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亲爱的小北：
你上次来信说我教小学数学超过三十个年头了，一定有不少经验，可否谈谈如何对孩子进行数学启蒙，你家的宝宝三岁了。我最近都在想如何负责任地跟你谈这个问题，我想我要分以下四点来谈。
一、数学启蒙不当危害大
现在的家长普遍重视孩子的学前教育，大多数的学龄前儿童，已经能够计算20以内的加减法，有的甚至会计算100以内的加减法、会背诵乘法口诀。但是，当儿童成为学生之后，经过一段时间的学习，提前起步的优势并不明显，有的甚至还不如没有提前学习的孩子。究其原因，启蒙不当：家长只重结果，不问过程。用句行话来说，就是孩子的“数学化”进程不通畅，或者说是“数学化”进程受阻。
著名数学教育家弗赖登塔尔认为，数学化就是“把生活世界引向符号世界” ，进而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。适时的、科学的数学启蒙，就是让儿童在生活情境中体验，逐步由“量”抽象出“数”，建立数量关系，实现“数学化”。
二、数学启蒙从“客体永久性”开始
孩子一出生，就开始接触外部世界，但婴儿还不具备“客体永久性”，消失就是不存在。对6个月以内的大部分孩子来说，看不见就是不存在。比如妈妈把一块大毛巾遮挡在脸上，孩子就会哭；又比如，用一块布将玩具遮住，孩子不会主动去揭开这块布去寻找玩具。对6个月以上一周岁以内的孩子来说，渐渐地开始，即使物体不在眼前或者通过其他感觉器官感觉不到，孩子仍然知道物体是继续存在的，会主动伸手去揭开遮挡物，渐渐学会捉迷藏的游戏了。18个月以上的孩子，对不在眼前的东西开始有心理表征。
从18个月开始到2周岁左右，大部分孩子具备了“客体永久性”。有时妈妈不直接在孩子的眼前，孩子能够知道妈妈在家里某个位置，会时不时喊一声或过去看一眼，以确认妈妈的存在。
儿童具备了“客体永久性”，就确信了物体的存在，会更加注意物体的一些特征，比如长短、大小、多少、轻重、快慢等，这些特征就是量。当儿童具备了“客体永久性”，开始数学启蒙是一个适当的时机。在这之前，任何形式的数学启蒙只会事倍功半、拔苗助长。
三、数学启蒙在“玩动”中进行
数学启蒙不是简单的让儿童数数、做1 1=2和背乘法口诀，而是让儿童在“玩动”的过程中，感受量的多少、数的大小，使孩子在进入小学后，顺利的“数学化”，即从生活世界进入数学的符号世界。
1. 量的可比性
量的可比性是指同类量之间可以进行比较。通过比较，人们能作出某量较多，某量较少或某些量同样多的判断。很小的孩子在挑选物品时，如果包装、颜色等方面的因素相同的情况下，一般会选择多的、大的。这无关人之初性本善还是性本恶的讨论，而关乎：孩子的这种能力是先天的还是后天的？是一种什么能力？这种能力就是人类先天具备的“量感”。许多动物也具备这种“量感”，比如鸟，窝里的蛋少了，就能察觉。“量感”是人们认识量的可比性的先决条件，毫不夸张地说，没有“量感”就不能认识量的可比性，没有量的可比性，就不能建立数概念，也就没有数学。
对人类先天的“量感”，家长的任务就是刺激、唤醒。数学启蒙第一件事就是刺激、唤醒儿童的“量感”，让孩子更多地去体验和表达。
