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摘 要：籍由分析职高学生解一元二次不等式的主要错误类型，提出针对性的教学活动设计原则来提高教学成效和学生一元二次不等式解题的正确率。
关键词：职高 一元二次不等式 错误类型 教学设计
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2012）11（c）-0063-01
1 解一元二次不等式的主要错误类型
（1）任意开方。相当多的学生解一元二次不等式时未考虑不等式两边的正负，而任意将不等式两边开方，丝毫没有考虑其是否合乎不等式的运算逻辑。这样的错误来自于学生的直觉反应，认为只要，a必大于b或，a必小于b，因而产生错误。
此外，很多学生在学习一元二次不等式时，常有的感觉就是解一元二次不等式如同解一元二次方程一般，差别只是将解方程式的等号换成不等式的不等号而已。在理解完全平方型的一元二次不等式时受到解方程式的干扰，很直觉的把解一元二次不等式当成解一元二次方程式，因而造成任意开方的错误类型。
（2）变号处理错误。在不等式的乘除运算中，做不等式除以或者乘以负数的运算时，忽略了不等式的符号必须变号。在与学生的访谈中得知错误的原因来自于学生对不等式的运算不熟悉，甚至将先前的知识对一元二次不等式做错误的类推，认为解不等式和解方程式一样，只是改号罢了因而造成变号处理错误类型。
（3）任意平方。在处理含有根号的不等式时，往往受到既有的要除去根号必须平方的观念影响。在解不等式时碰到某一项有根号时，常任意平方而不管这样的运算是否合乎逻辑，在运算中滥用。这也是因为学生对不等式的运算逻辑不清楚，且将先前的平方观念对不等式做错误的类推。
（4）产生虚数比大小的谬误。典型案例如解不等式的解题中，有不少学生答案为。分析其解题过程，发现学生在解此一元二次不等式时，把它当成方程式来操作，先解得两根为或，然后得解为。从而明确可以看出犯了虚数比大小的谬误，这种错误的产生主要受老师教口诀、不当记忆公式的影响。细究原因下，许多老师为了帮助学生记忆或者增快解题速度往往编制口诀：解一元二次不等式时先解一元二次方程式，得两根后，小于0的不等式其解在兩根之间，大于0的不等式其解在两根外。但是学生只记得公式或者口诀，至于如何使用或在什么情况下可以用，什么情况下不能用，造成解题错误。
（5）将二次项系数恒当成正数。犯这类错误的学生往往没有注意到不等式二次项系数为负数，这起因于学生死记硬背一元二次不等式的解题公式。这类错误虽与上述的虚数比大小的谬误不同，但是深究其原因皆是受到老师教学口诀、不当记忆公式的影响。学生解题时凭借公式或者口诀作答产生了令老师始料未及的错误。
（6）过度使用无解的概念。受到一元二次方程式建立的概念：时，一元二次方程式无解。在解一元二不等式时当成一元二次方程式来处理，也造成将一元二次方程式无解的情况错误类推至解一元二次不等式。
（7）不会由二次函数的图像直接看出一元二次不等式的解。在给定二次函数图像去找出一元二次不等式解的情况下，有些学生不知道如何下手或者以代数运算试图由二次函数图像与X轴交点求解出二次函数的系数，然后再求出不等式的解。这样计算过程复杂且容易出错。当二次函数的图像与X轴只有一个交点或者无焦点的情况下二次函数的系数无法或者不容易求解出导致无法解题。犯错的主要原因在于学生无法由二次函数图像看出一元二次不等式的解，无法将变量X和一元二次不等式值对应成函数关系，无法将一元二次不等式和二次函数的图像做正确的连接。
（8）不知道恒为正或负的充要条件。不知道用二次函数的图像来判断二次项恒为正数或者负数的充要条件，无法将一元二次不等式和二次函数图像做正确的联系，而只是凭记忆公式来解题。
2 针对性的教学活动设计原则
2.1 强化学生对不等式的运算逻辑，降低直观法则的影响
