论文部分内容阅读
摘 要：“向量”是高中数学中重要而基本的概念之一，它是高中数学的基础知识。它既是代数的对象，又是几何的对象。并把向量上升为思想方法——“向量法”来探索与研究：直线的斜率坐标公式；直线的平行与垂直关系；直线方程；点到直线的距离公式；直径圆的方程、過圆上的切线方程等。
关键词：向量法；新课程；高中数学；工具性
“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景是解决几何问题的有力工具。全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。”使得教材中在推导正、余弦定理、三角不等式、柯西不等式、直线与平面垂直的判定定理等重要定理、公式的教与学更加简洁、方便、深刻，向量的工具性作用得到了更为充分的发挥。教材中的许多知识表面上是孤立的，若我们在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”地揭示这种“知识链”，内化学生的理解，就能让学生对知识的构建“水到渠成”。
精彩之一：用向量法推导直线的斜率坐标公式的关系
【问题1】已知直线过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，求直线的斜率。
教材中采用了分四种情况讨论，利用初中直角三角形中的正切函数概念结合诱导公式推导斜率公式，学生对推导过程比较难理解，是本节课的难点。
■
不妨设直线向上的方向向量为■=（x2-x1，y2-y1），否则取其相反向量。
平移至向量■=（x2-x1，y2-y1），则直线P1P2的倾斜角α=∠XOP，所以直线的斜率k=tanα=■.
这样采用向量法和正切函数的定义就可以巧妙地避免复杂的分类讨论和诱导公式的变形等难点，学生也能很好地理解公式推导过程。
精彩之二：用向量法推导直线方程及直线的斜率与平行、垂直位置关系的条件
【问题2】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，l1⊥l2，则直线的斜率k1，k2有何关系？
教材中采用了分情况讨论，利用直角三角形外角等于不相邻的两内角和以及诱导公式推导，学生对推导过程理解还是比较困难的。
如果设直线l1，l2的方向向量分别为■=（1，k1），■=（1，k2）即有
l1∥l2？圳■∥■？圳1×k1-1×k2=0？圳k1=k2；
l1⊥l2？圳■⊥■？圳■·■=0？圳k1k2=-1.
这样学生就能很好地理解公式的推导办法，向量的工具性作用得到充分应用，数学知识的内在联系得到了升华。
笔者让学生自主学习《数学必修4》133页的《平面向量》复习参考题B组第9题：
【问题3】“平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具。……你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗？
（1）过点P0（x0，y0）平行于向量■=（1，k）的直线方程；
（2）向量■=（A，B）与直线Ax+By+C=0的关系；
（3）设直线l1和l2的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，那么，l1∥l2，l1⊥l2，的条件是什么？”
【引进直线的方向向量】（1）设P（x，y）为直线上任意一点，则■∥■，
即有（y-y0）-k（x-x0）=0，故有y-y0=k（x-x0）.
【引进直线的法向量】（2）在直线Ax+By+C=0上任取不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则A1x+B1y+C1=0……①，A2x+B2y+C2=0……②，
由②-①得，A（x2-x1）+B（y2-y1）=0，即有■·■=0，故■⊥■，
所以向量■=（A，B）为直线Ax+By+C=0的法向量。
（3）如果设直线l1，l2的法向量分别为■=（A1，B1），■=（A2，B2），则有：
l1∥l2？圳■∥■？圯A1×B2-A2×B1=0；l1⊥l2？圳■⊥■？圳■·■=0？圳A1A2+B1B2=0；
引进法向量推导直线平行的必要条件、垂直的充要条件就可以避免用斜率繁杂的讨论，而使过程简洁明快。
精彩之三：用向量法推导点到直线的距离公式
【问题3续】（4）向量在计算长度、角度方面比较方便，你能用向量的知识推导“点P0（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式”吗？
虽然只设计了这样一个问题，却一石激起千层浪，引导着学生把平面向量知识与解析几何知识有机地联系在一起，为学生学习解析几何知识有了向量这一有用的工具，为学生学习新知识——推导点到直线的距离公式开拓了新的思路：
■
已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0求点P0到直线l的距离。
解：在直线l上取一点S（x1，y1），则Ax1+By1+C=0，
■=（x1-x0，y1-y0），而直线l的一个法向量为■=（A，B），
d=■=■
=■=■
推导点到直线的距离公式是本节内容的难点，用向量法推导比教材中的方法更简洁，笔者的教学实践表明：这一方法让学生更易掌握，从而很好地突破了教学的难点。
精彩之四：用向量法求直径圆
【问题4】设A（x1，y1），B（x2，y2），求以AB为直径的圆方程。
设P（x，y）为圆上任意一点，则AP⊥BP，即■·■=0，故有，以AB为直径的圆方程为（x-x1）（x-x2）（y-y1）（y-y2）=0。
精彩之五：用向量法求过圆上的切线方程 【问题5】求过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程。
方法1：易知，■=（x0，y0）是過切点P（x0，y0）的圆的切线的法向量，所以可以设切线方程为x0x+y0y+c=0，因切线过点P0（x0，y0），所以x02+y02+c=0，即c=-（x02+y02）=-r2，
所以过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2.