家长把长短不一的两根小棒呈现在儿童面前，让儿童取出长的一根，操作正确给予表扬，并指出剩下的一根是短的；也可以让儿童取出短的一根，操作正确给予表扬，并指出剩下的一根是长的。进一步可以把更多的小棒呈现在儿童面前，要求儿童取出最长的和最短的一根，并在剩下的木棒中继续取出最长的和最短的。适当的时候可以要求儿童找出同样长的两根小棒。也可由孩子发指令，家长按指令操作，训练孩子的语言表达。
除了语言表达，还可以训练图画表达。家长画一根小棒，让孩子画出更长的一根或更短的一根；家长画一个圆圈，让孩子画出更大的圆圈或更小的圆圈。
以上活动也可以改用大小不同的硬币或棋子进行，比比谁叠得高。对大一些的孩子还可以去体悟时间的长短，如“木头人”的游戏，家长和孩子一起念念有词：“转转转，转转转，我们都是木头人，不许说话不许动”，然后摆个姿势就不动了，谁能坚持住到最后谁就是胜者，并请裁判宣布获胜者的时间。
“配对”活动是建立“多”、“少”、“同样多”概念活动最为有效的方法。让儿童学会用“……比……多”、“……比……长”、 “……比……圆”、 “……比……重”的句式表达。如乘车时，可以向儿童提问：是人比座位多，还是座位比人多，当有座位空时，座位多，人少；当有人站着无座位空时，人多，座位少；当每个人都有座而且无座位空时，人与座位同样多，这是生活情境。
家长也可以创设操作情境，如让儿童把茶杯盖上杯盖，然后比较茶杯与杯盖的多少。还可以做“抢椅子”的游戏，让儿童体悟到游戏中人始终比椅子多。正因为人多椅子少才有抢椅子的需要。
当儿童有了初步的“多”、“少”、“同样多”的概念后，可以让儿童把一些物体按大小次序排列起来，或者把长短不一的小棒按长短次序排列起来，以加深对量的可比性的理解。
通过多种形式的玩动，让儿童逐步形成长、短、同样长的概念，并知道长、短的相对意义，使儿童的“量感”在生活情境中得到体验和表达。
2. 量的守恒性与可分性
建立了“多”、“少”、“同样多”的概念后，认识量的守恒性才有可能。所谓量的守恒性，即量的多少不因空间或时间的改变而改变，也不因形态、颜色的改变而改变。把下图里的苹果当着儿童的面分散排列成右图，如果孩子认为苹果变多了，说明该孩子还不具备量的守恒，但切不可直接告诉孩子变化前后是同样多的。
家长可以先让孩子观察数量较少的物体，如把一双筷子分开放，看有没有变多或变少，横着放是否比竖着放长一些。然后逐步增加物体的数量并改变物体的形态让儿童判断。如一把筷子捆在一起，然后散开，比较前后两次是否同样多。这种训练要经常变换形式做，并结合下面将要谈的量的可分性进行。 量的可分性，是指一个量作为整体可以分为若干个部分，其中每部分都小于整体，各部分合起来还是这个整体。比如，我们可以把一块巧克力糖分成3块吃，也可以把一块巧克力糖分成更多的块数。但不管怎样分，任何一小块总比原来的巧克力小。如果我们把分开的巧克力糖合起来，还是原来的一块，又重新回到了量的守恒性。
儿童认识并熟悉量的守恒性和可分性，应当在学龄前完成，为儿童入学后建立数概念作必要的准备。这个准备如果不充分，儿童对数的认识只能是表面的、形式的和计算的。
四、数学启蒙在“数” 概念形成后完成
数学启蒙还将延续到儿童入学以后。数概念的形成是一个抽象概括的过程，一般在儿童入学后完成。例如“2”这个数就是从2个人、2张桌子等凡是代表2个物体的许许多多具体实物中抽象出来的概念，它是精确的、抽象的量。要学生掌握理解并不是一件容易的事。纵观人类数概念的形成历史，早期的数概念是极端具体的。如英国有一个民族的语言，有好几种不同的数字：一种用于走兽和扁平的物体，一种用于时间和圆形的物体；一种是用于来数人的；一种是用于树木和长形物体的等。不知过了多少年，人们才发现了对飞鸟和两天同是数“2”的例子。可见，具体的东西总是在抽象的东西之先。我们至今也保持着这种具体的数。如“5”用“一只手”表示。儿童数概念的形成过程只不过是人类数概念建立过程的一个缩影，这是不可违背的规律。
