论文部分内容阅读
摘要：大地测量中的病态问题是普遍存在的，在大地测量反演计算、GPS快速定位、测量数据处理、控制网评差、航天飞行器的精密轨道解算等方面都存在着病态问题。最小二乘平差的计算结果，由于稳定性差和有效性不足成为在大地测量线性方程计算中的病态问题之一。本文针对近年来针对线性模型中的这种病态问题出现的解决方法和作者多年的测量工作经验展开阐述，希望对下一步的测量工作有所裨益。
关键词： 大地测量 线性模型 误差 解决
对于大地测量观测方程式 V=BX—L来说，利用最小二乘法准则，经过一系列的转化和求解可以得到未知数X的值为X=(BTPB)—1BTPL,但是在得出这个结果的过程中存在一个假设前提：方程系数BTPB满秩，且接近奇异。这时对X的结果便会产生两个问题，一是得出解的方差很大，也就是说解的精度很低；另一个问题就是结果的数值很不可靠，在观测或系数产生微小变化时，数值都会发生较大范围的变化。这种现象就是大地测量线性模型中的病态问题的表现之一。
病态问题产生的原因
通过对这些病态问题的机理进行分析可以发现，产生病态问题的主要原因有以下四点：（一）模型的选择不准确。利用最小二乘配置法对大地测量的重力场逼近进行计算，是最近及时年来物理大地测量中进行系统援救最常用的一种方法。同时，最小二乘配置法也是目前综合利用和联合处理多种空间测量和大地数据测量的最有效方法。对最小二乘配置法基函数类型的选择是其中的难点也是重点，因此在采用多项式拟合时，法矩阵常常是病态的，逼近程度很差。（二）解算方法不合理。从解算的角度来看，计算方法本身数值的稳定性、机器的字长都是造成结果不准确的原因。（三）参数选择不合理。当模型加入参数后，往往会造成参数严重化的现象。使得附加参数之间或附加参数与基本参数之间关联关系过于强烈，从而引发系统的病态问题。（四）观测误差原因。观测值的大小事决定最后结果准确与否的关键因素，这种病态的出现通常无法通过计算的途径来进行改善，因此，造成的误差一般都是不可消除的。
二、解决线性模型病态问题的方法
对于线性模型病态问题的解决方法，近些年来国内外出现了很多理论。具有代表性的主要有广义岭估计法、主成分估计法、岭估计法、SVD奇异值分析法、病态解算方法、虚拟观测法等。下面就针对每种方法的原理和实用性展開一一论述。
（一）广义岭估计法
说到广义岭估计法，就首先要对岭估计法做一个简单的介绍。岭估计法是解决线性模型中的病态问题出现最早的，也是最早被应用于实际工作中的一种方法。它能有效克服线性模型中的有偏估计问题，它的原理和思想已经被世界范围内大地测量行业所普遍接受并应用。岭估计法的基本原理就是在方程的主对角线上加上一个合适的常数，这个常数的数值非常小，这样一方面对较大的数值不会产生显著影响；另一方面对于趋近于零的数值影响却非常明显。在这种作用下起到稳定数值的作用。从这个意义上来说，岭估计的关键就在于这个常数的选择。
对广义岭估计的方法的分析运用，人们很早就已经开始了，并在岭估计的基础上做了大量研究。广义岭估计具有岭估计的显著特征，在通过双K法、岭迹法、虚拟观测方法等多种研究的实践证明基础上，人们认为通过在法方程系数阵的主对角线上加上同一常数k，确实能有效改善系数方程的解，从而达到改善病态性的效果。而岭估计的精髓之处就在于针对不同的法方程系数阵加上不同的常数，即不同的k值来达到减少误差的作用，在这里k值得选择主要是通过迭代法的方式获得的。实践应用表明，岭估计方法通过无偏性的轻微调整作用确实对解得稳定性起到了很好的作用。
（二）SVD奇异值分析法
