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摘 要：研究Karhunen-Loeve（K-L）滤波在地震数据中提取相关性信息的应用，利用K-L方式抽取或压制地震道集中的同相轴来实现滤波.探讨K-L运算中的正交分解法和奇异值分解算法，并分析同向轴的倾角、夹角以及噪音对滤波效果的影响.将该方法用于处理和分析模型数据与实际数据，证明该方法实用价值较高.
关键词：Karhunen-Loeve变换； 随机噪声； 滤波； 地震
中图分类号：P315.63；TN911.4 文献标志码：A
Application of Karhunen-Loeve
transformation in seismic data filtering
FU Qiang, YUE Jiguang, XIAO Yunshi
(College of Electronics & Info. Eng., Tongji Univ., Shanghai 200092, China)
Abstract： The application of extracting relevant information from seismic data by using Karhunen-Loeve (K-L) transformation is studied. The filtering is realized via event extraction or compression in seismic gathering using K-L transformation. The orthogonal decomposition and singular value decomposition method in K-L operation is discussed. The filtering effect caused by angle, inclination and noise of event is analyzed. The method is applied in model data and real material, and satisfied result is achieved.
Key words： Karhunen-Loeve transformation; stochastic noise; filtering; seism
0 引 言
在数据处理中，人们感兴趣的信号总被各种噪音所干扰，地理物理数据处理也不例外.噪音的来源多种多样，与具体问题有关.由于地震勘探领域的数据在野外采集，观测条件不可控制，且很复杂，因此产生噪音的因素非常多.总体而言，噪音主要由与地表有关的各种因素产生.地下因素产生的噪音主要是多次波（因为目前常用的地震数据成像方法不能对多次波成像）.地表因素引起的噪音成分很复杂，如面波、直达波、空气波和折射波等，另外还有很多随机噪音.随机噪音主要产生于各种干扰检波器的小扰动.总之，地震数据的噪音表现为相干和随机两种形式.
在各种形式的数据处理中，去除噪音都是非常重要的环节，主要依赖信号和噪音在频率—波数域或时间空间域的分布不同来进行，如带通滤波、F-X滤波、τ-p滤波和小波变换去噪［1］等.利用信号（或噪音）的相干性去噪也是很重要的滤波思想，如F-X域随机噪音衰减和相干增强［2］等.K-L滤波就是利用预测信号（或噪音）的相干性来去噪的方法.
设A为某种形式的地震数据记录，包含数据处理需要的所有信息，要进行的工作就是如何从数据记录A中分离出其包含的信号S.可将数据模型写成A=S+[WTHX]N[WTBX]c+[WTHX]N[WTBX]r.其中，[WTHX]N[WTBX]c和[WTHX]N[WTBX]r分别代表具有相关性和不具有相关性的噪音成分，即[WTHX]N[WTBX]c+[WTHX]N[WTBX]r=N，为了表达的简练，A,S,N都代表矩阵.［3］
K-L变换能够将A分解为一组主成分的和，而每个主成分都对应一个权重，该权重的大小恰恰反映A中不同部分的相关性，可以通过对主成分的选取实现不同相关性信号的分离．将主成分按其权重大小排序，如果只取最大的一个或几个主成分，那么恢复后的信号相关性就很好；如果只取最小的一个或几个主成分，那么恢复后的信号相关性就很差，如随机噪音.即如果从排序后的主成分中取前面几个，取得越少恢复后的信号相关性越好，取得越多得到的信号就会同时包含相关性好和相关性较差的部分．随机噪音的相关性很差，因此，只要忽略主成分中的最后面几个对信号进行恢复，就可以有效去除随机噪音.因此，K-L变换最初便应用在压制随机噪音方面以提高信噪比.［4-6］反之，如果只取主成分的最前面几个对信号进行恢复，就可以得到相关性最强的信号，这种应用也很广泛，如在陆地地震勘探中，直达波是主要的噪音之一，而其振幅往往比反射波的信号更强.压制直达波的常用滤波方法有一维高通滤波和二维F-K滤波：高通滤波基于直达波是低频这一特性，但不足是同时滤掉低频的反射信号，这些低频信号往往对波阻抗的确定起重要作用；就二维F-K滤波，当直达波信号强于反射信号时，该方式会使信号产生严重损坏.应用K-L滤波可将直达波校正为水平后过滤出来，再将它从原信号中抽取，从而得到经过压制的直达波滤波信号，同样的滤波方法也适用于多次波和空气波等.
