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【摘要】 数学教学既要教学生严谨证明，又要教学生合情推理，这已经成为新课程标准的要求，从而也成为高考的一个新热点。本文“结合已学过的数学实例和生活中实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。”《 普通高中数学课程标准》诠释合情推理的必要性和培养学生合理进行合情推理的途径。
【关键词】 归纳；类比；合情推理；合理推理；课程标准
【中图分类号】G623.5【文献标识码】B【文章编号】1001-4128（2011）04-0250-03
1 数学需要合情推理
合情推理，是美籍数学家G•波利亚在20世纪30年代提出的概念，是人们根据已有的知识经验，在情感的影响下，运用观察、实验、类比、联想、直觉等非演绎的思维形式，构造出关于合乎情理的认知过程；“归纳和类比是合情推理中最基本、最重要的两种形式”.数学家拉普拉斯也说“数学中达到真理的主要方法是归纳和类比”。合情推理的实质是“发现”，是建立在一定知识和经验的基础上，源于对数学知识、式子的结构性、条件的可比性的合理判断，因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新能力,关注合情推理的教学也就有助于提高学生数学学习的兴趣和能力.
1.1 从科学发现的角度来说,数学需要合情推理
波利亚认为:“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话,那么就让猜想和合情推理占有适当的位置”.现今的人们,已经习惯用字母 等表示未知量,从而构成了形式各异的代数式.两个代数式之间用“=”号联结就得到今天常见的方程.然而这种今天看似简单的符号在数学的发展中却经历了相当漫长的过程.用字母表示数,是16世纪末法国数学大师韦达的巨大创造,他的著作《分析法引论》不断地发展几何,三角和单数,除了改进代数符号外,还发展了解方程的理论,使更加深刻的代数理论成为可能.再如:引入“ ”作为“虚数单位”,从而将实数集扩充到复数集.数学史在人类社会的发展和进步中由数学大师们的大胆猜想和合情推理而不断完善。
1.2 数学创新能力的培养靠的主要是合情推理
数学科的考试按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则.高考命题是能力立意的！《考试说明》(2009.浙江)).能力的培养需要从问题情境中“发现—归纳—类比”,即合情推理。
2 数学知识的理解掌握离不开合情推理
数学知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》中所规定的必修课程及选修课程中的数学概念﹑性质﹑法则﹑公式﹑公理、定理以及由其内容反映的数学思想和方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算,处理数据﹑绘制图表等基本技能.这里,强调双基落实的过程中要承载数学思想方法,揭示数学规则与本质(杭州市普通教育研究室:李学军)。
如:等比数列前 项和的推导
已知数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，则前 项和
，
回顾平方差、立方差公式：
当 时，
变形得：
猜想：；
；
.
归纳，是由特殊的前提归纳猜想一般的结论，也就是说合情推理必须是合理的推理.和类比推理一样,归纳推理也是一种不充分的似真推理，确认其正确，必须证明.本例的猜想证明只需验证
即可。
2 合情还需合理,不仅是“考试要求”,也是“知识要求”
2.1 和差公式
已知两角 ，在定义域内有 变形得
，给 确定的角有：
①；
② ；
③；
④ 。
对①②③的合情推理，只要具备简单的变式训练和信息迁移能力不难解决，但对④必须给学生思考的空间和平台，比如合作交流、小组讨论等。对④：
思路分析1： 或 合理推理：
思路分析2：构造一个三角形，其中3个角分别是 结合正、余弦定理来合理推理：在 中， ，由正弦定理
由余弦定理
即
显然，思路分析2比分析1简捷；它合理的使用数与形之间的对应与转化使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它“兼有数的严谨与形的直观”之长;当然，这种合情推理是以扎实的知识为基础，合理不是凭空臆想。再如本例变式：已知 为非零常数， 且
你能由此类比 ，从而确定 的周期是
解决这个问题更要求学生有良好的知识储备水平与架构知识的能力.
2．（2003年全国高考题）
在平面几何里，有勾股定理：在⊿ 中， ，则 拓展到空间，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是；需要注意的是这一题的难度不大,得分率不高. “大部分考生没有掌握类比的方法，搞错了类比的方向”（王林全：《现代数学教育研究概论》，广东高等教育出版社）。
再如:在平面上,设 是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别是 我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论。
3 培养合理合情推理的途径
3.1 课堂教学中变式训练、直觉诱导，层递性、趣味性和开放性的课堂练习。教师的知识水平要高,教师的知识水平直接影响着课堂的组织教学和合情推理目标的实现G•波利亚在《数学与猜想》中这样强调合情推理：“只要教学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想和合情推理占有适当的位置”，所以创设教学情景，把学生引入到探索、发现、归纳、类比的思维空间。新课标中指出：数学课堂教学的本质是教学活动.课堂例题、练习的开发、整合、优化是开发学生合理推理能力的主要载体，也体现了师生之间教学活动的沟通与合作。
这是对教材例、习题的再建构，在课堂教学活动中，首先让学生动脑思考，其次让学生掌握通性通法，领悟规律，教师的作用就是呈现解题之“渔”，真实体会合情推理的合理性。
2.2 作业，自编也精彩.教师要有全新的教学理念,以学生为主体,让学生合理合情推理
在我国数学教学中，数学技能的训练一直受到教师的重视.《中学数学教学参考》2008•10期《数学技能训练的有效性》一文谈起学生数学技能形成的心理过程时，指出：“从学习心理的角度看，技能是一种程序知识，是‘一看（观察问题）、二判（判别问题类型）、三选（选择方法）、四求（求得答案）’的过程，充满了思考、探索、尝试等思维活动”.所以，提高学生合理合情推理的技能，必须注意练习题的精心配置，必须注意训练的层次性和有序性，必须以学生为主体,因生施教,关注适合自己学生学习的感受、体验和创造（对学生来说，是一种创造）过程.作业，自编也精彩。
以下是上述例题后的自编作业，选做其中四题即可。
（1）设 则 改变 中任何一个的符号，你能写出哪些结论？
（2）在平面直角坐标系中， 轴上的点到两点 的距离之和的最小值是 ；已知函数 ，当 =时，函数有最小值.