对观测方程的设计阵进行奇异值分析，通过分解为两个正交矩阵和设计阵的奇异值进行矩阵相乘进行求解的方式是SVD奇异值分析法的主要原理和思想。从计算方式来看，奇异值分析法又分为两种：SVD截断奇异值法和SVD奇异值修正法。
SVD截断奇异值法适用于那些方程条件数较大的。也就是说这种方法的思路在于摒弃那些相对数值较小的奇异值，留下较大的，将模型参数中不可靠的部分除去，用来减小解的方差。这样就能够最大限度的利用有效数据，虽然对数据的整体影响有较大出入，但是结果的准确性是在范围之内的，也是目前使用影响最大的已知方法。SVD奇异值修正法实际上是借鉴了岭估计方法的思想，它采用对奇异值进行修正的方法来实现方差的减小，实际上它兼备了岭估计与SVD估计的优点，所以在实践中比前者有着更广泛的应用。但是奇异值方法的研究目前还处于不成熟阶段，对于奇异值部分修正还是全部修正得到的结果更准确的问题还没有定论，所以，奇异值分析还有待进一步完善。
（三）主成分估计法
主成分估计法是针对线性回归模型，从变换变量的思路入手提出的。主成分估计法的实质就是对参数矩阵和系数矩阵同时进行变换，起到去除劣质数据，留下优质数据的作用，具体就是将参数变换为典则参数，系数矩阵变成只剩下主成分，通过分析去掉那些妨碍结果的、不起作用的典则参数，再通过最小二乘法对余下的参数进行估计，最后再根据所求的典则参数来反求，得出原来参数的估计。
主成分估计法的中心思想就是通过那些不重要数据的损失，来换取解的良好性。从方法的整个过程来看，在利用方程进行参数和系数转换时，步骤过于繁杂，并且在剔除典则参数时有时会产生错误，进而影响整个结果的有效性，导致事与愿违。
（四）基于不等式约束的病态解算方法
随着现代科技的发展进步，在现代大地测量技术中，观测值得获取手段越来越多样化，也越来越准确。对任意目标和对象的物理、力学性质的了解也越来越多，根据先验信息建立约束的概率越来越大，利用不等式约束可以有效地、可靠的描述各种先验信息。对于某些参数间满足的约束，不等式估计值一般都是正值。在病态问题中引入不等式约束，不仅增加了信息量，而且改善了法方程的秩亏。通过岭估计参数值和不等式约束之间的相互转换，摆脱了传统的迭代计算和画岭迹图来确定领参数的做法，并且，对于附加的不等式约束越精确，得到的结果也越准确。对于不等式约束的病态解算方法，先验信息的充分挖掘是关键，如何将先验信息与病态问题进行有效结合也是一个关键点，是不等式约束法解算在目前研究中的热点和难点，需要学术界进行进一步的探讨和研究，已获得更加精准的方法思路。
（五）虚拟观测法
虚拟观测法也是基于岭估计的基本思想上提出的。它的方法原理是：对参数进行先验约束，然后将其作为一类互相独立的虚拟观测值，观测方程由实际观测值和虚拟观测值联合组成。这样就把病态问题转化为平差问题，然后就能够利用最小二乘法求出相应的参数。在平差测量中可以采用验后方差分量估计法来确定不同类型观测值的权数，一般来说对虚拟观测值的权数都是进行等权处理，但是实际上参数的权数是不等的，通过上述方法可以得到参数的权矩阵，然后利用权数对参数进行计算，这种模式实现了广义岭估计法的推广，是值得借鉴和参考的。
三、结束语
对于大地测量领域病态问题的研究，是随着上世纪90年代天文观测的发展而广泛开展的。上述几种方法的提出，对于解决测量界线性模型中的病态问题起到了不可磨灭的作用。但是我们注意到，现行方法在参数和相关系数的选择上存在或多或少的问题，因此需要进一步的完善和改进。探索病态问题的新的解决方法，依然是相关行业领域的一项重要课题，仍将是学术界不断努力的方向。
参考文献：
[1]崔希璋.刘大杰.广义测量平差[M].武汉测绘科技出版社.2001.<1>
[2]张俊.刘立龙.大地测量中法方程病态问题的初探[J].海洋测绘.2006.<5>