1 方法原理
K-L变换是在统计意义上压制随机信号的一种滤波方法.在获取任何一幅图像的过程中，不可避免地混杂许多随机干扰因素，即得到的图像中含有很多随机成分，一般称其为随机图像.如对同一个地质环境多次采集数据成像，每次得到的图像都不尽相同.K-L变换正是针对这类广泛的随机图像提出的，对图像施加K-L变换以后，由变换结果恢复的图像将是对原图像在统计意义上的最佳逼近.具体算法如下：
式中：U和V分别为X的左右特征矩阵；∑为原矩阵的奇异值；σi为单值的非负奇异值，并且，将其按从大到小排列为σ1>σ2>…>σm.上式表示X在一个正交基上的投影，具体而言，是一个在排序了的uivTi上带有权重的和.显然，权重体现出它所对应的基（主成分）在构成原矩阵时所起的重要性.当奇异值按权重大到小排序时，很容易从它们当中取出前面几个重要的基及其权重来重新恢复原来的矩阵.在做这个变换之前，必须先把信号尽可能调整到水平，这样，道与道之间的信号才能表现出最大的相关性，并且相关性越大的信号通常对应着前面权重大的基，其他信号则对应着后面权重较小的基.
根据上述算法原理，采用以下步骤进行K-L变换滤波：(1) 对数据进行速度分析，采用速度叠加的方法求取需要提取同相轴的速度；(2) 用获取的速
度对数据进行动校正(NMO),将需要提取的信号(同相轴)校正为水平，而其他的同相轴则处于校正过量或校正不足的状态；(3) 对动校正后的数据进行正交变换或奇异值分解.所获得的带有较大特征值或奇异值的首要成分代表着水平同相轴的能量；(4) 利用前一个或几个主成分对数据进行恢复，忽略其他主成分或对其充0；(5) 对所得数据按动校正时相同的速度进行反动校正，获得过滤信号.
以维数为1 000×1 000的测试数据矩阵进行测试的结果证明，奇异值分解算法与完全的变换算法相比，运算速度可提高50%.
2 K-L滤波影响因素分析
为了更清楚地认识该方法的效果，下面通过试验数据对影响滤波效果的因素进行详细分析.
2.1 同相轴倾斜的影响
试验表明：随着同相轴倾角的增大，非最大奇异值与最大奇异值的比例增大.特别当同相轴倾角为0°时，非最大奇异值几乎全部为0（在理论上应全部为0，非0值是由于运算过程中的舍入误差造成的）.如果同相轴拉得不够平，那么其能量将会由多个奇异值及其主成分代替，不仅大的奇异值会变小，小的奇异值也会变大，从而由这个同相轴产生的奇异值将更容易被淹没到其他同相轴的奇异值当中，[HJ][HJ*4/7]在恢复信号时就会难以确定奇异值的位置，使滤波变得困难，因此，在做动校正时，应该尽量将同相轴拉平.
2.2 水平同相轴与非水平同相轴夹角的影响
分别对水平同相轴与非水平同相轴夹角为0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°时的数据进行奇异值分解，将获得的奇异值做归一化处理的结果见图2.[HJ][FL(4K0][JZ](a)动校正后水平同相轴与非
水平同相轴成10°夹角(b)将所得的奇异值归一化(c)m取1时滤波后信号
减掉滤出信号（图(c)）
后剩余的信号
试验表明：如果同相轴与水平同相轴的夹角很小，甚至近似平行时，较大奇异值的分布就会越密集，大小差异就会越小，会给选取合理的主成分造成不好的影响，幸运的是这种情况只在夹角极小的情况下才会发生，当夹角变得稍大些时，较大奇异值的分布差异就变大、变分散，并始终保持较大的差距，所以在动校正时，水平同相轴和非水平同相轴最好能保持一定的夹角，这样在进行奇异值选取时会较容易做出正确的判断和选择.同样，就滤波效果而言，夹角大的提取和保留的信号都比夹角小的清晰.