儿童对数的认识是建立在数表象基础上的。根据学生思维的特点，我们应找到一个物化了的数表象，如5个人、5个玩具、一只手5个指头，这三个集合的基数都是5。这种集合为“一般等价集合”，它的基数，就反映了量的基本属性，而去除了那些与量的基本属性无关的物理的、化学的、生命的形式。可以选择一般等价集中一个集合作为代表，来指明这一类集合的元素个数。许多民族都用“一只手”来表示5 。学生的板指计数，就是找到了一个物化了的数表象。把要数的物体与手指“配对”。如果物体正好能与五指对应，这些物体的个数就用5来表示。若手指不够与物体对应，则说物体的个数比5多，若有手指空出而没有物体与之对应，则说物体的个数比5少。
这些训练当然也让儿童在“玩动”中进行。如，画数字长条，让孩子沿着长条踩、跳，喜欢文静一点的孩子也可以掷骰子玩跳棋。还可以进行角色扮演，如小小售货员，商品上贴上标价（简单的1元、2元），售货时比对标价，点数硬币的个数。
通过计数的训练，对自然数一、二、三……的表象，即符号1、2、3……就不会感到是一个空洞无物的，而是一个有丰富内容的音形义集于一体的数词。
在形成数表象的同时，量的基本性质映射到数概念中来。量的可比性，从3只苹果比2只苹果多，变换为3比2大，实现了数的可比性，造成了数的群体结构，即数有大小顺序。
当儿童建立了正确的数概念后，数学启蒙就算完成了。
如此大谈一通，不知道对你有无帮助。
祝春安！
您的朋友 老庸
（作者单位：江苏南通市崇川学校）
责任编辑 李 淳
你上次来信说我教小学数学超过三十个年头了，一定有不少经验，可否谈谈如何对孩子进行数学启蒙，你家的宝宝三岁了。我最近都在想如何负责任地跟你谈这个问题，我想我要分以下四点来谈。
一、数学启蒙不当危害大
现在的家长普遍重视孩子的学前教育，大多数的学龄前儿童，已经能够计算20以内的加减法，有的甚至会计算100以内的加减法、会背诵乘法口诀。但是，当儿童成为学生之后，经过一段时间的学习，提前起步的优势并不明显，有的甚至还不如没有提前学习的孩子。究其原因，启蒙不当：家长只重结果，不问过程。用句行话来说，就是孩子的“数学化”进程不通畅，或者说是“数学化”进程受阻。
著名数学教育家弗赖登塔尔认为，数学化就是“把生活世界引向符号世界” ，进而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。适时的、科学的数学启蒙，就是让儿童在生活情境中体验，逐步由“量”抽象出“数”，建立数量关系，实现“数学化”。
二、数学启蒙从“客体永久性”开始
孩子一出生，就开始接触外部世界，但婴儿还不具备“客体永久性”，消失就是不存在。对6个月以内的大部分孩子来说，看不见就是不存在。比如妈妈把一块大毛巾遮挡在脸上，孩子就会哭；又比如，用一块布将玩具遮住，孩子不会主动去揭开这块布去寻找玩具。对6个月以上一周岁以内的孩子来说，渐渐地开始，即使物体不在眼前或者通过其他感觉器官感觉不到，孩子仍然知道物体是继续存在的，会主动伸手去揭开遮挡物，渐渐学会捉迷藏的游戏了。18个月以上的孩子，对不在眼前的东西开始有心理表征。