[3]冯光财.朱建军.基于虚拟观测的病态问题解法[J].测绘科学.2007.<2>
[4]孙同贺.向南平.浅谈大地测量中的病态问题[J].测绘与空间地理信息.2008.<5>
关键词： 大地测量 线性模型 误差 解决
对于大地测量观测方程式 V=BX—L来说，利用最小二乘法准则，经过一系列的转化和求解可以得到未知数X的值为X=(BTPB)—1BTPL,但是在得出这个结果的过程中存在一个假设前提：方程系数BTPB满秩，且接近奇异。这时对X的结果便会产生两个问题，一是得出解的方差很大，也就是说解的精度很低；另一个问题就是结果的数值很不可靠，在观测或系数产生微小变化时，数值都会发生较大范围的变化。这种现象就是大地测量线性模型中的病态问题的表现之一。
病态问题产生的原因
通过对这些病态问题的机理进行分析可以发现，产生病态问题的主要原因有以下四点：（一）模型的选择不准确。利用最小二乘配置法对大地测量的重力场逼近进行计算，是最近及时年来物理大地测量中进行系统援救最常用的一种方法。同时，最小二乘配置法也是目前综合利用和联合处理多种空间测量和大地数据测量的最有效方法。对最小二乘配置法基函数类型的选择是其中的难点也是重点，因此在采用多项式拟合时，法矩阵常常是病态的，逼近程度很差。（二）解算方法不合理。从解算的角度来看，计算方法本身数值的稳定性、机器的字长都是造成结果不准确的原因。（三）参数选择不合理。当模型加入参数后，往往会造成参数严重化的现象。使得附加参数之间或附加参数与基本参数之间关联关系过于强烈，从而引发系统的病态问题。（四）观测误差原因。观测值的大小事决定最后结果准确与否的关键因素，这种病态的出现通常无法通过计算的途径来进行改善，因此，造成的误差一般都是不可消除的。
二、解决线性模型病态问题的方法
对于线性模型病态问题的解决方法，近些年来国内外出现了很多理论。具有代表性的主要有广义岭估计法、主成分估计法、岭估计法、SVD奇异值分析法、病态解算方法、虚拟观测法等。下面就针对每种方法的原理和实用性展開一一论述。
（一）广义岭估计法
说到广义岭估计法，就首先要对岭估计法做一个简单的介绍。岭估计法是解决线性模型中的病态问题出现最早的，也是最早被应用于实际工作中的一种方法。它能有效克服线性模型中的有偏估计问题，它的原理和思想已经被世界范围内大地测量行业所普遍接受并应用。岭估计法的基本原理就是在方程的主对角线上加上一个合适的常数，这个常数的数值非常小，这样一方面对较大的数值不会产生显著影响；另一方面对于趋近于零的数值影响却非常明显。在这种作用下起到稳定数值的作用。从这个意义上来说，岭估计的关键就在于这个常数的选择。
对广义岭估计的方法的分析运用，人们很早就已经开始了，并在岭估计的基础上做了大量研究。广义岭估计具有岭估计的显著特征，在通过双K法、岭迹法、虚拟观测方法等多种研究的实践证明基础上，人们认为通过在法方程系数阵的主对角线上加上同一常数k，确实能有效改善系数方程的解，从而达到改善病态性的效果。而岭估计的精髓之处就在于针对不同的法方程系数阵加上不同的常数，即不同的k值来达到减少误差的作用，在这里k值得选择主要是通过迭代法的方式获得的。实践应用表明，岭估计方法通过无偏性的轻微调整作用确实对解得稳定性起到了很好的作用。
（二）SVD奇异值分析法
对观测方程的设计阵进行奇异值分析，通过分解为两个正交矩阵和设计阵的奇异值进行矩阵相乘进行求解的方式是SVD奇异值分析法的主要原理和思想。从计算方式来看，奇异值分析法又分为两种：SVD截断奇异值法和SVD奇异值修正法。