2.3 噪音的影响
为了考察噪音对滤波的影响，对模型数据加一定的噪音，噪音的最大振幅与原信号的最大振幅相同(见图3).[HJ][SD26][FL(4](a) 未加噪音前的数据(b) 加噪音后的数据(c) 图(b)倾斜同相轴校平后
奇异值的分布情况(d) [WB]m取1时信号进行
恢复并反动校
剩余信号即原信号图(b)
减掉过滤信号图(d)(f) [WB]图(e)倾斜同相轴校平后
奇异值的分布情况(g) [WB]m取1时信号进行
恢复并反动校
(h) 最终结果
图 3 噪音对奇异值分布及滤波效果的影响
试验表明：如果能够将同相轴校正为水平，则进行奇异值分解后可以获得一个较大且较突出的奇异值，通常情况下，该奇异值及其主成分对应着相关性最大的部分，即水平同相轴；还可以对某一数据连续使用K-L滤波，分别使用不同的速度进行动校正，过滤不同的同相轴；另外，信号的提取过程对随机信号也有很好的压制作用，比较未加噪音的原信号（图3(a)）和提取出的信号（图3(h)），可见提取出的信号受随机噪音的影响并不大.
3 实际资料应用效果
为验证K-L滤波效果，对我国西部某条实际地震测线数据进行滤波处理.图4(a)展示的是一个单炮道集.该炮道集观测参数为：地震道数70；采样间隔4 ms；时间采样点数1 000.该炮道集中存在很强的面波及直达波噪音.先将面波校成水平线，进行K-L滤波处理，获得非0奇异值70个，排序后取前面较大的35个主成分进行信号的恢复，得到面波噪音.对应的数据相减，得到图4(b)所示的信号.明显可以看出，面波滤除比较干净.但是，图4(b)中仍然包含有地表引起的相干噪音成分，有必要继续施加K-L滤波.将图4(b）中的直达波校成水平线，再次进行K-L滤波，奇异值取前3个，又获得新的非0奇异值70个，排序后取前面较大的3个主成分进行信号的恢复，得到图4(c）直达波噪音.图4(b）与图4(c）对应的数据相减，得到最后的滤波结果（见图3(d)）.可以看出，通过两次K-L滤波相干噪音基本被滤除干净.[FL(4K1](a) 原始数据，反射信号被直达波和面波覆盖(b) 原信号减掉滤出
部分剩余的信号(c) 将直达波校正为水平后m取3时滤出的信号(d) 图(b)减去图(c)剩余的部分（双曲型的反射信号已较清晰）图 4 实际数据的K-L滤波效果
与常规滤波方法得到的结果（见图5）相比，本文所采用的方法在有效信号的保护、噪音的滤除方面均有优越之处，而且反射信号的双曲特征也更为明显.
试验说明：K-L滤波可将振幅较小的被压制信号分离出来；对同一数据进行多次提取也是可行的.
5 结束语
K-L滤波是一种能够提取相关性信号（或噪音）的滤波方法，可根据需要对提取信号的相关性强弱进行控制，从而达到信号与噪音分离的目的.
K-L变换的方法有正交变换和奇异值分解两种，由于正交变换的运算时间过长，常用奇异值分解来实现.在作这个分解之前，通常要对信号进行动校正，将需要提取的信号校正为水平，这样才能使信号达到最好的相关性，分解后奇异值也能突出出来.水平同相轴和非水平同相轴最好能构成夹角，这有利于水平同相轴的提取.奇异值的选取最好能选择在具有落差的分界点上.一般该分界点代表相干信号与非相干信号的分野.选取奇异值的多少代表滤出能量的多少，最优的选取要通过反复实验得到.振幅也是需要考虑的因素，振幅很大的部分容易造成较大的奇异值，这时，可以先将其滤掉，或对原信号施加一个窗函数对其进行衰减，然后使用K-L变换进行滤波.如果噪音不是很大，那么它对滤波效果影响微弱；如果很大，就要考虑振幅因素.
