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在平时的数学教学中，老师常常会碰到学生犯的各种错误，不过有一类错误是可遇而不可求的，那就是我们常常说的“巧合”。
我常常很珍惜这种假“巧合”，它往往会创新我的思路，让我感受到数学无穷的乐趣，学生也能在探讨的过程中体会到数学的奇妙。
案例一：烙饼的秘密
四年级有一次单元考试出现了烙饼问题，可是这个时候烙饼问题并没有学。“一张饼每面要烙2分钟，锅里最多放两张饼，5张饼最少要几分钟？”
做对的个别学生都是直接用2X5做的，问他们理由，却答不上来。
孩子们虽然迷迷糊糊，但是作为老师，我可不能马虎，因为无论饼的张数是奇数张，还是偶数张，烙饼的总时间总是等于单面烙的时间X饼的张数（烙1张饼除外）。以往的教学我们都是先介绍用同时烙的方法，得出烙2张饼需要4分钟，用交替烙的方法，使锅里始终没有空位，得出3张饼需要6分钟。3张饼以上的就可以依次叠加，最后通过找规律得出一个公式。但是为什么刚好单面煎的时间乘以张数就是总时间呢？如何跟学生解释呢？
要想清楚这个问题，还是得从乘法的意义入手。理论来说，烙饼的总时间=烙1张饼的时间X饼的张数。而我们暂时得出了一个正确的结论即：烙饼的总时间=单面烙的时间X饼的张数（烙1张饼除外）。那这样是否能证明烙1张饼的时间=单面烙的时间？
所以为什么烙一张饼的时间就是单面烙的时间呢？
想到自己买肉夹馍的经验，我想通了。我们假如这张饼比较厚，可以从中间分开后摊开来烙。那么正面和反面不就同时在锅里烙了吗？当然了，虽然分开后会再产生两个面，但是我们依循前后一致的原则，只烙这张饼本来的正反面。这样一来，单面烙的时间，刚好就是一张饼正反面一起烙的时间，即得出单面烙的时间就是烙1张饼的时间。
这些想法怎么才能深入浅出的跟学生解释清楚呢？后来上课的时候我用手来示范，把两只手合起来，两只手的手背就是一张饼的正反面，当我把手分开摊开的时候，那么这两面就能同时在锅里烙了，这时单面烙的时间就是烙1张饼的时间。同学们都欣喜若狂，觉得这样理解起来真简单，他们也很乐意接受这个解释。当然，作为老师我们要跟学生说清楚，这只是理想状态下，也许实际上烙的饼很薄，根本分不开，但是我们用数学的逻辑去想象，复杂的烙饼问题就变得容易了，这就是数学的魅力。
认真对待错误中的“巧合”，不仅可以让老师换个角度看问题，创新解题思路，也能帮助学生多角度的理解问题。
案例二：神秘的X
小学阶段，提倡情境设计要贴近学生的生活，数学老师们也强调数学来源于生活。但是我们不得不承认，很多数学问题用生活中的情境是难以解释的，越到高年级，越是如此。很多数学知识都是在数学本身的逻辑中产生了冲突而产生的。比如下面这个例子中的96，用生活中的数是难以解释的。
甲乙两个粮仓一共有小麦132吨，甲仓小麦质量的62.5%与乙仓小麦质量的75%相等，两个粮仓共有小麦多少吨？
解：设两个粮仓有小麦X吨
62.5%X+75%X=132
1.375X=132 甲：96X62.5%=60吨
X=96 乙：96X75%=72噸
批改作业的老师说他看不懂这个学生的解题思路。虽然学生把正确的两个数算出来了，但是过程却解释不通。所以老师们都认为这完全是“巧合”。可是这真的是巧合吗？
这个例子让学生去讨论会很有意义，也许最终学生不能得出准确的结论，但是整个的思考涉及到高阶思维的很多方面，是很有价值的。