SVD截断奇异值法适用于那些方程条件数较大的。也就是说这种方法的思路在于摒弃那些相对数值较小的奇异值，留下较大的，将模型参数中不可靠的部分除去，用来减小解的方差。这样就能够最大限度的利用有效数据，虽然对数据的整体影响有较大出入，但是结果的准确性是在范围之内的，也是目前使用影响最大的已知方法。SVD奇异值修正法实际上是借鉴了岭估计方法的思想，它采用对奇异值进行修正的方法来实现方差的减小，实际上它兼备了岭估计与SVD估计的优点，所以在实践中比前者有着更广泛的应用。但是奇异值方法的研究目前还处于不成熟阶段，对于奇异值部分修正还是全部修正得到的结果更准确的问题还没有定论，所以，奇异值分析还有待进一步完善。
（三）主成分估计法
主成分估计法是针对线性回归模型，从变换变量的思路入手提出的。主成分估计法的实质就是对参数矩阵和系数矩阵同时进行变换，起到去除劣质数据，留下优质数据的作用，具体就是将参数变换为典则参数，系数矩阵变成只剩下主成分，通过分析去掉那些妨碍结果的、不起作用的典则参数，再通过最小二乘法对余下的参数进行估计，最后再根据所求的典则参数来反求，得出原来参数的估计。
主成分估计法的中心思想就是通过那些不重要数据的损失，来换取解的良好性。从方法的整个过程来看，在利用方程进行参数和系数转换时，步骤过于繁杂，并且在剔除典则参数时有时会产生错误，进而影响整个结果的有效性，导致事与愿违。
（四）基于不等式约束的病态解算方法
随着现代科技的发展进步，在现代大地测量技术中，观测值得获取手段越来越多样化，也越来越准确。对任意目标和对象的物理、力学性质的了解也越来越多，根据先验信息建立约束的概率越来越大，利用不等式约束可以有效地、可靠的描述各种先验信息。对于某些参数间满足的约束，不等式估计值一般都是正值。在病态问题中引入不等式约束，不仅增加了信息量，而且改善了法方程的秩亏。通过岭估计参数值和不等式约束之间的相互转换，摆脱了传统的迭代计算和画岭迹图来确定领参数的做法，并且，对于附加的不等式约束越精确，得到的结果也越准确。对于不等式约束的病态解算方法，先验信息的充分挖掘是关键，如何将先验信息与病态问题进行有效结合也是一个关键点，是不等式约束法解算在目前研究中的热点和难点，需要学术界进行进一步的探讨和研究，已获得更加精准的方法思路。
（五）虚拟观测法
虚拟观测法也是基于岭估计的基本思想上提出的。它的方法原理是：对参数进行先验约束，然后将其作为一类互相独立的虚拟观测值，观测方程由实际观测值和虚拟观测值联合组成。这样就把病态问题转化为平差问题，然后就能够利用最小二乘法求出相应的参数。在平差测量中可以采用验后方差分量估计法来确定不同类型观测值的权数，一般来说对虚拟观测值的权数都是进行等权处理，但是实际上参数的权数是不等的，通过上述方法可以得到参数的权矩阵，然后利用权数对参数进行计算，这种模式实现了广义岭估计法的推广，是值得借鉴和参考的。
三、结束语
对于大地测量领域病态问题的研究，是随着上世纪90年代天文观测的发展而广泛开展的。上述几种方法的提出，对于解决测量界线性模型中的病态问题起到了不可磨灭的作用。但是我们注意到，现行方法在参数和相关系数的选择上存在或多或少的问题，因此需要进一步的完善和改进。探索病态问题的新的解决方法，依然是相关行业领域的一项重要课题，仍将是学术界不断努力的方向。
参考文献：
[1]崔希璋.刘大杰.广义测量平差[M].武汉测绘科技出版社.2001.<1>
[2]张俊.刘立龙.大地测量中法方程病态问题的初探[J].海洋测绘.2006.<5>
[3]冯光财.朱建军.基于虚拟观测的病态问题解法[J].测绘科学.2007.<2>
[4]孙同贺.向南平.浅谈大地测量中的病态问题[J].测绘与空间地理信息.2008.<5>