方法2：在切线上任取一点Q（x，y），则OP⊥PQ，即■·■=0，即有x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，故有x0x+y0y-（x02+y02）=0，所以过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2.
【问题5续】求过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程。
设圆心M（a，b），在切线上任取一点Q（x，y），则MP⊥PQ，即■·■=0，
即有（x0-a）（x-x0）+（y0-b）（y-y0）=0，有（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）-[（x0-a）2+（y0-b）2]=0，
所以过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.
向量法研究直径圆、过圆上的切线方程，使问题的解决变得更方便，也更容易被学生掌握。
用向量法解决问题的一般思路为：
向量是数学中重要和基本的概念之一，它是高中数学的基础。“它既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数的对象，关键是它具有一套良好的运算性质，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面曲线等几何对象。向量有长度，可以刻画长度等几何度量问题，向量由方向和大小两个因素确定，因此向量是集数与形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现。通过空间向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具。”并把向量上升为思想方法——“向量法”，让学生更好地体会数学方法的魅力和数学知识内在的普遍联系，使高中数学学习更精彩！
参考文献：
刘忠.向量替斜率，解题免讨论.中学数学，2009（1）.
（作者单位 浙江景宁中学）
？誗编辑 马燕萍
关键词：向量法；新课程；高中数学；工具性
“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景是解决几何问题的有力工具。全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。”使得教材中在推导正、余弦定理、三角不等式、柯西不等式、直线与平面垂直的判定定理等重要定理、公式的教与学更加简洁、方便、深刻，向量的工具性作用得到了更为充分的发挥。教材中的许多知识表面上是孤立的，若我们在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”地揭示这种“知识链”，内化学生的理解，就能让学生对知识的构建“水到渠成”。
精彩之一：用向量法推导直线的斜率坐标公式的关系
【问题1】已知直线过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，求直线的斜率。
教材中采用了分四种情况讨论，利用初中直角三角形中的正切函数概念结合诱导公式推导斜率公式，学生对推导过程比较难理解，是本节课的难点。
■
不妨设直线向上的方向向量为■=（x2-x1，y2-y1），否则取其相反向量。
平移至向量■=（x2-x1，y2-y1），则直线P1P2的倾斜角α=∠XOP，所以直线的斜率k=tanα=■.
这样采用向量法和正切函数的定义就可以巧妙地避免复杂的分类讨论和诱导公式的变形等难点，学生也能很好地理解公式推导过程。
精彩之二：用向量法推导直线方程及直线的斜率与平行、垂直位置关系的条件
【问题2】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，l1⊥l2，则直线的斜率k1，k2有何关系？
教材中采用了分情况讨论，利用直角三角形外角等于不相邻的两内角和以及诱导公式推导，学生对推导过程理解还是比较困难的。
如果设直线l1，l2的方向向量分别为■=（1，k1），■=（1，k2）即有
l1∥l2？圳■∥■？圳1×k1-1×k2=0？圳k1=k2；
l1⊥l2？圳■⊥■？圳■·■=0？圳k1k2=-1.