（3）在等比数列 中， ，则；
（4）过抛物线 的焦点 作一条斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点，已知命题“过 两点分别作曲线 的切线，两切线的交点 恒在直线 上” 是真命题，请猜测椭圆 的相应的命题；（不需证明）
（5）已知下图①、②、③分别是一个立体模型的正、左、俯视图，这个立体模型是由若干个棱长为1的小正方体组成，则这个立体模型的体积的所有可能值是 .
数学合情推理的培养是数学双基培养的一部分，扎实的双基又会更有效地诠释合情推理。 G•波利亚在《怎样解题》中指出：“一个好的教师应该懂得并且传授给学生下列看法：没有任何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做.经过充分的探讨钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平”。这就是合理推理教会学生的数学的思想和方法。
总之，数学需要合情推理.一方面,体现了数学作为基础学科在选拔性考试中的作用,另一方面要发挥数学知识作为基础学科的作用,数学知识的理解掌握和创新能力都离不开合情推理.合情推理是数学的原动力,也是数学作为基础学科最需要和必须培养与具备的素养。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制订，《普通高中数学课程标准（实验）》，人民教育出版社.2003.
[2] 章建跃.对高中数学新课标教学的若干建议.《中学数学教学参考（高中）》，2007（3）
[3] G•波利亚(美) 《数学与猜想（第一卷）》.李心灿，王日爽，李志尧译.科学出版社，2003.
[4] 王林全：《现代数学教育研究概论》，广东高等教育出版社.2005.
[5] 《中学数学教学参考（高中）》2008.10
《中学教研（数学）》2007.7.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】 归纳；类比；合情推理；合理推理；课程标准
【中图分类号】G623.5【文献标识码】B【文章编号】1001-4128（2011）04-0250-03
1 数学需要合情推理
合情推理，是美籍数学家G•波利亚在20世纪30年代提出的概念，是人们根据已有的知识经验，在情感的影响下，运用观察、实验、类比、联想、直觉等非演绎的思维形式，构造出关于合乎情理的认知过程；“归纳和类比是合情推理中最基本、最重要的两种形式”.数学家拉普拉斯也说“数学中达到真理的主要方法是归纳和类比”。合情推理的实质是“发现”，是建立在一定知识和经验的基础上，源于对数学知识、式子的结构性、条件的可比性的合理判断，因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新能力,关注合情推理的教学也就有助于提高学生数学学习的兴趣和能力.
1.1 从科学发现的角度来说,数学需要合情推理
波利亚认为:“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话,那么就让猜想和合情推理占有适当的位置”.现今的人们,已经习惯用字母 等表示未知量,从而构成了形式各异的代数式.两个代数式之间用“=”号联结就得到今天常见的方程.然而这种今天看似简单的符号在数学的发展中却经历了相当漫长的过程.用字母表示数,是16世纪末法国数学大师韦达的巨大创造,他的著作《分析法引论》不断地发展几何,三角和单数,除了改进代数符号外,还发展了解方程的理论,使更加深刻的代数理论成为可能.再如:引入“ ”作为“虚数单位”,从而将实数集扩充到复数集.数学史在人类社会的发展和进步中由数学大师们的大胆猜想和合情推理而不断完善。
1.2 数学创新能力的培养靠的主要是合情推理
数学科的考试按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则.高考命题是能力立意的！《考试说明》(2009.浙江)).能力的培养需要从问题情境中“发现—归纳—类比”,即合情推理。
2 数学知识的理解掌握离不开合情推理
数学知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》中所规定的必修课程及选修课程中的数学概念﹑性质﹑法则﹑公式﹑公理、定理以及由其内容反映的数学思想和方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算,处理数据﹑绘制图表等基本技能.这里,强调双基落实的过程中要承载数学思想方法,揭示数学规则与本质(杭州市普通教育研究室:李学军)。
如:等比数列前 项和的推导
已知数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，则前 项和
，
回顾平方差、立方差公式：
当 时，
变形得：
猜想：；
；
.
