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摘要：制造业中利用标志点配准是对物体进行定位的常用手段，该方法有效的前提是物体上的标志点不存在制造误差，但是实际制造中不存在零误差的标志点。本文利用四元数构造的旋转矩阵当做零制造误差下的配准矩阵，然后对旋转矩阵变换后的标志点位置添加蒙特卡洛方法计算的随机误差，采用SVD分解计算随机误差下的配准矩阵，进而分析了标志点制造误差对物体定位精度的影响。该方法可以有效评估现有物体的标志点制造误差是否可以满足定位精度的要求。在本文研究中设定了10个标志点位置，研究表明：标志点制造误差对物体定位精度的影响近似呈线性关系。
关键词：标志点；制造误差；定位精度；蒙特卡洛法
Reliability Analysis of Marking Point Registration Considering Manufacturing Error
Abstract：In manufacturing industry，marker registration is a common method to locate objects. The effective premise of this method is that there is no manufacturing error in marker points，but there is no zero error marker points in actual manufacturing. In this paper，the rotation matrix constructed by quaternion is used as the registration matrix under zero manufacturing error. Then the random errors calculated by Monte Carlo method are added to the position of the markers transformed by the rotation matrix. The registration matrix under random errors is calculated by SVD decomposition，and the influence of marker manufacturing error on the positioning accuracy of the object is analyzed. This method can point to meet the requirements of manufacturing error of the positioning accuracy of the effective assessment of existing object sign. In this paper，10 landmark locations are set up. The results show that the influence of manufacturing errors of landmarks on the positioning accuracy of objects is approximately linear.
Keywords：Marking Point，Manufacturing error，Position accuracy，Monte Carlo method
1.引言
標志点具有空间特征不变形，被广泛应用于解决各项研究中的定位问题[1-5]。当被处理对象无法利用工装精确定位的时候，通常会采用在对象上加工标志点的方式传递物体本身的位置信息，以便后续加工处理时的定位。考虑到最终产品的制造精度必然大于其定位误差，当物体的定位误差超过其加工精度要求时，该物体的所有后续加工将会面临严峻的质量问题，物体的定位精度对于其后续加工而言至关重要。
在现实生产制造过程中，标志点通常被认为是绝对精确的，即物体上标志点之间的相对位置关系与数模上标志点之间的相对位置关系一致。但是实际上，标志点的制造误差是存在的，而且由于制造误差的随机分布，该误差不能被准确测量[6]。所以在利用标志点进行刚体定位的时候，人们通常将配准定位问题转换为优化问题，寻求全局最优解，减小标志点制造误差对物体定位精度的影响[7-8]。
标记点制造误差对物体定位精度的影响分析可以预先评估在实际制造误差下，采用标志点定位的方法是否可以达到后续加工的精度要求。目前关于标志点制造误差对定位精度影响的研究较少。王满宁[9]对比分析了标志点匹配空间配准中标记点定位误差、标记点配准误差和靶点配准误差之间的关系，研究三者之间的相关性，但是其研究中扰动误差是XYZ三个轴分别添加概率误差，每个点的整体误差不能被精确控制到产品的制造误差数据。此外，该研究仅选取了一组固定的位姿变换矩阵，同时对于误差之间关系的研究尚有进一步挖掘的空间。