另外，K-L滤波还可以有效衰减随机噪音.如果一次反射波与多次反射波速度相差较大，K-L滤波可以有效去除多次波，进行上下行波分解等.
总之，K-L滤波是一种灵活的信号增强方法，恰当地使用可以解决很多问题，在地震数据处理中，结合交互工具会是一种非常有实用价值的方法.
参考文献：
［1］ 孔祥茜, 吴继伟, 岳继光. 地震信号小波变换的去噪方法［J］. 计算机辅助工程, 2005, 14(3): 52-56.
［2］ DONOHO D L. De-noising by soft-thresholding［J］. IEEE Trans on Info Theory, 1995, 41(3): 613-627.
［3］ 程乾生. 信号数字处理的数学原理［M］ 北京: 石油工业出版社, 1979.
［4］ HEMON C H, MACE D. Use of the Karhunen-Loeve transformation in seismic data processing［J］. Geophysical Prospecting, 1978, 26: 600-626.
［5］ MARCHISIO G B, PENDREL J V, MATTOCKS B W.Applications of full and partial Karhunen-Loeve transformation to geophysical image enhancement［C］// 58th Annual International Meeting: SEG, Expanded Abstracts , Session: S22. 5, 1988: 1 266-1 269.
［6］ AI-YAHYA K M. 部分卡南-洛伊夫变换用于压制地震剖面的随机噪声［J］. 石油物探译丛, 1992(2): 28-41．
［7］ OPPENHEIM A V. Applications of digital signal processing［M］ Prentice-Hall, Inc, 1987.
［8］ 刘保童, 朱光明. 高精度广义K-L变换波场分离与去噪［J］. 地球科学与环境学报, 2005, 27(3): 654-660.
［9］ 张广智, 印兴耀, 吴国忱, 等. 一种提高K-L变换速度和精度的方法［J］. 石油物探, 1997, 36(S): 112-115.
(编辑 廖粤新)
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
关键词：Karhunen-Loeve变换； 随机噪声； 滤波； 地震
中图分类号：P315.63；TN911.4 文献标志码：A
Application of Karhunen-Loeve
transformation in seismic data filtering
FU Qiang, YUE Jiguang, XIAO Yunshi
(College of Electronics & Info. Eng., Tongji Univ., Shanghai 200092, China)
Abstract： The application of extracting relevant information from seismic data by using Karhunen-Loeve (K-L) transformation is studied. The filtering is realized via event extraction or compression in seismic gathering using K-L transformation. The orthogonal decomposition and singular value decomposition method in K-L operation is discussed. The filtering effect caused by angle, inclination and noise of event is analyzed. The method is applied in model data and real material, and satisfied result is achieved.
Key words： Karhunen-Loeve transformation; stochastic noise; filtering; seism
0 引 言
在数据处理中，人们感兴趣的信号总被各种噪音所干扰，地理物理数据处理也不例外.噪音的来源多种多样，与具体问题有关.由于地震勘探领域的数据在野外采集，观测条件不可控制，且很复杂，因此产生噪音的因素非常多.总体而言，噪音主要由与地表有关的各种因素产生.地下因素产生的噪音主要是多次波（因为目前常用的地震数据成像方法不能对多次波成像）.地表因素引起的噪音成分很复杂，如面波、直达波、空气波和折射波等，另外还有很多随机噪音.随机噪音主要产生于各种干扰检波器的小扰动.总之，地震数据的噪音表现为相干和随机两种形式.
在各种形式的数据处理中，去除噪音都是非常重要的环节，主要依赖信号和噪音在频率—波数域或时间空间域的分布不同来进行，如带通滤波、F-X滤波、τ-p滤波和小波变换去噪［1］等.利用信号（或噪音）的相干性去噪也是很重要的滤波思想，如F-X域随机噪音衰减和相干增强［2］等.K-L滤波就是利用预测信号（或噪音）的相干性来去噪的方法.