这样学生就能很好地理解公式的推导办法，向量的工具性作用得到充分应用，数学知识的内在联系得到了升华。
笔者让学生自主学习《数学必修4》133页的《平面向量》复习参考题B组第9题：
【问题3】“平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具。……你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗？
（1）过点P0（x0，y0）平行于向量■=（1，k）的直线方程；
（2）向量■=（A，B）与直线Ax+By+C=0的关系；
（3）设直线l1和l2的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，那么，l1∥l2，l1⊥l2，的条件是什么？”
【引进直线的方向向量】（1）设P（x，y）为直线上任意一点，则■∥■，
即有（y-y0）-k（x-x0）=0，故有y-y0=k（x-x0）.
【引进直线的法向量】（2）在直线Ax+By+C=0上任取不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则A1x+B1y+C1=0……①，A2x+B2y+C2=0……②，
由②-①得，A（x2-x1）+B（y2-y1）=0，即有■·■=0，故■⊥■，
所以向量■=（A，B）为直线Ax+By+C=0的法向量。
（3）如果设直线l1，l2的法向量分别为■=（A1，B1），■=（A2，B2），则有：
l1∥l2？圳■∥■？圯A1×B2-A2×B1=0；l1⊥l2？圳■⊥■？圳■·■=0？圳A1A2+B1B2=0；
引进法向量推导直线平行的必要条件、垂直的充要条件就可以避免用斜率繁杂的讨论，而使过程简洁明快。
精彩之三：用向量法推导点到直线的距离公式
【问题3续】（4）向量在计算长度、角度方面比较方便，你能用向量的知识推导“点P0（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式”吗？
虽然只设计了这样一个问题，却一石激起千层浪，引导着学生把平面向量知识与解析几何知识有机地联系在一起，为学生学习解析几何知识有了向量这一有用的工具，为学生学习新知识——推导点到直线的距离公式开拓了新的思路：
■
已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0求点P0到直线l的距离。
解：在直线l上取一点S（x1，y1），则Ax1+By1+C=0，
■=（x1-x0，y1-y0），而直线l的一个法向量为■=（A，B），
d=■=■
=■=■
推导点到直线的距离公式是本节内容的难点，用向量法推导比教材中的方法更简洁，笔者的教学实践表明：这一方法让学生更易掌握，从而很好地突破了教学的难点。
精彩之四：用向量法求直径圆
【问题4】设A（x1，y1），B（x2，y2），求以AB为直径的圆方程。
设P（x，y）为圆上任意一点，则AP⊥BP，即■·■=0，故有，以AB为直径的圆方程为（x-x1）（x-x2）（y-y1）（y-y2）=0。
精彩之五：用向量法求过圆上的切线方程 【问题5】求过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程。
方法1：易知，■=（x0，y0）是過切点P（x0，y0）的圆的切线的法向量，所以可以设切线方程为x0x+y0y+c=0，因切线过点P0（x0，y0），所以x02+y02+c=0，即c=-（x02+y02）=-r2，
所以过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2.
方法2：在切线上任取一点Q（x，y），则OP⊥PQ，即■·■=0，即有x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，故有x0x+y0y-（x02+y02）=0，所以过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2.
【问题5续】求过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程。
设圆心M（a，b），在切线上任取一点Q（x，y），则MP⊥PQ，即■·■=0，
即有（x0-a）（x-x0）+（y0-b）（y-y0）=0，有（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）-[（x0-a）2+（y0-b）2]=0，
所以过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.
向量法研究直径圆、过圆上的切线方程，使问题的解决变得更方便，也更容易被学生掌握。
用向量法解决问题的一般思路为：
向量是数学中重要和基本的概念之一，它是高中数学的基础。“它既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数的对象，关键是它具有一套良好的运算性质，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面曲线等几何对象。向量有长度，可以刻画长度等几何度量问题，向量由方向和大小两个因素确定，因此向量是集数与形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现。通过空间向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具。”并把向量上升为思想方法——“向量法”，让学生更好地体会数学方法的魅力和数学知识内在的普遍联系，使高中数学学习更精彩！
参考文献：
刘忠.向量替斜率，解题免讨论.中学数学，2009（1）.
（作者单位 浙江景宁中学）
？誗编辑 马燕萍