基于蒙特卡洛法，本文提出一种标志点制造误差对物体定位精度影响的分析方法，定量分析了标志点制造误差对定位精度的影响规律，并进一步分析了定位误差的空间分布。论文的结构安排如下：第一章介绍了标志点定位的研究背景；第二章详细介绍了本文提出方法的算法架构；第三章是本文的实验设计；第四章对比分析了实验数据，分析实验各参数对最终定位精度的影响；第五章是本文的总结。
2.算法架构设计
鉴于标志点真实制造误差无法测量，本文计划采用标志点添加随机误差的方法模拟真实标志点位置。为测试标志点制造误差对物体定位精度的影响，本文的实验设计如图2-1所示，主要包括：
1.生成位姿变换矩阵，即理论数模位置与实际摆放位置之间的理论变换矩阵To
2.利用位姿变换矩阵对理论数模上的标志点P_mod位置进行变换，获取无制造误差情况下的理想标志点位置P_modN 3.对理想标志点位置P_modN添加随机制造誤差，模拟真实标志点位置P_real
4.对P_mod与P_real进行SVD配准，获取实际变换矩阵T_New
5.对测试点集P_test分别利用To与T_New进行变换，获取p_testold与p_testnew两组点集，p_testold 是标志点没有制造误差情况下的新的测试点位置，p_testnew 是标志点存在制造误差情况下新的测试点位置。
计算评估两组点集之间的差距，计算p_testold 与 p_testnew之间的位置差向量，求取该位置差向量的最大二范数作为两者之间的距离，并且记录测试点的位置差向量。
2.1位姿变换矩阵
位姿变换矩阵由四元数法构造，本文不考虑位置的变换，因为标志点的随机制造误差并不会对物体平移距离的配准产生影响，因此只需分析其对姿态配准的影响。根据达朗伯-欧拉定理：定点转动刚体的任何有限位移可用绕某轴的一次转动来实现，该轴通过刚体的固定点。随机生成三维空间的单位方向向量作为姿态旋转轴线，然后根据给定的旋转角度 ，利用四元数构造空间变换矩阵To。
其中， 是刚体旋转轴线的单位方向向量， 是刚体绕轴线旋转的角度。
2.2蒙特卡洛法产生随机误差
标志点的随机制造误差通过蒙特卡洛方法采用球坐标系生成，如图2-2所示。随机制造误差在方向上无差异，因此本文设定的随机误差随机分布在以标志点为中心，C_r为半径的球面上，其中C_r采用物体既定的制造误差数值， 、 均利用蒙特卡洛方法随机生成，以此确定每次实验过程中每个标志点的误差情况。
2.3奇异值分解（SVD）刚体配准
本文采用SVD刚体配准的方法对理论数模标志点位置与实际标志点位置两组数据进行配配准，从而确定相对理论数模位置的物体实际位姿。
计算两组标志点集的质心位置 、 ，然后计算每个点的去质心坐标，如式（3）（4）所示。
旋转矩阵可以确定物体的姿态，平移向量可以确定物体的位移，两者可以构成齐次矩阵，确定物体的位姿。
3. 实验设计
实验对象：实验选取飞机模型为配准对象，分别在机翼，机身等位置选取10个标志点。现实生产制造中，由于飞机较大的物理尺寸，采用标志点定位是进一步加工时的常用手段。
实验参数：误差点球体面半径C_r；随机试验次数NUM；标志点绕轴旋转角度 。
参数选择：C_r 取2.5mm、3mm、3.5mm、4mm、4.5mm、5mm 这六个数值分别分析；随机试验次数NUM=100000；标志点绕轴旋转角度 取1°、2°、3°、4°、5°，轴线采取随机轴线跟固定轴线两种方式，其中固定轴线分别选取X轴、Y轴、Z轴三个轴线方向。
4. 数据分析
实验选取测试点集结果中的二范数中的平均值和最大值进行分析。
标志点制造误差对物体定位精度的影响与物体的实际位姿无关。根据表4-1，在C_r一定的情况下，姿态变换矩阵中物体旋转角度的增加分别与平均距离和最大距离无关，旋转角度 选取1°、2°、3°、4°、5°时，平均距离与最大距离两项指标无明显变化。根据表4-2，位姿变换矩阵中的旋转轴线的变化对平均距离和最大距离均未产生明显影响，轴线随机与轴线固定在XYZ三个轴上时，平均距离和最大距离保持稳定。
标志点制造误差对物体定位精度的影响与标志点制造误差C_r线性相关。根据表4-3，随着C_r的增加，平均距离与最大距离具有相应的变化。如图4-1所示，平均距离与C_r呈现出强线性关系，拟合优度R=1，可以通过直线方程表征误差平均距离与C_r之间的线性关系。最大距离与C_r呈现较强的线性关系，拟合优度R=0.9991，可以使用直线方程根据C_r的选择预测最大距离，如图4-2所示。通过对比发现，最大误差关于C_r的斜率为1.6813，平均误差相应的斜率为0.4822，所以随着C_r的增大，最大误差将会受到更大的影响，但是两者斜率均不高，平均误差和最大误差应该与制造误差处于同一量级。
物体定位误差的空间分布与标志点集的空间分布相关。物体定位误差在空间中呈现椭球体分布，其中z轴方向较长，其次是y轴方向，最短的是x轴方向，如图4-3和图4-4所示。这与物体本身的标志点集分布有关，本文实验对象为飞机，其标志点集在XY平面上的尺寸相对于z方向的尺寸而言较大。飞机本身在XY平面上的具有较大跨度，在Z方向上比较集中，因此利用标志点定位的精度极易受到标志点Z方向上制造误差的影响。这对标志点定位方法中标志点的选择给出启发，选取的标志点集应在XYZ三个方向上尽量保持尺寸大小一致，这样误差的空间分布会由椭球体向球体发展，最大误差与平均误差更加接近，提升定位精度。