设A为某种形式的地震数据记录，包含数据处理需要的所有信息，要进行的工作就是如何从数据记录A中分离出其包含的信号S.可将数据模型写成A=S+[WTHX]N[WTBX]c+[WTHX]N[WTBX]r.其中，[WTHX]N[WTBX]c和[WTHX]N[WTBX]r分别代表具有相关性和不具有相关性的噪音成分，即[WTHX]N[WTBX]c+[WTHX]N[WTBX]r=N，为了表达的简练，A,S,N都代表矩阵.［3］
K-L变换能够将A分解为一组主成分的和，而每个主成分都对应一个权重，该权重的大小恰恰反映A中不同部分的相关性，可以通过对主成分的选取实现不同相关性信号的分离．将主成分按其权重大小排序，如果只取最大的一个或几个主成分，那么恢复后的信号相关性就很好；如果只取最小的一个或几个主成分，那么恢复后的信号相关性就很差，如随机噪音.即如果从排序后的主成分中取前面几个，取得越少恢复后的信号相关性越好，取得越多得到的信号就会同时包含相关性好和相关性较差的部分．随机噪音的相关性很差，因此，只要忽略主成分中的最后面几个对信号进行恢复，就可以有效去除随机噪音.因此，K-L变换最初便应用在压制随机噪音方面以提高信噪比.［4-6］反之，如果只取主成分的最前面几个对信号进行恢复，就可以得到相关性最强的信号，这种应用也很广泛，如在陆地地震勘探中，直达波是主要的噪音之一，而其振幅往往比反射波的信号更强.压制直达波的常用滤波方法有一维高通滤波和二维F-K滤波：高通滤波基于直达波是低频这一特性，但不足是同时滤掉低频的反射信号，这些低频信号往往对波阻抗的确定起重要作用；就二维F-K滤波，当直达波信号强于反射信号时，该方式会使信号产生严重损坏.应用K-L滤波可将直达波校正为水平后过滤出来，再将它从原信号中抽取，从而得到经过压制的直达波滤波信号，同样的滤波方法也适用于多次波和空气波等.
1 方法原理
K-L变换是在统计意义上压制随机信号的一种滤波方法.在获取任何一幅图像的过程中，不可避免地混杂许多随机干扰因素，即得到的图像中含有很多随机成分，一般称其为随机图像.如对同一个地质环境多次采集数据成像，每次得到的图像都不尽相同.K-L变换正是针对这类广泛的随机图像提出的，对图像施加K-L变换以后，由变换结果恢复的图像将是对原图像在统计意义上的最佳逼近.具体算法如下：
式中：U和V分别为X的左右特征矩阵；∑为原矩阵的奇异值；σi为单值的非负奇异值，并且，将其按从大到小排列为σ1>σ2>…>σm.上式表示X在一个正交基上的投影，具体而言，是一个在排序了的uivTi上带有权重的和.显然，权重体现出它所对应的基（主成分）在构成原矩阵时所起的重要性.当奇异值按权重大到小排序时，很容易从它们当中取出前面几个重要的基及其权重来重新恢复原来的矩阵.在做这个变换之前，必须先把信号尽可能调整到水平，这样，道与道之间的信号才能表现出最大的相关性，并且相关性越大的信号通常对应着前面权重大的基，其他信号则对应着后面权重较小的基.
根据上述算法原理，采用以下步骤进行K-L变换滤波：(1) 对数据进行速度分析，采用速度叠加的方法求取需要提取同相轴的速度；(2) 用获取的速
度对数据进行动校正(NMO),将需要提取的信号(同相轴)校正为水平，而其他的同相轴则处于校正过量或校正不足的状态；(3) 对动校正后的数据进行正交变换或奇异值分解.所获得的带有较大特征值或奇异值的首要成分代表着水平同相轴的能量；(4) 利用前一个或几个主成分对数据进行恢复，忽略其他主成分或对其充0；(5) 对所得数据按动校正时相同的速度进行反动校正，获得过滤信号.