学生在一元二次不等式的许多解题错误是因为对不等式的运算逻辑概念不清所产生的。因此，教学的重点在于不等式运算法则的教学，透过具体数字的不等关系做四则运算，引导出不等式四则运算法则，让学生理清不等式四则运算的逻辑。然后以此为基础做一次不等式的求解教学，藉此更正变号处理错误的问题。并且在不等式平方运算的教学上，多举一但是a不一定大于b的例子，帮助学生克服直觉法则的影响，以更正任意开方的错误，并降低任意平方的错误。
2.2 为避免错误类推及不当公式记忆，扬弃其他解法，以图解法为主要解题策略
学生在一元二次不等式的错误有许多是来自于将先前学习的知识做错误的类推，例如将解一元二次不等式当成解一元二次方程式造成任意开方的错误，将一元二次方程式无解的概念类推至解一元二次不等式而形成过度使用无解的概念的错误。如果学生如能以图解法来求解一元二次不等式，将能有效规避先前学过的知识的干扰，降低解题错误。
2.3 建议并强化学生对一元二次不等式和二次函数的图像做正确的连接
学生要能以函数图解法解一元二次不等式，必须能了解二次函数并绘出其简图，并能将一元二次不等式和二次函数图像做正确的连接。欲达成此目标可以从以下三个方面着手：
（1）加强学生对二次函数图像及其性质的了解。利用电脑动态演示的功能教授二次函数的图像，让学生了解二次函数的图像为一抛物线。其次就是使学生有能力找出二次函数图像与x轴的交点，进而要知道什么条件下二次函数图像与X轴没有交点，如此才能判断二次项恒为正或负的充要条件。
（2）加强学生对二次函数图像的判读能力。学生无法从二次函数的图像找出所对应的一元二次不等式的解常常是因为他们不清楚二次函数图像上的坐标点所代表的意义。因此，除了教授二次函数的绘图外，更要强调二次函数图像上坐标点所代表的意义，方能教导学生从二次函数图像上找出所对应的一元二次不等式的解。
（3）强调一元二次不等式变量X和一元二次不等式值的函数对应关系。学生不懂一元二次不等式的值和其变量X是函数对应关系，因此，就无法用二次函数的图像来找出一元二次不等式的解。因此，教学的另一个重点是着重一元二次不等式变量X和一元二次不等式值的函数对应关系，让学生熟悉一元二次不等式的值是变量X的二次函数，进而透过图解法来处理一元二次不等式。
关键词：职高 一元二次不等式 错误类型 教学设计
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2012）11（c）-0063-01
1 解一元二次不等式的主要错误类型
（1）任意开方。相当多的学生解一元二次不等式时未考虑不等式两边的正负，而任意将不等式两边开方，丝毫没有考虑其是否合乎不等式的运算逻辑。这样的错误来自于学生的直觉反应，认为只要，a必大于b或，a必小于b，因而产生错误。
此外，很多学生在学习一元二次不等式时，常有的感觉就是解一元二次不等式如同解一元二次方程一般，差别只是将解方程式的等号换成不等式的不等号而已。在理解完全平方型的一元二次不等式时受到解方程式的干扰，很直觉的把解一元二次不等式当成解一元二次方程式，因而造成任意开方的错误类型。
（2）变号处理错误。在不等式的乘除运算中，做不等式除以或者乘以负数的运算时，忽略了不等式的符号必须变号。在与学生的访谈中得知错误的原因来自于学生对不等式的运算不熟悉，甚至将先前的知识对一元二次不等式做错误的类推，认为解不等式和解方程式一样，只是改号罢了因而造成变号处理错误类型。
（3）任意平方。在处理含有根号的不等式时，往往受到既有的要除去根号必须平方的观念影响。在解不等式时碰到某一项有根号时，常任意平方而不管这样的运算是否合乎逻辑，在运算中滥用。这也是因为学生对不等式的运算逻辑不清楚，且将先前的平方观念对不等式做错误的类推。
（4）产生虚数比大小的谬误。典型案例如解不等式的解题中，有不少学生答案为。分析其解题过程，发现学生在解此一元二次不等式时，把它当成方程式来操作，先解得两根为或，然后得解为。从而明确可以看出犯了虚数比大小的谬误，这种错误的产生主要受老师教口诀、不当记忆公式的影响。细究原因下，许多老师为了帮助学生记忆或者增快解题速度往往编制口诀：解一元二次不等式时先解一元二次方程式，得两根后，小于0的不等式其解在兩根之间，大于0的不等式其解在两根外。但是学生只记得公式或者口诀，至于如何使用或在什么情况下可以用，什么情况下不能用，造成解题错误。