5.结语
本文提出一种基于蒙特卡洛方法的标志点制造误差对物体定位精度影响的分析方法，通过分析，我们发现标志点制造误差产生对物体定位的影响与物体的实际位姿无关，与标志点制造误差C_r的大小相关。其中定位误差中的平均距离跟最大距离分别与C_r线性相关，两者与制造误差处于同一量级水平，并给出了关系公式；定位误差的空间分布与物体本身标志点集的分布相关，大范围各向同性的标志点集分布更有利于物体的精确定位。
参考文献
[1] 袁建英，王琼，李柏林. 利用标志点多视图约束实现结构光扫描高精度粗拼接[J]. 计算机辅助设计与图形学学报，2015（4）：674-683.
[2] 杨帆，权巍，白宝兴，et al. 基于标志点的三维点云自动拼接技术[J]. 计算机工程与设计，2014，35（9）：3321-3325.
[3] 陈惠珍，石四箴. 数字化头影测量中标志点定位方法的探讨[J]. 上海医学，2004，27（12）：949-951.
[4] 张景华. 直接数字化头颅侧位片与传统侧位片定点准确性的比较研究[D]. 山东大学，2006.
[5] 梁艳，章云. 姿态和表情变化下的三维人脸标志点定位（英文）[J]. 控制理论与应用，2017（06）：123-131.
[6] 杨晓娟. 机械加工误差产生原因及解决措施[J]. 淮北职业技术学院学报，2010，09（5）：81-82.
[7] 梁云波，邓文怡，娄小平，et al. 基于标志点的多视三维数据自动拼接方法[J]. 北京信息科技大学学报（自然科学版），2010，25（1）：30-33.
[8] 王力，李广云，贺磊，et al. 点云拼接中标志自动匹配方法[J]. 测绘科学，2011，36（2）：144-145.
[9] 王满宁. 点匹配空间配准中三种误差之间的关系[J]. 组织工程与重建外科杂志，2014（1）.
作者简介：杜潭飞（2001-），男，河北省邢台市人，民族：汉，职称：无，学历：在读高中生。研究方向：机器人。
李浩（1993-），女，河北省衡水市人，民族：汉，职称：中学二级，学历：本科，研究方向：物理学。
（作者单位：河北衡水中学）
关键词：标志点；制造误差；定位精度；蒙特卡洛法
Reliability Analysis of Marking Point Registration Considering Manufacturing Error
Abstract：In manufacturing industry，marker registration is a common method to locate objects. The effective premise of this method is that there is no manufacturing error in marker points，but there is no zero error marker points in actual manufacturing. In this paper，the rotation matrix constructed by quaternion is used as the registration matrix under zero manufacturing error. Then the random errors calculated by Monte Carlo method are added to the position of the markers transformed by the rotation matrix. The registration matrix under random errors is calculated by SVD decomposition，and the influence of marker manufacturing error on the positioning accuracy of the object is analyzed. This method can point to meet the requirements of manufacturing error of the positioning accuracy of the effective assessment of existing object sign. In this paper，10 landmark locations are set up. The results show that the influence of manufacturing errors of landmarks on the positioning accuracy of objects is approximately linear.