以维数为1 000×1 000的测试数据矩阵进行测试的结果证明，奇异值分解算法与完全的变换算法相比，运算速度可提高50%.
2 K-L滤波影响因素分析
为了更清楚地认识该方法的效果，下面通过试验数据对影响滤波效果的因素进行详细分析.
2.1 同相轴倾斜的影响
试验表明：随着同相轴倾角的增大，非最大奇异值与最大奇异值的比例增大.特别当同相轴倾角为0°时，非最大奇异值几乎全部为0（在理论上应全部为0，非0值是由于运算过程中的舍入误差造成的）.如果同相轴拉得不够平，那么其能量将会由多个奇异值及其主成分代替，不仅大的奇异值会变小，小的奇异值也会变大，从而由这个同相轴产生的奇异值将更容易被淹没到其他同相轴的奇异值当中，[HJ][HJ*4/7]在恢复信号时就会难以确定奇异值的位置，使滤波变得困难，因此，在做动校正时，应该尽量将同相轴拉平.
2.2 水平同相轴与非水平同相轴夹角的影响
分别对水平同相轴与非水平同相轴夹角为0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°时的数据进行奇异值分解，将获得的奇异值做归一化处理的结果见图2.[HJ][FL(4K0][JZ](a)动校正后水平同相轴与非
水平同相轴成10°夹角(b)将所得的奇异值归一化(c)m取1时滤波后信号
减掉滤出信号（图(c)）
后剩余的信号
试验表明：如果同相轴与水平同相轴的夹角很小，甚至近似平行时，较大奇异值的分布就会越密集，大小差异就会越小，会给选取合理的主成分造成不好的影响，幸运的是这种情况只在夹角极小的情况下才会发生，当夹角变得稍大些时，较大奇异值的分布差异就变大、变分散，并始终保持较大的差距，所以在动校正时，水平同相轴和非水平同相轴最好能保持一定的夹角，这样在进行奇异值选取时会较容易做出正确的判断和选择.同样，就滤波效果而言，夹角大的提取和保留的信号都比夹角小的清晰.
2.3 噪音的影响
为了考察噪音对滤波的影响，对模型数据加一定的噪音，噪音的最大振幅与原信号的最大振幅相同(见图3).[HJ][SD26][FL(4](a) 未加噪音前的数据(b) 加噪音后的数据(c) 图(b)倾斜同相轴校平后
奇异值的分布情况(d) [WB]m取1时信号进行
恢复并反动校
剩余信号即原信号图(b)
减掉过滤信号图(d)(f) [WB]图(e)倾斜同相轴校平后
奇异值的分布情况(g) [WB]m取1时信号进行
恢复并反动校
(h) 最终结果
图 3 噪音对奇异值分布及滤波效果的影响
试验表明：如果能够将同相轴校正为水平，则进行奇异值分解后可以获得一个较大且较突出的奇异值，通常情况下，该奇异值及其主成分对应着相关性最大的部分，即水平同相轴；还可以对某一数据连续使用K-L滤波，分别使用不同的速度进行动校正，过滤不同的同相轴；另外，信号的提取过程对随机信号也有很好的压制作用，比较未加噪音的原信号（图3(a)）和提取出的信号（图3(h)），可见提取出的信号受随机噪音的影响并不大.
