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函数是初中数学的重要内容之一，也是中考的重点. 近几年，各地中考试题中出现了大量的函数与几何知识相结合的压轴试题. 此类题目设计新颖、贴近生活，不但考查了同学们对函数的基础知识、基本技能和基本数学思想方法的掌握程度，还检验了同学们灵活运用知识技能技巧探索创新的能力和实践操作的能力. 下表是徐州市近三年中考数学试题中对函数有关知识点的考查情况.
通过统计可以发现：试卷中有关函数的题目少则4题，多则达7题，分值占总分20%以上，重点为一次函数和二次函数. 由于此部分试题具有一定的综合性，对同学们数形结合和函数方程等重要数学思想方法的培养、解题思路的拓宽以及综合能力的提升具有十分重要的意义，因而备受命题者的青睐. 同学们要总结解题规律，掌握函数的基本技能和方法，强化数形结合意识、分类讨论思想、渗透模型思想以及配方法、公式法、待定系数法等重要方法的应用，注意观察、归纳、分析、比较，把重点放在落实基础知识和基本技能及通性、通法的掌握上，从而提高复习效率和效果.
函数常考知识点
一、 平面直角坐标系
1. 坐标平面内点的对称性、点所在的象限、坐标轴上点的坐标特点等. 坐标平面内点的对称性，主要以填空题、选择题形式出现.
2. 自变量的取值范围的确定：
①当函数关系式为分式形式时，其自变量的取值范围必须使分母不为零；
②函数关系式为二次根式形式时，其自变量的取值范围必须使被开方数为非负数；
③函数关系式为整式形式时，其自变量的取值范围为任意实数；
④还应注意要使实际问题有意义. 自变量的取值范围主要以填空题、选择题形式出现.
二、 一次函数
一次函数考点包括一次函数、正比例函数表达式，一次函数与坐标轴的交点坐标（一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴交于-
，0，与y轴交于（0，b）），一次函数与两坐标轴围成三角形的面积，一次函数的性质（当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小），k、b符号与一次函数经过象限的关系，由坐标利用待定系数法求一次函数的解析式等. 知道两点的坐标求函数解析式，知增减性求k的值，知k、b符号以确定一次函数所经过的象限等，常以填空题、选择题形式出现，如2012年徐州中考第6题和第13题、2013年徐州中考第6题；利用一次函数解决实际问题常以解答题的形式出现，如2012年徐州中考第25题、2013年徐州中考第27题.
三、 反比例函数
反比例函数考点包括反比例函数的表达形式和性质（当k>0时，图像的两个分支分别在第一、三象限内，且在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内，y随x的增大而增大）. 特别注意：反比例函数的增、减问题的讨论范围是在每一个象限内或在每一分支上. 与反比例函数相关的面积问题也是常见的中考题. 其中给出图像上几个点，求相关坐标、面积和解析式等常以填空题、选择题形式出现，如2012年徐州中考第13题、2013年徐州中考第13题.
四、 二次函数
二次函数主要考查表达式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0））、顶点坐标、开口方向、对称轴、最大（小）值以及用二次函数模型解决生活实际问题. 其中顶点坐标、开口方向、对称轴、最大（小）值、图像与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题形式出现. 有关二次函数的解答题主要有三种类型：一类是有关二次函数图像及性质的纯数学问题，如2012年徐州中考第24题；一类是利用二次函数性质结合其他知识解决实际问题的题目，如2011年徐州中考第25题 ；再一类是二次函数与几何知识结合的综合题，如2013年徐州中考第28题、2012年徐州中考第27题、2011年徐州中考第28题.
如何将中考压轴题化难为易，在有限的时间内取得更高的分值是同学们关心的问题，下面以2013年徐州中考压轴题为例，说明解决此类问题的方法、思路及对策.
如图1，二次函数y=x2+bx-的图像与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
（1） 请直接写出点D的坐标：_______；
（2） 当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3） 是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由.
