一道高考几何存在性问题的代数证明

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  2005年重庆第16题)联结抛物线上任意四点组成的四边形可能是 (填写所有正确选项的序号).
  ① 菱形,② 有3条边相等的四边形,③ 梯形,④ 平行四边形,⑤ 有一组对角相等的四边形.
  本小题是一个区分度较高的试题,很多学生无从下手,因其是几何作图的存在性问题,所以没有办法构造出适合题意的四边形,要根据以往的解题经验进行联想,从而构造出特殊的四边形,特殊化是解决此题的思维利器.显然,平行四边形和菱形不可能,梯形是可能的.
  条件②有3条边相等的四边形,如图1所示,构造如下:设点D是抛物线的顶点,点A,C是抛物线上关于其对称轴对称的两点,以点C为圆心,DC为半径作圆交抛物线于点B,联结AB,BC,CD,DA所得四边形就适合题意.
   图1 图2 条件⑤有一组对角相等的四边形,如图2所示,设A是抛物线顶点,过点A作两条互相垂直的直线交抛物线于点B,D,以线段BD为直径作圆与抛物线交于点C,则四边形ABCD适合题意(因为圆和抛物线均为二图3 次曲线,只要它们不是相切的特殊位置,其公共点应该成对出现,由于已经存在3个公共点,必有第4个公共点);或者如图3所示:设A、C为抛物线上任意两点,只要AC与抛物线的对称轴不垂直,则作线段AC的垂直平分线交抛物线于点B、D(因为线段AC的中点在抛物线的内部,则过抛物线内部的点的直线必与抛物线交于两点),易得四边形ABCD的一组对角∠BCD=∠BAD,故适合题意.
  对于一般圆锥曲线f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,令 Δ=B2-4AC,若
  Δ<0,则 f(x,y)=0为椭圆型;若Δ=0,则
  f(x,y)=0为抛物线型,若Δ>0,则 f(x,y)=0为双曲线型.
  性质若直线AB的方程为F1(x,y)=0,直线BC的方程为F2(x,y)=0,直线CD的方程为F3(x,y)=0,直线DA的直线方程为F4(x,y)=0,则方程F1(x,y)·F3(x,y)+λF2(x,y)·F4(x,y)=0表示过A,B,C,D四点的二次曲线方程(其中λ为参数).
  证明④平行四边形.
  证明: 设Ax+By+Ci=0 (i=1,2), A′x+B′y+C′i=0 (i=1,2)分别为一平行四边形的两组对边,则过其四个顶点的二次曲线系为:
  (Ax+By+C1)(Ax+By+C2)+λ(A′x+B′y+C′1)(A′x+B′y+C′2)=0,其中 x2的系数为A2+λA′2, y2的系数为B2+λB′2,xy的系数为2(AB+λA′B′),而
  Δ=4(AB+λA′B′)2-4(A2+λA′2)(B2+λB′2)=-4λ(AB′-A′B)
  又 λ≠0,A A′ ≠ B B′ ,故 Δ≠0,故二次曲线方程不表示抛物线.
  ①菱形是特殊的平行四边形,显然不可能.
  证明③梯形
  证明: 设梯形EFGH,其中EF: Ax+By+C1=0, GH:Ax+By+C2=0, FG:A1x+B1y+C3=0, HE: A2x+B2y+C4=0,则过其四个顶点的二次曲线系为:(Ax+By+C1)(Ax+By+C2)+λ(A1x+B1y+C3)(A2x+B2y+C4)=0,其中x2的系数为A2+λA1A2,y2的系数为B2+λB1B2,xy的系数为2AB+λ(A1B2+A2B1),而
  Δ=[2AB+λ(A1B2+A2B1)]2-4(A2+λA1A2)(B2+λB1B2)=
  (A1B2-A2B1)2λ2+[4AB(A1B2+A2B1)-4A2B1B2-4B2A1A2]λ
  因为直线FG与HE不平行,所以 A1B2≠A2B1 即 A1B2-A2B1≠0
  Δ′=[AB(A1B2+A2B1)-A2B1B2-B2A1A2]2=[(AB1-BA1)(AB2-BA2)]2
  又因为 EF∥GH,FG与EF不平行,HE与EF不平行,所以 AB1-BA1≠0,AB2-BA2≠0, 则 Δ′>0恒成立,即存在λ≠0使得Δ=0成立,故二次曲线方程可表示抛物线.