3 实际资料应用效果
为验证K-L滤波效果，对我国西部某条实际地震测线数据进行滤波处理.图4(a)展示的是一个单炮道集.该炮道集观测参数为：地震道数70；采样间隔4 ms；时间采样点数1 000.该炮道集中存在很强的面波及直达波噪音.先将面波校成水平线，进行K-L滤波处理，获得非0奇异值70个，排序后取前面较大的35个主成分进行信号的恢复，得到面波噪音.对应的数据相减，得到图4(b)所示的信号.明显可以看出，面波滤除比较干净.但是，图4(b)中仍然包含有地表引起的相干噪音成分，有必要继续施加K-L滤波.将图4(b）中的直达波校成水平线，再次进行K-L滤波，奇异值取前3个，又获得新的非0奇异值70个，排序后取前面较大的3个主成分进行信号的恢复，得到图4(c）直达波噪音.图4(b）与图4(c）对应的数据相减，得到最后的滤波结果（见图3(d)）.可以看出，通过两次K-L滤波相干噪音基本被滤除干净.[FL(4K1](a) 原始数据，反射信号被直达波和面波覆盖(b) 原信号减掉滤出
部分剩余的信号(c) 将直达波校正为水平后m取3时滤出的信号(d) 图(b)减去图(c)剩余的部分（双曲型的反射信号已较清晰）图 4 实际数据的K-L滤波效果
与常规滤波方法得到的结果（见图5）相比，本文所采用的方法在有效信号的保护、噪音的滤除方面均有优越之处，而且反射信号的双曲特征也更为明显.
试验说明：K-L滤波可将振幅较小的被压制信号分离出来；对同一数据进行多次提取也是可行的.
5 结束语
K-L滤波是一种能够提取相关性信号（或噪音）的滤波方法，可根据需要对提取信号的相关性强弱进行控制，从而达到信号与噪音分离的目的.
K-L变换的方法有正交变换和奇异值分解两种，由于正交变换的运算时间过长，常用奇异值分解来实现.在作这个分解之前，通常要对信号进行动校正，将需要提取的信号校正为水平，这样才能使信号达到最好的相关性，分解后奇异值也能突出出来.水平同相轴和非水平同相轴最好能构成夹角，这有利于水平同相轴的提取.奇异值的选取最好能选择在具有落差的分界点上.一般该分界点代表相干信号与非相干信号的分野.选取奇异值的多少代表滤出能量的多少，最优的选取要通过反复实验得到.振幅也是需要考虑的因素，振幅很大的部分容易造成较大的奇异值，这时，可以先将其滤掉，或对原信号施加一个窗函数对其进行衰减，然后使用K-L变换进行滤波.如果噪音不是很大，那么它对滤波效果影响微弱；如果很大，就要考虑振幅因素.
另外，K-L滤波还可以有效衰减随机噪音.如果一次反射波与多次反射波速度相差较大，K-L滤波可以有效去除多次波，进行上下行波分解等.
总之，K-L滤波是一种灵活的信号增强方法，恰当地使用可以解决很多问题，在地震数据处理中，结合交互工具会是一种非常有实用价值的方法.
参考文献：
［1］ 孔祥茜, 吴继伟, 岳继光. 地震信号小波变换的去噪方法［J］. 计算机辅助工程, 2005, 14(3): 52-56.
［2］ DONOHO D L. De-noising by soft-thresholding［J］. IEEE Trans on Info Theory, 1995, 41(3): 613-627.
［3］ 程乾生. 信号数字处理的数学原理［M］ 北京: 石油工业出版社, 1979.
［4］ HEMON C H, MACE D. Use of the Karhunen-Loeve transformation in seismic data processing［J］. Geophysical Prospecting, 1978, 26: 600-626.
［5］ MARCHISIO G B, PENDREL J V, MATTOCKS B W.Applications of full and partial Karhunen-Loeve transformation to geophysical image enhancement［C］// 58th Annual International Meeting: SEG, Expanded Abstracts , Session: S22. 5, 1988: 1 266-1 269.
［6］ AI-YAHYA K M. 部分卡南-洛伊夫变换用于压制地震剖面的随机噪声［J］. 石油物探译丛, 1992(2): 28-41．
［7］ OPPENHEIM A V. Applications of digital signal processing［M］ Prentice-Hall, Inc, 1987.
［8］ 刘保童, 朱光明. 高精度广义K-L变换波场分离与去噪［J］. 地球科学与环境学报, 2005, 27(3): 654-660.
［9］ 张广智, 印兴耀, 吴国忱, 等. 一种提高K-L变换速度和精度的方法［J］. 石油物探, 1997, 36(S): 112-115.
(编辑 廖粤新)
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。