首先让学生判断这样做对吗？不计算你能做出初步判断吗？这时学生需要筛选合适的信息去分析和判断。题目中说甲的62.5%与乙的75%相等，可以判断出甲应该大于乙，而这个同学计算的结果，甲小于乙，所以不对。而且例子中的设的X也说不通。
既然不对，那么接下就应该算一算正确的应该是怎样的。学生“设甲为x吨，乙为（132-x）吨”算出答案应该是甲为72吨，乙是60吨，刚好和例题的答案是相反的。
然后老师要求学生观察，引导学生思考为什么甲乙会刚好和刚才错误的结论相反呢？是巧合吗？我们如何去验证呢？聪明的学生也许可以想到把题目中的数据换掉，再用这种方法计算，是否也能得出正确的答案。
验证后学生会发现结论果然很有意思，这样计算总能得出正确的答案。可以初步判断这不是巧合，这种方法有一定的道理。
学生在这个过程中从发现错误，解决问题，再进行对比反思，接着又发现新问题，提出猜想再验证，都是一个很自然的主动思考的过程。而这一过程都需要学生进行细致的分析、严密的逻辑推理，也需要学生较强的批判精神。
但是问题仍然没有解决，我们解释不聊例子中设的这个X是什么，也解释不了解出来的X=96是什么。后面的解释需要老师去帮忙。
因为62.5%甲=75%乙 推出甲/75%=乙/62.5%
设甲/75%=乙/62.5%=X，那么甲=75%X，乙=62.5%X（也就是必然存在一个数使它的75%是甲，62.5%是乙），即可列出75%X+62.5%X=132。
所以这个X就是我们通过推理，一定会存在的数学意义上的数。这不是常规的解法，它不贴近小学生的生活。但是如果当出现这种案例的时候，我们是否能够引导孩子多一点思考，也许会出现更多的创造性的想法。
做题的目的，一部分是为了巩固知识，但更多的应该是培养学生分析问题、解决问题的能力，和敢于创新方法，迎难而上的意志品质。老师也应该做好表率，对待“巧合”，不轻易下结论，三思而教。
我常常很珍惜这种假“巧合”，它往往会创新我的思路，让我感受到数学无穷的乐趣，学生也能在探讨的过程中体会到数学的奇妙。
案例一：烙饼的秘密
四年级有一次单元考试出现了烙饼问题，可是这个时候烙饼问题并没有学。“一张饼每面要烙2分钟，锅里最多放两张饼，5张饼最少要几分钟？”
做对的个别学生都是直接用2X5做的，问他们理由，却答不上来。
孩子们虽然迷迷糊糊，但是作为老师，我可不能马虎，因为无论饼的张数是奇数张，还是偶数张，烙饼的总时间总是等于单面烙的时间X饼的张数（烙1张饼除外）。以往的教学我们都是先介绍用同时烙的方法，得出烙2张饼需要4分钟，用交替烙的方法，使锅里始终没有空位，得出3张饼需要6分钟。3张饼以上的就可以依次叠加，最后通过找规律得出一个公式。但是为什么刚好单面煎的时间乘以张数就是总时间呢？如何跟学生解释呢？
要想清楚这个问题，还是得从乘法的意义入手。理论来说，烙饼的总时间=烙1张饼的时间X饼的张数。而我们暂时得出了一个正确的结论即：烙饼的总时间=单面烙的时间X饼的张数（烙1张饼除外）。那这样是否能证明烙1张饼的时间=单面烙的时间？
所以为什么烙一张饼的时间就是单面烙的时间呢？
想到自己买肉夹馍的经验，我想通了。我们假如这张饼比较厚，可以从中间分开后摊开来烙。那么正面和反面不就同时在锅里烙了吗？当然了，虽然分开后会再产生两个面，但是我们依循前后一致的原则，只烙这张饼本来的正反面。这样一来，单面烙的时间，刚好就是一张饼正反面一起烙的时间，即得出单面烙的时间就是烙1张饼的时间。
