栽的情况，段数和棵数正好相等。
师小结：思路很清晰。我们用小路的长度除以树与树的距离也就是间隔，实际求出的是有几个这样的间隔或者说有几“段”，棵数和段数根据不同的植树情况有特定的对应关系，所以可以按段数求出棵数。
五、尝试应用模型，解决实际问题
……
1.同学们要在一条500米的小路两旁植树，每隔10米植一棵，两端不植，一共需要多少棵树苗？
2.一根木料锯成2米长的小段，一共花了12分钟，已知每锯下一段需要3分钟，这根木料长多少米？
……
師小结：其实“植树”问题只是这一类问题的代表，类似的还有爬楼梯问题、排队问题、公交车站台问题等，都属于上面三种情况，只要大家掌握其中的规律，就能根据“点”“段”的关系正确解答。
……
板书设计：
【评析】
“植树问题”看似简单，但要让学生深入理解问题的本质却实属不易。本案例中，李祖飞老师通过巧妙创设问题情境，把“植树问题”的三种类型同时教学，让学生在丰富的体验活动中逐步达到对“植树问题”本质的理解。具体体现在：
1.巧妙创设情境，回归问题本质。教材中的“植树问题”分两个例题进行编排，例1是教学“两端都栽”的情况，例2教学“两端都不栽”和“一端栽，一端不栽”两种情况。如果把三种情况结合起来教学，最大的优点是便于对比，突出矛盾，可以更好地沟通联系，更有利于学生植树模型的建立。在“平均分”的基础上，看似三个班的植树任务相同，但通过实际操作却发现结果完全出乎预料！在对比中才发现：原来植树问题研究的不是数量，而是两种量之间的关系！
2.在“变”中找“不变”，构建数学模型。三种植树方法看似变化多端，但在“变”中却有“不变”的地方。它们都是基于把一段距离平均分成若干段以后，在段数的基础上进行变化的。老师再用通俗的语言引导学生理解：两端都栽的时候树用得最多，如果把树看成点的话，也就是“点”比“段”多1;两端都不栽的时候，最节约树，“点”比“段”少1;一端栽、一端不栽的时候，情况居中，所以“点”与“段”相等。于是，在学生头脑中就勾画出了一个思维轮廓（如左图）：
3.回归生活实际，加深理解程度。回归生活、学以致用，是数学学习的重要目标之一。“植树问题”在实际生活中有很多表现形式，如，敲钟问题、公交站台问题、锯木料问题……它们与“植树问题”如同水与冰，外形各异，本质却相同。在这些问题中，哪些数量相当于“段”？哪些数量相当于“点”？弄清楚了各种数量所扮演的角色，再按照学生自己归纳的数学模型加以思考，很多看似复杂的问题就变得非常简单了。“让学生在新的情境中对所学知识进行辨认、再现和应用”的新课标理念，就是这样具体地扎根于我们的课堂实际教学中。
数学其实既简约又丰富。数学模型的建构就是要高度抽象、简洁，而数学模型的表现与应用形式则应尽可能地丰富。这样，数学教学就能真正做到源于生活而又高于生活，学生在丰富的体验活动中，峰回路转之后复归于平淡。
【导读】
“植树问题”是人教版五年级数学上册第七单元数学广角的教学内容。数学广角的教学目标之一，就是要让学生感悟重要的思想方法。本课所蕴含的数学思想是在“一一对应”的基础上，根据实际情况进行变化。数学模型虽然简单，表现形式却千变万化。如何帮助学生在变化中找到不变的数学本质原理，是这节课需要思考的核心问题。
来自昆明市盘龙区金康园小学的李祖飞老师，巧妙创设活动情境，把“植树问题”的三种情况全部蕴含在一个问题情境中，既提高了课堂教学的效率，也让学生对植树问题的本质理解更加深入。
【案例】
教学实录：
一、创设植树情境，初步理解题意
（PPT出示问题）：学校门口有一条60米长的小路，要在小路一边每隔5米栽一棵树，一共要栽多少棵？
师：会解决吗？怎样解答？
生：60÷5=12（棵）。
……
师：如果按照距离把植树任务平均分给三个班，每班栽几棵？
……
二、模拟植树操作，呈现不同情况
（用磁性黑板贴代表小路，并画上线段图，用磁钉等代表小树进行模拟植树）
师：下面我们动手“植一植”吧。（请三名学生模拟三个班的“植树”情况）
……
（老师按3个班的植树距离，分别剪开，展示每班的劳动成果）
三、暴露认知冲突，初步建立模型
师：仔细观察上图，你们发现了什么？
生1：每个班植的棵数都不一样！
生2：一班植了5棵，二班植了4棵，三班植了3棵，依次少了1棵。
