【摘 要】
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<正>题目给定整数n,求所有的函数f:Z→Z,满足对任意的整数x、y均有f(x+y+f(y))=f(x)+ny.~[1](2012,中国国家集训队测试)原题解答用到了柯西方程,本文介绍一种纯代数变形的解
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<正>题目给定整数n,求所有的函数f:Z→Z,满足对任意的整数x、y均有f(x+y+f(y))=f(x)+ny.~[1](2012,中国国家集训队测试)原题解答用到了柯西方程,本文介绍一种纯代数变形的解法.解记S={y+f(y)|y∈Z}.先考虑n=0的情形.若S={0},则f(x)=-x(x∈Z).易验证满足要求.若集合S中含有非零数,则f是周期函数.设d是f的最小正周期.则f完全由f(0),f(1),…,f(d-1)的取值决定,且由于
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