从18个月开始到2周岁左右，大部分孩子具备了“客体永久性”。有时妈妈不直接在孩子的眼前，孩子能够知道妈妈在家里某个位置，会时不时喊一声或过去看一眼，以确认妈妈的存在。
儿童具备了“客体永久性”，就确信了物体的存在，会更加注意物体的一些特征，比如长短、大小、多少、轻重、快慢等，这些特征就是量。当儿童具备了“客体永久性”，开始数学启蒙是一个适当的时机。在这之前，任何形式的数学启蒙只会事倍功半、拔苗助长。
三、数学启蒙在“玩动”中进行
数学启蒙不是简单的让儿童数数、做1 1=2和背乘法口诀，而是让儿童在“玩动”的过程中，感受量的多少、数的大小，使孩子在进入小学后，顺利的“数学化”，即从生活世界进入数学的符号世界。
1. 量的可比性
量的可比性是指同类量之间可以进行比较。通过比较，人们能作出某量较多，某量较少或某些量同样多的判断。很小的孩子在挑选物品时，如果包装、颜色等方面的因素相同的情况下，一般会选择多的、大的。这无关人之初性本善还是性本恶的讨论，而关乎：孩子的这种能力是先天的还是后天的？是一种什么能力？这种能力就是人类先天具备的“量感”。许多动物也具备这种“量感”，比如鸟，窝里的蛋少了，就能察觉。“量感”是人们认识量的可比性的先决条件，毫不夸张地说，没有“量感”就不能认识量的可比性，没有量的可比性，就不能建立数概念，也就没有数学。
对人类先天的“量感”，家长的任务就是刺激、唤醒。数学启蒙第一件事就是刺激、唤醒儿童的“量感”，让孩子更多地去体验和表达。
家长把长短不一的两根小棒呈现在儿童面前，让儿童取出长的一根，操作正确给予表扬，并指出剩下的一根是短的；也可以让儿童取出短的一根，操作正确给予表扬，并指出剩下的一根是长的。进一步可以把更多的小棒呈现在儿童面前，要求儿童取出最长的和最短的一根，并在剩下的木棒中继续取出最长的和最短的。适当的时候可以要求儿童找出同样长的两根小棒。也可由孩子发指令，家长按指令操作，训练孩子的语言表达。
除了语言表达，还可以训练图画表达。家长画一根小棒，让孩子画出更长的一根或更短的一根；家长画一个圆圈，让孩子画出更大的圆圈或更小的圆圈。
以上活动也可以改用大小不同的硬币或棋子进行，比比谁叠得高。对大一些的孩子还可以去体悟时间的长短，如“木头人”的游戏，家长和孩子一起念念有词：“转转转，转转转，我们都是木头人，不许说话不许动”，然后摆个姿势就不动了，谁能坚持住到最后谁就是胜者，并请裁判宣布获胜者的时间。
“配对”活动是建立“多”、“少”、“同样多”概念活动最为有效的方法。让儿童学会用“……比……多”、“……比……长”、 “……比……圆”、 “……比……重”的句式表达。如乘车时，可以向儿童提问：是人比座位多，还是座位比人多，当有座位空时，座位多，人少；当有人站着无座位空时，人多，座位少；当每个人都有座而且无座位空时，人与座位同样多，这是生活情境。
家长也可以创设操作情境，如让儿童把茶杯盖上杯盖，然后比较茶杯与杯盖的多少。还可以做“抢椅子”的游戏，让儿童体悟到游戏中人始终比椅子多。正因为人多椅子少才有抢椅子的需要。
当儿童有了初步的“多”、“少”、“同样多”的概念后，可以让儿童把一些物体按大小次序排列起来，或者把长短不一的小棒按长短次序排列起来，以加深对量的可比性的理解。
通过多种形式的玩动，让儿童逐步形成长、短、同样长的概念，并知道长、短的相对意义，使儿童的“量感”在生活情境中得到体验和表达。
2. 量的守恒性与可分性