归纳，是由特殊的前提归纳猜想一般的结论，也就是说合情推理必须是合理的推理.和类比推理一样,归纳推理也是一种不充分的似真推理，确认其正确，必须证明.本例的猜想证明只需验证
即可。
2 合情还需合理,不仅是“考试要求”,也是“知识要求”
2.1 和差公式
已知两角 ，在定义域内有 变形得
，给 确定的角有：
①；
② ；
③；
④ 。
对①②③的合情推理，只要具备简单的变式训练和信息迁移能力不难解决，但对④必须给学生思考的空间和平台，比如合作交流、小组讨论等。对④：
思路分析1： 或 合理推理：
思路分析2：构造一个三角形，其中3个角分别是 结合正、余弦定理来合理推理：在 中， ，由正弦定理
由余弦定理
即
显然，思路分析2比分析1简捷；它合理的使用数与形之间的对应与转化使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它“兼有数的严谨与形的直观”之长;当然，这种合情推理是以扎实的知识为基础，合理不是凭空臆想。再如本例变式：已知 为非零常数， 且
你能由此类比 ，从而确定 的周期是
解决这个问题更要求学生有良好的知识储备水平与架构知识的能力.
2．（2003年全国高考题）
在平面几何里，有勾股定理：在⊿ 中， ，则 拓展到空间，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是；需要注意的是这一题的难度不大,得分率不高. “大部分考生没有掌握类比的方法，搞错了类比的方向”（王林全：《现代数学教育研究概论》，广东高等教育出版社）。
再如:在平面上,设 是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别是 我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论。
3 培养合理合情推理的途径
3.1 课堂教学中变式训练、直觉诱导，层递性、趣味性和开放性的课堂练习。教师的知识水平要高,教师的知识水平直接影响着课堂的组织教学和合情推理目标的实现G•波利亚在《数学与猜想》中这样强调合情推理：“只要教学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想和合情推理占有适当的位置”，所以创设教学情景，把学生引入到探索、发现、归纳、类比的思维空间。新课标中指出：数学课堂教学的本质是教学活动.课堂例题、练习的开发、整合、优化是开发学生合理推理能力的主要载体，也体现了师生之间教学活动的沟通与合作。
这是对教材例、习题的再建构，在课堂教学活动中，首先让学生动脑思考，其次让学生掌握通性通法，领悟规律，教师的作用就是呈现解题之“渔”，真实体会合情推理的合理性。
2.2 作业，自编也精彩.教师要有全新的教学理念,以学生为主体,让学生合理合情推理
在我国数学教学中，数学技能的训练一直受到教师的重视.《中学数学教学参考》2008•10期《数学技能训练的有效性》一文谈起学生数学技能形成的心理过程时，指出：“从学习心理的角度看，技能是一种程序知识，是‘一看（观察问题）、二判（判别问题类型）、三选（选择方法）、四求（求得答案）’的过程，充满了思考、探索、尝试等思维活动”.所以，提高学生合理合情推理的技能，必须注意练习题的精心配置，必须注意训练的层次性和有序性，必须以学生为主体,因生施教,关注适合自己学生学习的感受、体验和创造（对学生来说，是一种创造）过程.作业，自编也精彩。
以下是上述例题后的自编作业，选做其中四题即可。
（1）设 则 改变 中任何一个的符号，你能写出哪些结论？
（2）在平面直角坐标系中， 轴上的点到两点 的距离之和的最小值是 ；已知函数 ，当 =时，函数有最小值.
（3）在等比数列 中， ，则；
（4）过抛物线 的焦点 作一条斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点，已知命题“过 两点分别作曲线 的切线，两切线的交点 恒在直线 上” 是真命题，请猜测椭圆 的相应的命题；（不需证明）
（5）已知下图①、②、③分别是一个立体模型的正、左、俯视图，这个立体模型是由若干个棱长为1的小正方体组成，则这个立体模型的体积的所有可能值是 .
数学合情推理的培养是数学双基培养的一部分，扎实的双基又会更有效地诠释合情推理。 G•波利亚在《怎样解题》中指出：“一个好的教师应该懂得并且传授给学生下列看法：没有任何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做.经过充分的探讨钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平”。这就是合理推理教会学生的数学的思想和方法。
总之，数学需要合情推理.一方面,体现了数学作为基础学科在选拔性考试中的作用,另一方面要发挥数学知识作为基础学科的作用,数学知识的理解掌握和创新能力都离不开合情推理.合情推理是数学的原动力,也是数学作为基础学科最需要和必须培养与具备的素养。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制订，《普通高中数学课程标准（实验）》，人民教育出版社.2003.
[2] 章建跃.对高中数学新课标教学的若干建议.《中学数学教学参考（高中）》，2007（3）
[3] G•波利亚(美) 《数学与猜想（第一卷）》.李心灿，王日爽，李志尧译.科学出版社，2003.
[4] 王林全：《现代数学教育研究概论》，广东高等教育出版社.2005.
[5] 《中学数学教学参考（高中）》2008.10
《中学教研（数学）》2007.7.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文