这些想法怎么才能深入浅出的跟学生解释清楚呢？后来上课的时候我用手来示范，把两只手合起来，两只手的手背就是一张饼的正反面，当我把手分开摊开的时候，那么这两面就能同时在锅里烙了，这时单面烙的时间就是烙1张饼的时间。同学们都欣喜若狂，觉得这样理解起来真简单，他们也很乐意接受这个解释。当然，作为老师我们要跟学生说清楚，这只是理想状态下，也许实际上烙的饼很薄，根本分不开，但是我们用数学的逻辑去想象，复杂的烙饼问题就变得容易了，这就是数学的魅力。
认真对待错误中的“巧合”，不仅可以让老师换个角度看问题，创新解题思路，也能帮助学生多角度的理解问题。
案例二：神秘的X
小学阶段，提倡情境设计要贴近学生的生活，数学老师们也强调数学来源于生活。但是我们不得不承认，很多数学问题用生活中的情境是难以解释的，越到高年级，越是如此。很多数学知识都是在数学本身的逻辑中产生了冲突而产生的。比如下面这个例子中的96，用生活中的数是难以解释的。
甲乙两个粮仓一共有小麦132吨，甲仓小麦质量的62.5%与乙仓小麦质量的75%相等，两个粮仓共有小麦多少吨？
解：设两个粮仓有小麦X吨
62.5%X+75%X=132
1.375X=132 甲：96X62.5%=60吨
X=96 乙：96X75%=72噸
批改作业的老师说他看不懂这个学生的解题思路。虽然学生把正确的两个数算出来了，但是过程却解释不通。所以老师们都认为这完全是“巧合”。可是这真的是巧合吗？
这个例子让学生去讨论会很有意义，也许最终学生不能得出准确的结论，但是整个的思考涉及到高阶思维的很多方面，是很有价值的。
首先让学生判断这样做对吗？不计算你能做出初步判断吗？这时学生需要筛选合适的信息去分析和判断。题目中说甲的62.5%与乙的75%相等，可以判断出甲应该大于乙，而这个同学计算的结果，甲小于乙，所以不对。而且例子中的设的X也说不通。
既然不对，那么接下就应该算一算正确的应该是怎样的。学生“设甲为x吨，乙为（132-x）吨”算出答案应该是甲为72吨，乙是60吨，刚好和例题的答案是相反的。
然后老师要求学生观察，引导学生思考为什么甲乙会刚好和刚才错误的结论相反呢？是巧合吗？我们如何去验证呢？聪明的学生也许可以想到把题目中的数据换掉，再用这种方法计算，是否也能得出正确的答案。
验证后学生会发现结论果然很有意思，这样计算总能得出正确的答案。可以初步判断这不是巧合，这种方法有一定的道理。
学生在这个过程中从发现错误，解决问题，再进行对比反思，接着又发现新问题，提出猜想再验证，都是一个很自然的主动思考的过程。而这一过程都需要学生进行细致的分析、严密的逻辑推理，也需要学生较强的批判精神。
但是问题仍然没有解决，我们解释不聊例子中设的这个X是什么，也解释不了解出来的X=96是什么。后面的解释需要老师去帮忙。
因为62.5%甲=75%乙 推出甲/75%=乙/62.5%
设甲/75%=乙/62.5%=X，那么甲=75%X，乙=62.5%X（也就是必然存在一个数使它的75%是甲，62.5%是乙），即可列出75%X+62.5%X=132。
所以这个X就是我们通过推理，一定会存在的数学意义上的数。这不是常规的解法，它不贴近小学生的生活。但是如果当出现这种案例的时候，我们是否能够引导孩子多一点思考，也许会出现更多的创造性的想法。
做题的目的，一部分是为了巩固知识，但更多的应该是培养学生分析问题、解决问题的能力，和敢于创新方法，迎难而上的意志品质。老师也应该做好表率，对待“巧合”，不轻易下结论，三思而教。