（5）将二次项系数恒当成正数。犯这类错误的学生往往没有注意到不等式二次项系数为负数，这起因于学生死记硬背一元二次不等式的解题公式。这类错误虽与上述的虚数比大小的谬误不同，但是深究其原因皆是受到老师教学口诀、不当记忆公式的影响。学生解题时凭借公式或者口诀作答产生了令老师始料未及的错误。
（6）过度使用无解的概念。受到一元二次方程式建立的概念：时，一元二次方程式无解。在解一元二不等式时当成一元二次方程式来处理，也造成将一元二次方程式无解的情况错误类推至解一元二次不等式。
（7）不会由二次函数的图像直接看出一元二次不等式的解。在给定二次函数图像去找出一元二次不等式解的情况下，有些学生不知道如何下手或者以代数运算试图由二次函数图像与X轴交点求解出二次函数的系数，然后再求出不等式的解。这样计算过程复杂且容易出错。当二次函数的图像与X轴只有一个交点或者无焦点的情况下二次函数的系数无法或者不容易求解出导致无法解题。犯错的主要原因在于学生无法由二次函数图像看出一元二次不等式的解，无法将变量X和一元二次不等式值对应成函数关系，无法将一元二次不等式和二次函数的图像做正确的连接。
（8）不知道恒为正或负的充要条件。不知道用二次函数的图像来判断二次项恒为正数或者负数的充要条件，无法将一元二次不等式和二次函数图像做正确的联系，而只是凭记忆公式来解题。
2 针对性的教学活动设计原则
2.1 强化学生对不等式的运算逻辑，降低直观法则的影响
学生在一元二次不等式的许多解题错误是因为对不等式的运算逻辑概念不清所产生的。因此，教学的重点在于不等式运算法则的教学，透过具体数字的不等关系做四则运算，引导出不等式四则运算法则，让学生理清不等式四则运算的逻辑。然后以此为基础做一次不等式的求解教学，藉此更正变号处理错误的问题。并且在不等式平方运算的教学上，多举一但是a不一定大于b的例子，帮助学生克服直觉法则的影响，以更正任意开方的错误，并降低任意平方的错误。
2.2 为避免错误类推及不当公式记忆，扬弃其他解法，以图解法为主要解题策略
学生在一元二次不等式的错误有许多是来自于将先前学习的知识做错误的类推，例如将解一元二次不等式当成解一元二次方程式造成任意开方的错误，将一元二次方程式无解的概念类推至解一元二次不等式而形成过度使用无解的概念的错误。如果学生如能以图解法来求解一元二次不等式，将能有效规避先前学过的知识的干扰，降低解题错误。
2.3 建议并强化学生对一元二次不等式和二次函数的图像做正确的连接
学生要能以函数图解法解一元二次不等式，必须能了解二次函数并绘出其简图，并能将一元二次不等式和二次函数图像做正确的连接。欲达成此目标可以从以下三个方面着手：
（1）加强学生对二次函数图像及其性质的了解。利用电脑动态演示的功能教授二次函数的图像，让学生了解二次函数的图像为一抛物线。其次就是使学生有能力找出二次函数图像与x轴的交点，进而要知道什么条件下二次函数图像与X轴没有交点，如此才能判断二次项恒为正或负的充要条件。
（2）加强学生对二次函数图像的判读能力。学生无法从二次函数的图像找出所对应的一元二次不等式的解常常是因为他们不清楚二次函数图像上的坐标点所代表的意义。因此，除了教授二次函数的绘图外，更要强调二次函数图像上坐标点所代表的意义，方能教导学生从二次函数图像上找出所对应的一元二次不等式的解。
（3）强调一元二次不等式变量X和一元二次不等式值的函数对应关系。学生不懂一元二次不等式的值和其变量X是函数对应关系，因此，就无法用二次函数的图像来找出一元二次不等式的解。因此，教学的另一个重点是着重一元二次不等式变量X和一元二次不等式值的函数对应关系，让学生熟悉一元二次不等式的值是变量X的二次函数，进而透过图解法来处理一元二次不等式。