建立了“多”、“少”、“同样多”的概念后，认识量的守恒性才有可能。所谓量的守恒性，即量的多少不因空间或时间的改变而改变，也不因形态、颜色的改变而改变。把下图里的苹果当着儿童的面分散排列成右图，如果孩子认为苹果变多了，说明该孩子还不具备量的守恒，但切不可直接告诉孩子变化前后是同样多的。
家长可以先让孩子观察数量较少的物体，如把一双筷子分开放，看有没有变多或变少，横着放是否比竖着放长一些。然后逐步增加物体的数量并改变物体的形态让儿童判断。如一把筷子捆在一起，然后散开，比较前后两次是否同样多。这种训练要经常变换形式做，并结合下面将要谈的量的可分性进行。 量的可分性，是指一个量作为整体可以分为若干个部分，其中每部分都小于整体，各部分合起来还是这个整体。比如，我们可以把一块巧克力糖分成3块吃，也可以把一块巧克力糖分成更多的块数。但不管怎样分，任何一小块总比原来的巧克力小。如果我们把分开的巧克力糖合起来，还是原来的一块，又重新回到了量的守恒性。
儿童认识并熟悉量的守恒性和可分性，应当在学龄前完成，为儿童入学后建立数概念作必要的准备。这个准备如果不充分，儿童对数的认识只能是表面的、形式的和计算的。
四、数学启蒙在“数” 概念形成后完成
数学启蒙还将延续到儿童入学以后。数概念的形成是一个抽象概括的过程，一般在儿童入学后完成。例如“2”这个数就是从2个人、2张桌子等凡是代表2个物体的许许多多具体实物中抽象出来的概念，它是精确的、抽象的量。要学生掌握理解并不是一件容易的事。纵观人类数概念的形成历史，早期的数概念是极端具体的。如英国有一个民族的语言，有好几种不同的数字：一种用于走兽和扁平的物体，一种用于时间和圆形的物体；一种是用于来数人的；一种是用于树木和长形物体的等。不知过了多少年，人们才发现了对飞鸟和两天同是数“2”的例子。可见，具体的东西总是在抽象的东西之先。我们至今也保持着这种具体的数。如“5”用“一只手”表示。儿童数概念的形成过程只不过是人类数概念建立过程的一个缩影，这是不可违背的规律。
儿童对数的认识是建立在数表象基础上的。根据学生思维的特点，我们应找到一个物化了的数表象，如5个人、5个玩具、一只手5个指头，这三个集合的基数都是5。这种集合为“一般等价集合”，它的基数，就反映了量的基本属性，而去除了那些与量的基本属性无关的物理的、化学的、生命的形式。可以选择一般等价集中一个集合作为代表，来指明这一类集合的元素个数。许多民族都用“一只手”来表示5 。学生的板指计数，就是找到了一个物化了的数表象。把要数的物体与手指“配对”。如果物体正好能与五指对应，这些物体的个数就用5来表示。若手指不够与物体对应，则说物体的个数比5多，若有手指空出而没有物体与之对应，则说物体的个数比5少。
这些训练当然也让儿童在“玩动”中进行。如，画数字长条，让孩子沿着长条踩、跳，喜欢文静一点的孩子也可以掷骰子玩跳棋。还可以进行角色扮演，如小小售货员，商品上贴上标价（简单的1元、2元），售货时比对标价，点数硬币的个数。
通过计数的训练，对自然数一、二、三……的表象，即符号1、2、3……就不会感到是一个空洞无物的，而是一个有丰富内容的音形义集于一体的数词。
在形成数表象的同时，量的基本性质映射到数概念中来。量的可比性，从3只苹果比2只苹果多，变换为3比2大，实现了数的可比性，造成了数的群体结构，即数有大小顺序。
当儿童建立了正确的数概念后，数学启蒙就算完成了。
如此大谈一通，不知道对你有无帮助。
祝春安！
您的朋友 老庸
（作者单位：江苏南通市崇川学校）
责任编辑 李 淳