【解析】（1） 要求D点的坐标，知A、D两点的横坐标相同为-3，关键是求点D的纵坐标，也就是求出AB的长度，就可确定点D的坐标了. 根据点A（-3，0）在二次函数y=x2+bx-的图像上，可求出b=1，继而求出点B的坐标为（1，0），从而可求出AB=4，所以点D（-3，4）.
（2） 当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动时，说明0 -2+，t=，即P为OA的中点时，OE有最大值，最大值为.
（3） 要使△PED是等腰三角形，由于∠DPE=90°，只能是PD=PE. 同学们遇到此类题目不妨动手操作一下，这样可以帮助我们全面考虑问题. 如用两支笔垂直放置且一支笔始终过点D进行旋转，便可得出下面的两种符合条件的图形.
①如图2，点P点在y轴左侧时，由于PD=PE，再抓住∠PAD=∠POE=90°，便可想到三角形全等. 即△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，也可以由三角函数的定义求PO的长度，即cos∠PDA=cos∠EPO，=，且PD=PE，∴PO=4，PA=OE=4-3=1，由tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，∴重叠部分的面积S△DAG=×4×=.
②如图3，当P点在y轴右侧时，由于PD=PE，仍抓住∠PAD=∠POE=90°，△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，PA=OE=4+3=7，tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，同理tan∠DFC=tan∠PFB，即=，CF=，∴重叠部分的面积S四边形DGBF=4×4-××4-××4=.
【点评】本题综合性很强，涉及函数、方程、几何知识的综合应用，考查了同学们综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，体现了数学知识的综合性，具有一定的难度和区分度. 利用三角形全等求出PO长度、利用相似三角形或三角函数的定义求出AG长度是解决本题的关键. 第（2）小题考查了同学们构建基本图形Rt△APD、Rt△OPE的能力，利用相似三角形或三角函数的定义求出OE关于PA的函数关系式，利用配方法求最大值；第（3）小题先根据点P在对称轴的左、右进行分类讨论，从而得出两种不同点的坐标，再利用割补求出相应重叠部分的面积，在解题过程中较好地渗透了数形结合和分类讨论的思想. 解题时考虑三角函数的定义有时比利用三角形相似、三角形全等解题更方便.
（作者单位：江苏丰县欢口初级中学）
通过统计可以发现：试卷中有关函数的题目少则4题，多则达7题，分值占总分20%以上，重点为一次函数和二次函数. 由于此部分试题具有一定的综合性，对同学们数形结合和函数方程等重要数学思想方法的培养、解题思路的拓宽以及综合能力的提升具有十分重要的意义，因而备受命题者的青睐. 同学们要总结解题规律，掌握函数的基本技能和方法，强化数形结合意识、分类讨论思想、渗透模型思想以及配方法、公式法、待定系数法等重要方法的应用，注意观察、归纳、分析、比较，把重点放在落实基础知识和基本技能及通性、通法的掌握上，从而提高复习效率和效果.
函数常考知识点
一、 平面直角坐标系
1. 坐标平面内点的对称性、点所在的象限、坐标轴上点的坐标特点等. 坐标平面内点的对称性，主要以填空题、选择题形式出现.
2. 自变量的取值范围的确定：
①当函数关系式为分式形式时，其自变量的取值范围必须使分母不为零；
②函数关系式为二次根式形式时，其自变量的取值范围必须使被开方数为非负数；
③函数关系式为整式形式时，其自变量的取值范围为任意实数；
④还应注意要使实际问题有意义. 自变量的取值范围主要以填空题、选择题形式出现.
二、 一次函数
一次函数考点包括一次函数、正比例函数表达式，一次函数与坐标轴的交点坐标（一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴交于-
，0，与y轴交于（0，b）），一次函数与两坐标轴围成三角形的面积，一次函数的性质（当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小），k、b符号与一次函数经过象限的关系，由坐标利用待定系数法求一次函数的解析式等. 知道两点的坐标求函数解析式，知增减性求k的值，知k、b符号以确定一次函数所经过的象限等，常以填空题、选择题形式出现，如2012年徐州中考第6题和第13题、2013年徐州中考第6题；利用一次函数解决实际问题常以解答题的形式出现，如2012年徐州中考第25题、2013年徐州中考第27题.