  证明②有3条边相等的四边形.
  证明: 设四边形为ABCD且BC=CD=DA=2a,以CD为x轴,CD的垂直平分线为y轴建立如图4所示坐标系,则 C(-a,0), D(a,0),设直线AD的倾斜角为α (0≤α<π),直线BC的倾斜角为 β (0≤β<π)
  则 A(2acosα, 2asinα), B(2acosβ, 2asinβ)
  直线AD: y=tanα(x-a),
  即 tanα·x-y-atanα=0,
  直线BC:y=tanβ(x+a),
  即 tanβ·x-y+atanβ=0,
  直线CD: y=0
  直线AB的斜率
  kAB= 2asinα-2asinβ 2acosα-2acosβ = sinα-sinβ cosα-cosβ .
  直线AB: y-2asinα= sinα-sinβ cosα-cosβ (x-2acosα) 即 (sinα-sinβ)x-(cosα-cosβ)y+2asinα(cosα-cosβ)-2acosα(sinα-sinβ)=0,
  则过ABCD四点的二次曲线系为:
  [(sinα-sinβ)x-(cosα-cosβ)y+2asinα(cosα-cosβ)-2acosα(sinα-sinβ)]y+λ(tanα-y-atanα)(tanβ·x-y+acosβ)=0,其中x2的系数为λtanαtanβ,y2的系数为λ-(cosα-cosβ),xy的系数为(sinα-sinβ)-λ(tanα-tanβ),而
  Δ=[(sinα-sinβ)-λ(tanα+tanβ)]2-4λtanαtanβ[λ-(cosα-cosβ)]=
  (tanα-tanβ)λ2+2(tanβ-tanα)(sinα+sinβ)λ+(sinα-sinβ)2
  当 α=β时,四边形ABCD为菱形,二次曲线方程不表示抛物线.
  当α≠β时,Δ′=4(tanβ-tanα)2(sinα+sinβ)2-4(tanα-tanβ)2(sinα-sinβ)2=
  16(tanα-tanβ)2sinαsinβ
  又因为 0≤α<π,0 ≤β<π,所以 Δ′>0恒成立,即存在 λ≠0使Δ=0成立,故二次曲线方程可表示抛物线.
   图4 图5 证明⑤有一组对角相等的四边形.
  证明: 取符合上述条件的特殊的四边形ABCD且∠ABC=∠ADC, AB=AD,BC=CD,则对角线AC与BD垂直,以BD所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图5所示的坐标系,则A(0,b), B(-a,0), C(0,c), D(a,0)
  直线AD:x a + y b =1 即 bx+ay-ab=0,
  直线AB: x -a + y b =1 即 bx-ay+ab=0,
  直线BC:x -a + y -c =1 即 cx+ay+ac=0,
  直线CD:x a + y -c =1 即 cx-ay-ac=0.
  则过ABCD四点的二次曲线系为:
  (bx+ay-ab)(cx+ay+ac)+λ(bx-ay+ab)(cx-ay-ac)=0
  其中x2的系数为(1+λ)bc, y2的系数为(1+λ)a2,xy的系数为(1-λ)(ab+ac),而
  Δ=(1-λ)2(ab+ac)2-4(1+λ)2a2bc=
  a2{(b-c)2λ2-[2(b+c)2+8bc]λ+(b-c)2}
  当b=c时,四边形ABCD为菱形,二次曲线方程不表示抛物线.
  当b≠c时,Δ′=[2(b+c)2+8bc]2-4(b-c)2(b-c)2=
  8(b2+c2)bc+32(b+c)2bc+64b2c2
  又因为 a>0, b>0, c>0,所以 Δ′>0恒成立,所以存在λ≠0使得Δ=0,故二次曲线方程可表示抛物线.
  
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