Keywords：Marking Point，Manufacturing error，Position accuracy，Monte Carlo method
1.引言
標志点具有空间特征不变形，被广泛应用于解决各项研究中的定位问题[1-5]。当被处理对象无法利用工装精确定位的时候，通常会采用在对象上加工标志点的方式传递物体本身的位置信息，以便后续加工处理时的定位。考虑到最终产品的制造精度必然大于其定位误差，当物体的定位误差超过其加工精度要求时，该物体的所有后续加工将会面临严峻的质量问题，物体的定位精度对于其后续加工而言至关重要。
在现实生产制造过程中，标志点通常被认为是绝对精确的，即物体上标志点之间的相对位置关系与数模上标志点之间的相对位置关系一致。但是实际上，标志点的制造误差是存在的，而且由于制造误差的随机分布，该误差不能被准确测量[6]。所以在利用标志点进行刚体定位的时候，人们通常将配准定位问题转换为优化问题，寻求全局最优解，减小标志点制造误差对物体定位精度的影响[7-8]。
标记点制造误差对物体定位精度的影响分析可以预先评估在实际制造误差下，采用标志点定位的方法是否可以达到后续加工的精度要求。目前关于标志点制造误差对定位精度影响的研究较少。王满宁[9]对比分析了标志点匹配空间配准中标记点定位误差、标记点配准误差和靶点配准误差之间的关系，研究三者之间的相关性，但是其研究中扰动误差是XYZ三个轴分别添加概率误差，每个点的整体误差不能被精确控制到产品的制造误差数据。此外，该研究仅选取了一组固定的位姿变换矩阵，同时对于误差之间关系的研究尚有进一步挖掘的空间。
基于蒙特卡洛法，本文提出一种标志点制造误差对物体定位精度影响的分析方法，定量分析了标志点制造误差对定位精度的影响规律，并进一步分析了定位误差的空间分布。论文的结构安排如下：第一章介绍了标志点定位的研究背景；第二章详细介绍了本文提出方法的算法架构；第三章是本文的实验设计；第四章对比分析了实验数据，分析实验各参数对最终定位精度的影响；第五章是本文的总结。
2.算法架构设计
鉴于标志点真实制造误差无法测量，本文计划采用标志点添加随机误差的方法模拟真实标志点位置。为测试标志点制造误差对物体定位精度的影响，本文的实验设计如图2-1所示，主要包括：
1.生成位姿变换矩阵，即理论数模位置与实际摆放位置之间的理论变换矩阵To
2.利用位姿变换矩阵对理论数模上的标志点P_mod位置进行变换，获取无制造误差情况下的理想标志点位置P_modN 3.对理想标志点位置P_modN添加随机制造誤差，模拟真实标志点位置P_real
4.对P_mod与P_real进行SVD配准，获取实际变换矩阵T_New
5.对测试点集P_test分别利用To与T_New进行变换，获取p_testold与p_testnew两组点集，p_testold 是标志点没有制造误差情况下的新的测试点位置，p_testnew 是标志点存在制造误差情况下新的测试点位置。
计算评估两组点集之间的差距，计算p_testold 与 p_testnew之间的位置差向量，求取该位置差向量的最大二范数作为两者之间的距离，并且记录测试点的位置差向量。
2.1位姿变换矩阵
位姿变换矩阵由四元数法构造，本文不考虑位置的变换，因为标志点的随机制造误差并不会对物体平移距离的配准产生影响，因此只需分析其对姿态配准的影响。根据达朗伯-欧拉定理：定点转动刚体的任何有限位移可用绕某轴的一次转动来实现，该轴通过刚体的固定点。随机生成三维空间的单位方向向量作为姿态旋转轴线，然后根据给定的旋转角度 ，利用四元数构造空间变换矩阵To。
其中， 是刚体旋转轴线的单位方向向量， 是刚体绕轴线旋转的角度。
2.2蒙特卡洛法产生随机误差
标志点的随机制造误差通过蒙特卡洛方法采用球坐标系生成，如图2-2所示。随机制造误差在方向上无差异，因此本文设定的随机误差随机分布在以标志点为中心，C_r为半径的球面上，其中C_r采用物体既定的制造误差数值， 、 均利用蒙特卡洛方法随机生成，以此确定每次实验过程中每个标志点的误差情况。
2.3奇异值分解（SVD）刚体配准