生3：虽然距离相等，但植的棵数不同。
师追问：明明我们计算的是平均每班植4棵，为什么会不一样呢？
生：二班左端没有栽，比一班就少了1棵，三班两端都没有栽，所以又比二班少1棵。
师：那么在实际的植树过程中，会出现几种不同的情况呢？
生：两端都栽;一端栽，一端不栽;两端都不栽。
师小结：原来是由于植树情况不同，导致每班植树棵数不同。
师：这条小路确实共种了12棵树，每个班植树的数量却不同，那到底我们平均分的是什么？
生：是树与树之间的距离。
师肯定：对，我们并不是直接算出树的棵数，而是把小路按距离进行了平均分。
师讲解：树与树的距离，我们一般称为“间隔”，也是两个点间的一段，我们也可以简单地叫它“空”或“段”。
师：20÷5=4，到底求的是什么？
生：求的是每一“段”的长度。
根据学生的讨论交流将单位名称“棵”改为“段”。
四、引导对比强化，抽象植树模型
师：哪一种植树情况最费树苗？为什么？哪一种植树最省树苗？为什么？
……
师再问：根据不同的植树情况，“点”和“段”存在怎样的对应关系？
生：两端都栽，棵数比段数多1;两端都不栽的话，棵数就比段数少1;一端栽，一端不栽，棵数和段数相等。
教师根据学生回答补充完成板书。
师：咱们再回到开头例题，我们怎么就能直接正确计算出一共植12棵树呢？
生1：我们算出的是有12“段”。
生2：例题是一端栽一端不栽的情况，段数和棵数正好相等。
师小结：思路很清晰。我们用小路的长度除以树与树的距离也就是间隔，实际求出的是有几个这样的间隔或者说有几“段”，棵数和段数根据不同的植树情况有特定的对应关系，所以可以按段数求出棵数。
五、尝试应用模型，解决实际问题
……
1.同学们要在一条500米的小路两旁植树，每隔10米植一棵，两端不植，一共需要多少棵树苗？
2.一根木料锯成2米长的小段，一共花了12分钟，已知每锯下一段需要3分钟，这根木料长多少米？
……
師小结：其实“植树”问题只是这一类问题的代表，类似的还有爬楼梯问题、排队问题、公交车站台问题等，都属于上面三种情况，只要大家掌握其中的规律，就能根据“点”“段”的关系正确解答。
……
板书设计：
【评析】
“植树问题”看似简单，但要让学生深入理解问题的本质却实属不易。本案例中，李祖飞老师通过巧妙创设问题情境，把“植树问题”的三种类型同时教学，让学生在丰富的体验活动中逐步达到对“植树问题”本质的理解。具体体现在：
1.巧妙创设情境，回归问题本质。教材中的“植树问题”分两个例题进行编排，例1是教学“两端都栽”的情况，例2教学“两端都不栽”和“一端栽，一端不栽”两种情况。如果把三种情况结合起来教学，最大的优点是便于对比，突出矛盾，可以更好地沟通联系，更有利于学生植树模型的建立。在“平均分”的基础上，看似三个班的植树任务相同，但通过实际操作却发现结果完全出乎预料！在对比中才发现：原来植树问题研究的不是数量，而是两种量之间的关系！
2.在“变”中找“不变”，构建数学模型。三种植树方法看似变化多端，但在“变”中却有“不变”的地方。它们都是基于把一段距离平均分成若干段以后，在段数的基础上进行变化的。老师再用通俗的语言引导学生理解：两端都栽的时候树用得最多，如果把树看成点的话，也就是“点”比“段”多1;两端都不栽的时候，最节约树，“点”比“段”少1;一端栽、一端不栽的时候，情况居中，所以“点”与“段”相等。于是，在学生头脑中就勾画出了一个思维轮廓（如左图）：
3.回归生活实际，加深理解程度。回归生活、学以致用，是数学学习的重要目标之一。“植树问题”在实际生活中有很多表现形式，如，敲钟问题、公交站台问题、锯木料问题……它们与“植树问题”如同水与冰，外形各异，本质却相同。在这些问题中，哪些数量相当于“段”？哪些数量相当于“点”？弄清楚了各种数量所扮演的角色，再按照学生自己归纳的数学模型加以思考，很多看似复杂的问题就变得非常简单了。“让学生在新的情境中对所学知识进行辨认、再现和应用”的新课标理念，就是这样具体地扎根于我们的课堂实际教学中。
数学其实既简约又丰富。数学模型的建构就是要高度抽象、简洁，而数学模型的表现与应用形式则应尽可能地丰富。这样，数学教学就能真正做到源于生活而又高于生活，学生在丰富的体验活动中，峰回路转之后复归于平淡。