数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题. 数学思想和数学方法是学习数学的核心. 下面举例探讨圆中渗透的数学思想.
　　
　　例1（2010年上海市中考题）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图1所示，“海宝”从圆心O出发，选沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.
　　（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.
　　（本题参考数据：sin67.4°=，cos67.4°=，tan67.4°=）
　　分析：为了方便解题，本题需要结合所给图形构造直角三角形，巧妙利用∠AOD与∠AON互余，已知条件所给角的三角函数值在此也起到了关键性的作用.
　　（1）解：过点O作OD⊥AB，则∠AOD+∠AON=90°，即：sin∠AOD=cos∠AON=.
　　即：AD=AO×=5，OD=AO×sin67.4°=AO×=12.
　　又沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，
　　∴AB∥NS，AB⊥BC，∴E点是BC的中点，且BE=DO=12.
　　∴BC=24
　　（2）解：连接OB，则OE=BD=AB-AD=14-5=9.
　　∵在RT△BOE中，BE=12，
　　∴BO====15.
　　即圆O的半径长为15.
　　点评：理解方位角的概念，学会构造直角三角形，熟练掌握三角函数和垂径定理是解决本题的前提.
　　
　　例2 已知：如图2，⊙O和⊙O内切于A，直线⊙O交⊙O于另一点B，交⊙O于另一点F，过B点作⊙O的切线，切点为D，交⊙O于C点，DE⊥AB垂足于E，求证：
　　（1）CD=DE；
　　（2）若将两圆内切改为外切，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论.
　　分析：主要应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”这一结论解题.
　　证明：（1）连接DF、AD.
　　∵AF为⊙O的直径，∴FD⊥AD.
　　又DE⊥AB，
　　∴∠DFE=∠EDA.
　　∵BC为⊙O的切线，∴∠CDA=∠DFE.
　　∴∠CDA=∠EDA.
　　连接AC，∵ AB为⊙O的直径，
　　∴AC⊥BC.
　　又∵AD公共，
　　∴Rt△EDA≌Rt△CDA，
　　∴CD=DE.
　　（2）当两圆相切时，其他条件不变，（1）中的结论仍成立.证法同（1）.
　　点评：①此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识；②第（2）问是开放性问题.
　　
　　例3 有6个等圆拼成甲、乙、丙三种形状摆放，使相邻两圆均互相外切，如图3所示的圆心的连接（虚线）分别构成正六边形、平行四边形和正三角形，将圆心连线外侧的6个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S、P、Q，则（）
　　A. S＞P＞Q B. S＞Q＞P
　　C. S＞P且P=Q D. S=P=Q
　　分析：要想比较各个圆形中阴影部分的面积，若逐一计算，比较麻烦，但考虑将6个扇形的圆心角合为一个整体，则可以利用多边形内角和定理，分别求得6个圆心角之和，这样就可以通过扇形面积公式从整体上求解.
　　解：因为图3甲是六边形，即6个圆心角之和为n=(6-2)×180°=720°；图乙6个圆心角之和为平行四边形的内角和加上两个半圆的圆心角，即n=360°+2×180°=720°；图丙中6个圆心角之和为三角形内角和加上3个半圆的圆心角，即n=180°+3×180°=720°.由此可见，这3个图形中的6个扇形的面积之和是相等的，即阴影部分的面积为：==. 故外侧扇形面积S=P=Q，应选D.
　　点评：解题时要细心观察给出的图形，探寻进行转化的途径和方法是解决此类问题的关键，而扇形的面积应用在其中的作用是不可低估的.