本文采用SVD刚体配准的方法对理论数模标志点位置与实际标志点位置两组数据进行配配准，从而确定相对理论数模位置的物体实际位姿。
计算两组标志点集的质心位置 、 ，然后计算每个点的去质心坐标，如式（3）（4）所示。
旋转矩阵可以确定物体的姿态，平移向量可以确定物体的位移，两者可以构成齐次矩阵，确定物体的位姿。
3. 实验设计
实验对象：实验选取飞机模型为配准对象，分别在机翼，机身等位置选取10个标志点。现实生产制造中，由于飞机较大的物理尺寸，采用标志点定位是进一步加工时的常用手段。
实验参数：误差点球体面半径C_r；随机试验次数NUM；标志点绕轴旋转角度 。
参数选择：C_r 取2.5mm、3mm、3.5mm、4mm、4.5mm、5mm 这六个数值分别分析；随机试验次数NUM=100000；标志点绕轴旋转角度 取1°、2°、3°、4°、5°，轴线采取随机轴线跟固定轴线两种方式，其中固定轴线分别选取X轴、Y轴、Z轴三个轴线方向。
4. 数据分析
实验选取测试点集结果中的二范数中的平均值和最大值进行分析。
标志点制造误差对物体定位精度的影响与物体的实际位姿无关。根据表4-1，在C_r一定的情况下，姿态变换矩阵中物体旋转角度的增加分别与平均距离和最大距离无关，旋转角度 选取1°、2°、3°、4°、5°时，平均距离与最大距离两项指标无明显变化。根据表4-2，位姿变换矩阵中的旋转轴线的变化对平均距离和最大距离均未产生明显影响，轴线随机与轴线固定在XYZ三个轴上时，平均距离和最大距离保持稳定。
标志点制造误差对物体定位精度的影响与标志点制造误差C_r线性相关。根据表4-3，随着C_r的增加，平均距离与最大距离具有相应的变化。如图4-1所示，平均距离与C_r呈现出强线性关系，拟合优度R=1，可以通过直线方程表征误差平均距离与C_r之间的线性关系。最大距离与C_r呈现较强的线性关系，拟合优度R=0.9991，可以使用直线方程根据C_r的选择预测最大距离，如图4-2所示。通过对比发现，最大误差关于C_r的斜率为1.6813，平均误差相应的斜率为0.4822，所以随着C_r的增大，最大误差将会受到更大的影响，但是两者斜率均不高，平均误差和最大误差应该与制造误差处于同一量级。
物体定位误差的空间分布与标志点集的空间分布相关。物体定位误差在空间中呈现椭球体分布，其中z轴方向较长，其次是y轴方向，最短的是x轴方向，如图4-3和图4-4所示。这与物体本身的标志点集分布有关，本文实验对象为飞机，其标志点集在XY平面上的尺寸相对于z方向的尺寸而言较大。飞机本身在XY平面上的具有较大跨度，在Z方向上比较集中，因此利用标志点定位的精度极易受到标志点Z方向上制造误差的影响。这对标志点定位方法中标志点的选择给出启发，选取的标志点集应在XYZ三个方向上尽量保持尺寸大小一致，这样误差的空间分布会由椭球体向球体发展，最大误差与平均误差更加接近，提升定位精度。
5.结语
本文提出一种基于蒙特卡洛方法的标志点制造误差对物体定位精度影响的分析方法，通过分析，我们发现标志点制造误差产生对物体定位的影响与物体的实际位姿无关，与标志点制造误差C_r的大小相关。其中定位误差中的平均距离跟最大距离分别与C_r线性相关，两者与制造误差处于同一量级水平，并给出了关系公式；定位误差的空间分布与物体本身标志点集的分布相关，大范围各向同性的标志点集分布更有利于物体的精确定位。
参考文献
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[8] 王力，李广云，贺磊，et al. 点云拼接中标志自动匹配方法[J]. 测绘科学，2011，36（2）：144-145.
[9] 王满宁. 点匹配空间配准中三种误差之间的关系[J]. 组织工程与重建外科杂志，2014（1）.
作者简介：杜潭飞（2001-），男，河北省邢台市人，民族：汉，职称：无，学历：在读高中生。研究方向：机器人。
李浩（1993-），女，河北省衡水市人，民族：汉，职称：中学二级，学历：本科，研究方向：物理学。
（作者单位：河北衡水中学）