三、 反比例函数
反比例函数考点包括反比例函数的表达形式和性质（当k>0时，图像的两个分支分别在第一、三象限内，且在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内，y随x的增大而增大）. 特别注意：反比例函数的增、减问题的讨论范围是在每一个象限内或在每一分支上. 与反比例函数相关的面积问题也是常见的中考题. 其中给出图像上几个点，求相关坐标、面积和解析式等常以填空题、选择题形式出现，如2012年徐州中考第13题、2013年徐州中考第13题.
四、 二次函数
二次函数主要考查表达式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0））、顶点坐标、开口方向、对称轴、最大（小）值以及用二次函数模型解决生活实际问题. 其中顶点坐标、开口方向、对称轴、最大（小）值、图像与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题形式出现. 有关二次函数的解答题主要有三种类型：一类是有关二次函数图像及性质的纯数学问题，如2012年徐州中考第24题；一类是利用二次函数性质结合其他知识解决实际问题的题目，如2011年徐州中考第25题 ；再一类是二次函数与几何知识结合的综合题，如2013年徐州中考第28题、2012年徐州中考第27题、2011年徐州中考第28题.
如何将中考压轴题化难为易，在有限的时间内取得更高的分值是同学们关心的问题，下面以2013年徐州中考压轴题为例，说明解决此类问题的方法、思路及对策.
如图1，二次函数y=x2+bx-的图像与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
（1） 请直接写出点D的坐标：_______；
（2） 当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3） 是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由.
【解析】（1） 要求D点的坐标，知A、D两点的横坐标相同为-3，关键是求点D的纵坐标，也就是求出AB的长度，就可确定点D的坐标了. 根据点A（-3，0）在二次函数y=x2+bx-的图像上，可求出b=1，继而求出点B的坐标为（1，0），从而可求出AB=4，所以点D（-3，4）.
（2） 当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动时，说明0
（3） 要使△PED是等腰三角形，由于∠DPE=90°，只能是PD=PE. 同学们遇到此类题目不妨动手操作一下，这样可以帮助我们全面考虑问题. 如用两支笔垂直放置且一支笔始终过点D进行旋转，便可得出下面的两种符合条件的图形.
①如图2，点P点在y轴左侧时，由于PD=PE，再抓住∠PAD=∠POE=90°，便可想到三角形全等. 即△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，也可以由三角函数的定义求PO的长度，即cos∠PDA=cos∠EPO，=，且PD=PE，∴PO=4，PA=OE=4-3=1，由tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，∴重叠部分的面积S△DAG=×4×=.
②如图3，当P点在y轴右侧时，由于PD=PE，仍抓住∠PAD=∠POE=90°，△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，PA=OE=4+3=7，tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，同理tan∠DFC=tan∠PFB，即=，CF=，∴重叠部分的面积S四边形DGBF=4×4-××4-××4=.
【点评】本题综合性很强，涉及函数、方程、几何知识的综合应用，考查了同学们综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，体现了数学知识的综合性，具有一定的难度和区分度. 利用三角形全等求出PO长度、利用相似三角形或三角函数的定义求出AG长度是解决本题的关键. 第（2）小题考查了同学们构建基本图形Rt△APD、Rt△OPE的能力，利用相似三角形或三角函数的定义求出OE关于PA的函数关系式，利用配方法求最大值；第（3）小题先根据点P在对称轴的左、右进行分类讨论，从而得出两种不同点的坐标，再利用割补求出相应重叠部分的面积，在解题过程中较好地渗透了数形结合和分类讨论的思想. 解题时考虑三角函数的定义有时比利用三角形相似、三角形全等解题更方便.
（作者单位：江苏丰县欢口初级中学）